1、 第二章 随机向量的分布和数字特征的习题课一：选择题：1. 若随机变量 的分布函数为 与 则 a ,b取值为（ 21,X)(1xF)(2）时，可使 F(x)=a -b 为某随机变量的分布函数。)(xF)(A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2分析：由分布函数在的极限性质，不难知 a,b应满足 a-b=1,只有选项 A正确。 答案 选：A2. 设 X (x),且 (-x)= (x),其分布函数为 F(x),则对任意实数 a, F(-a)=( )。 A.1- d B. - d C.F(a) D.2F(a)-1x0)(21ax0)(分析：是偶函数，可结合
2、标准正态分布来考虑； d ax0)(F(a)F(0)；F(0)0.5；F(a)F(-a)=1 答案 选：Bx3.设 X N( , ),则随着 的增大， P(|X- |1p2 12答案 选： A5. 设 是随机变量且 ，则对任意常数 ，X )0,()(,)(2XDE c（ ）成立。 22)(. ccEA 22)()(. EcB)(XC X分析： 答案 选： D由 ，得2)(,)(DE 222)(EDE)2cXcX222 )(c)()( 22E222X显然 )()(cX二：题空题1. 设在每次伯努里试验中，事件 A发生的概率均为 p,则在 n次伯努里试验中，事件 A至少发生一次的概率为（ ） ，至
3、多发生一次的概率为（ ） 。答案 填：(1-(1-p) ); (1-p) +np(1-p) )nn1n由伯努里概型的概率计算公式， ，据题意可知，事件 A至少发生一次的概率为 或 ，knknkpC)1( nnpC)1(0事件 A至多发生一次的概率为 = +knkkKN)(10 n)(011)(nnpC2. 设随机变量 Y在区间1，6上服从均匀分布，则方程有实根的概率为（ ） 。012x分析：方程 有实根当且仅当 0，即|Y| 2,012Yx则 P(|Y| 2)= d =0.8 答案 填：0.8 6253. 设 X ，对 X的三次独立重复观察中， 其 他,0)(xxf事件 X 0.5出现的次数为
4、随机变量 Y,则 PY=2=( )。分析： PX 0.5=0.25,Y服从 B(3,0.25)分布,则 PY=2= = 答案 填: 75.023C6496494. 设 XB(2,p),YB(3,p),且 PX 1= ,则 PY 1=( )。5分析：由 PX 1=1-PX=0= = ，可得 p= ,则 PY 1=1-2p931PY=0= 答案 填： 2719715.设随机变量 X服从均值为 10，标准差为 0.02的正态分布，设 （ x） 为标准正态分布函数，已知 （2.5）=0.993 8,则 X 落在区间（9.95,10.05）内的概率为（ ） 。分析：P9.9596)=1-P(X 96)=
5、1- ( )=0.023,24即 ( )=0.977,查表得 =2，则 =12，即且 X N(72,144)，24故 P(60 X 84)=P(-1 1)=2 (1)-1=0.682127excel计算的函数为 NORMINV8. 设测量误差 X N(0，100)，求在 100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6的概率，并用泊松分布求其近似值（精确到 0.01） 。解：由于 X N(0，100)，则P(|X|19.6)=1- P(|X| 19.6)=21- (1.96)=0.05且显然Y B(100,0.05),故 P(Y 3)=1- P(Y 2)=1- 982210910
6、 55.95. C设 =np=1000.05=5，且 YP(5),则P(Y 3)=1- P(Y 2)=1- =0.875348 12465.05!120ke9. 设一大型设备在任何长为 t的时间内，发生故障的次数 N(t)服从参数为 t的泊松分布，求：（1）相继两次故障之间的时间间隔 T的概率分布；（2）在设备已无故障工作 8小时的情况下，再无故障工作 8小时的概率。解：（1） 只需求出 T的分布函数 F(t)：当 tt)= 1-P(N(t)=0)=tteet1)!010可见 T服从参数为的指数分布 。（2） P(T 16|T 8)= tteP8816)()8(1610.设 X服从参数为 2的
7、指数分布，求证： Y=1- 在0，1上服从X2均匀分布。证明： 由 X的分布可见其有效取值范围是0，+),则 Y的有效取值范围是0，1，从而：当 y 0时， F(y)=0; 当 y 1 时， F(y)=1;当 0y1, F(y)=P(Y y)= P1- yXe2=PX =1- =1-(1-y)=y)1ln()1ln(2y对 F(y)关于 y求导数即得 Y的密度函数： 其 他,01)(f故 Y在0，1上服从均匀分布。11. 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，其概率均为 0.4，用 X表示途中遇到红灯的次数，求 X的分布律、分布函数和数学期望。解：显然
8、 X B(3,0.4),其分布律为 ，i=0,1,2,3,分1336.04iCXP布函数为： ， E(X)= x2 15810 27)(xxF512. 设 ，求随机变量 的期望 。0,0)(2xeaxfX XY1)(YE解：由 ，可知0,0,)(2xeaxfX dxeaxdxfXEY a021)(1)()( )2(21102020)(21 dxeadteatxaxdeatax 泊 松 分 布令13. 设 且 与 同分布， 与其 它，0283)(2xxfXYX)(aXA独立， ，求：（1） 值；（2） 的期望。)(aYB4)(BAPa21解：（1）由设 且 与 同分布，其 它，083)(2xxf
9、XYX与 独立，可知当 时)(aA)(aYB0aadxfXP)()()( 18083020322 xdxa，即1)()()( adyfYPB与 相矛盾，因1)()()( BPAA 43)(BAP而 ，即0aadxfXP)()() )8(08332322 axdxaa ， 即ayfYB)()() )(13BPAPA)8(13)(3)8(13a)(34即 ，即 ， （不合题意，舍去）046)8(23aa4（2） 。3831)(12022022 xdxdfxXE14. 由自动线加工的某种零件的内径 （毫米）服从正态分布 ，X)1,(N内径小于 10 或大于 12 的为不合格品，其余为合格品，销售每件
10、合格品获利，销售每件不合格品亏损。设销售利润 （元）与销售零L件的内径 的关系为X12,502,1XL问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？解：由 ，即 且 ，可知)1,(NX)1,0(NX2(xex)10()()10( XP)()2(211)1( 由 12,502,XL得 )12(5)0()()1( E52dL)10()1(5令 ，即0dEL 021215 22 )10()1( ee即)1(2)10(2)1(225ee即 ，ln)(9.05ln平均内径 取 时，销售一个零件的平均利润最大。9.1015. 设一部机器在一天内发生故障的概率为 ，机器发生故障时，2.0全天停止工作。一
11、周五个工作日，若无故障，可获利 10 万元；若发生一次故障，仍可获利 5 万元；若发生两次故障，获利为零；若至少发生三次故障，要亏损 2 万元。求一周内的利润期望。解：设 一周共五个工作日，机器发生故障的天数且X )2.0,5(BX则： 32768.0.2)0(505CXP49.11)(325)(3XP05792. )2()1(1XP3,2,)(XL 05792.)(2048.496.05768.01 E9.所以一周内的利润期望为 万元。20896.516.设商店经销某种商品的每周需求量 服从区间 上的均匀分X30,1布，而进货量为区间 中的某一个整数，商店每售一单位商品可30,1获利 500
12、 元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100 元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利 300 元，求此商店每周最小进货量为多少，可使获利的期望不少于 9280 元。解：设一商店经销某种商品的每周进货量为 且a301当 时，aX10 aXaXL106)(105当 时，3 233即 0206a且 其 它， 31)(xxfXdxfLXE)()(23010210305.735)(21)6(axxdxaaa令 ，即 ，即 ，取98)(XLE98.2263a。21a答：此商店每周最小进货量为 21 个单位，可使获利的期望不少于9280 元。17. 设随机变量 与 相互独立
13、，均在区间 上服从均匀分布，引XY3,1进事件 ， 且 。求：（1） 值；AaaB97)(BAPa（2） 的数学期望。1解：（1）由 与 在 上均服从均匀分布，可知XY3,1，其 它，02)(xxf 其 它，0312)(yyf当 时1a0)()() adxfaXPA 101)(1)(1)() aadyyfYB由随机变量 与 相互独立，可知事件 与 也是XAXaB相互独立的。与 相矛盾，10)()()( BPAPBA 97)(P因而 。1a当 时， adxfXPA)()() )1(21201 axda )()()(1)() 1yyfYBaBPAPA)1(2a)1(2a)()(2a97即 ，即 或035692a357（2） 。3ln21l2)()( 31 xdxfxXE18.设随机变量 的概率分布为。5.0)3(,.0)2(,.0)1( XPXP（1）写出其分布函数； （2）求 的期望与方差。解：（1）由 ，可知，5.0)3(,.)(,.)1( 当 时，x0xXPxF当 时，2 2.)1()()当 时，32x 5.032.)()1()() XPxXPxF当 时， (5.032.即 的分布函数。xxF315.021)( X（2） 3.2503.2.01)(1 iipXE9.)( 222312iix。61.0)3.(95)(222 EXXD
