1、1.什么是独立平稳增量过程？答：如果对任何t1 , t2 , , tn T , t1 0 , 当h0 时,P N( t + h) - N( t) = 1 = h + o( h) ; 和性质四： 当 h0 时,P N( t + h) - N( t) 2 = o( h) .证明：题目二：验证possion分布的Xn ,n= 1 , 2 , 分布服从参数为的指数分布证明：首先考虑X1 的分布, 注意到事件 X1 t等价于事件 N( t) = 0 ,即( 0 , t内没有事件发生. 因此P X1 t = P N( t) = 0 = e- t ,从而P X1 t = 1 - e- t .再来看X2 ,P
2、 X2 t | X1 = s = P N( s + t) - N( s) = 0 | X1 = s= P N( s + t) - N( s) = 0 = e- t任意的n，t S10,20, .Sn0有 PN(Xnt) X1=s，. Xn-1=n-1 3. PN(t+s1+s2.sn-1)-N(s1+s2.sn-1)=0= PN（t）=0 = e- t所以可证 FTn（t）= PTn t=1-e- t张灏婷 张妍利用定义证明：有 E(E(Y|Fn)|Fm) （1）=E(E(Y|Fm)|Fn) （2）=E(Y|Fn) （3）其中 Fn Fm(nm).证明：【1】试证（1）=（3）令 Z=E(Y|
3、Fn)，有 Z 是关于 Fn 可测的.又有 Fn Fm，故 Z 也是 Fm 可测的.E(Z|Fm)=Z【2】证（2）=（3）记 M=E(Y|Fm)，Z=E(Y|Fn).相当于要证 E(M|Fn)=Z.验证定义：a.Z 确是 Fn 可测的随机变量.b.对任意 A Fn，是否有 E(MI )=E(ZI )A(注意 A Fn，所以 A Fm) 左端=E(YI ) 右端= E(YI ) 左端=右端 故成立阳关好暖知识点：泊松过程1. 设有非齐次泊松过程N(t),t，它的均值函数 m(t)可以表示为 m(t)=，求在 t=4,t=5 间出现 个事件的概率。5,4tt n解：非齐次泊松过程 N(t) ,
4、t在 时间段0),(tN,21t内出现 个件的概率为： n, (n其中 时， 184105)4(2m于是，所求概率为： 1!)4(5enNP2.设N(t) ,t 是强度为的泊松过程， 是一列独立同分布随机变量，且与N(t),t 独立，令 X(t)= ，证明：若 E(，则EX(t)=tE。证明：由条件期望的性质 EX(t)=EEX(t)|N(t)，而EX(t)|N（t）=n=E=E(所以 Ex(t)=tE.3. 某商店顾客的到来服从强度为 4 人每小时的 Poisson 过程，已知商店 9：00 开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半
5、小时中，仍无顾客到来的概率。解：设顾客到来过程为N(t), t0，依题意 N(t)是参数为的Poisson 过程。（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：PN(=（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为 N(，在未来半小时仍无顾客到来可表示为N(1)-N(=0，从而所求概率为：PN(1)-N()=0=pN(1)-N(=0|N(PN(1)-N(=.知识点：马氏链1. 设一个坛子中装有 4 个球，它们或是红色的，或是黑色的。从坛子中随机地取出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过 次取球置换，令 表示第 次取球后坛中的黑球数。n1),(nXn1） 是否构成马氏链,是否为齐次的，为什么?1),(XX
6、（n）,n 的参数集为 T=1,2,3,n,，状态集为E=0,1,2,3,4，当 X(n)的取值确定时，X(n+1)的取值完全由X(n)确定，故 X(n),n 为马氏链， 1,03,414,0jijiijii或其 它与 n 无关，故为齐次马氏链。2. 设X(t),t0是独立增量过程, 且 X(0)=0, 证明X(t),t0是一个马尔科夫过程。证明：当 0 时， PX=PX(t)-X(=PX(t)-X(，又因为 PX(t)PX(t)-X(X(=PX(t)-X(，故 PX(t)=PX(t)雷詠嫦 倪澤苗 楊嘉琪三峡库区移民问题。设库区中原有居民移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有 2 户
7、定居；每户的人口是一随机变量，一户为四人的概率是 1/6，一户为三人的概率是 1/3，一户为二人的概率是 1/3，一户为一人的概率是 1/6，并且每户的人口数是相互统计独立的。求在八周内移民到该地区人口的数学期望及其方差。解：设 Yn代表第 n 户的人口数，其取值范围是1，4；N（t）是0，t)内定居的移民户数，其参数 =2； X ( t)代表0，t)内移民到该地区的总人数；其中时间 t 的单位是周数，则X( t) = Yn)(1tN而随机变量 Yn的均值为EYn= kpk =41/6+31/3+21/3+11/6 =5/241k其均方值为EYn2= k2pk =421/6+321/3+221
8、/3+121/6= 43/641八周（t=8）内移民到该地区人口的数学期望和方差为EX( t) =(t) EY n =285/2 =40DX( t) =(t) EY n2 =2843/6 =334/3李燕芬 何飞宜 廖文华 林圣洋泊松过程某火车站售票处从早上 8:00 开始连续售票，乘客依 10h/人的平均速率到达，则从 9:00 到 10:00 内最多有 5 名乘客来此购票的概率是多少？从 10:00 到 11:00 没有人来买票的概率是多少？答案：设 8:00 为 0 时刻，则 9:00 为 1 时刻，10:00 为 2 时刻，11:00 为 3 时刻；参数 1P N(2) N(1) 5 = !)0(50nenP N(3) N(2) =0 = 101!马氏链（图上的随机游动）求马氏链的转移矩阵21 3 45答案：S=1,2,3,4,5IP =0 1/2 1/2 0 01/2 0 1/2 0 01/4 1/4 0 1/4 1/40 0 1 0 00 0 1 0 0李青媚
