证明初等变换不改变矩阵的秩证:设 A 为 mn矩阵经过初等行变换变为 mn矩阵 B,且1()RAr， 2()Br1.初等对换变换： ijr （交换矩阵的第 i 行与第 j 行）因为 A 中的任意 1阶子式均为零，所以 B 的任意 1r阶子式也为零。因此有矩阵 B 中任何 r阶子式等于任意非零常数 k 与 A 的某个 阶子式的积。2.初等倍法变换： ikrB （用非零常数 k 乘矩阵的第 i 行）因为 A 中的任意 1阶子式均为零，所以 B 的任意 1r阶子式也为零。因此有矩阵 B 中任何 r阶子式等于任意非零常数 k 与 A 的某个 阶子式的乘积。3.初等消法变换： ijrkB （矩阵的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上）对于矩阵 B 的任意 1阶子式 11若 不包含 B 的第 i 行或既含第 j 行也含第 i 行，由行列式的性质，则1rBD，1rD为 A 的任意 1r阶子式；2若 B含有第 i 行但不含有第 j 行，由行列式的性质，则 11rrBDkC这里的 1,rDC均为 A 的 1r阶子式。因为 A 的任意 1阶子式均为零，所以10综上所述，A 经过一次初等行变换化为 B 后，B 的 1r阶子式全为零，所以21r由于初等变换可逆，所以 B 又可经初等行变换化为 A，即有12r所以 12,()rRAB同理可证初等列变换。
