1、第三章：运动方程的积分 (体系的不变量),1：运动方程： Euler-Lagraingian 方程: 2s个,2：体系的几种不变性：,相应地有运动积分(不变量),注意：对特定的s个自由度体系，状态量为2s个，运动积分有 2s-1个，而上面几个则是普遍的，联系着时空的对称性。,Now： 可以设想，对自由度比较少的体系，不需要考虑运动方程而只需要应用不变量关系，就可求解其运动关系 ，或者，对多自由度体系，即使运动积分不能完全确定体系的运动解，也可以至少给出一部分内容。自由度：1，2，3。 有趣的具体体系：一维运动(周期)、有心立场,Note：不变量关系和约束的区别前者不能用来简化L，后者可以。 原
2、因：前者在虚位移小变，不变的只是真实位移下的 时间的依赖关系，后者在虚位移下不变。,一维体系：,运动积分：能量守恒条件,VS 动力学方程,由能量这个运动积分表达式可得,这里虽然没有明显求解出路径，但是求出了其反函数关系，这是重点。,性质：,动能大于0 可能的运动区间 动能为0的位置；周期运动；运动的定域相关性,周期运动:振动x1-x2-x2, 时间可逆,Now：逆问题，类比于傅立叶变换等已知周期关于能量函数，如何反推势能曲线？寻找投影算符,X1,x2相同势能点而中间皆有动能非唯一函数 =分段处理，且只有1个势能最小点,U(x)的不确定性，附加空间反演对称性要求,二体问题：,对称性能量、动量、角
3、动量守恒,应用动量守恒，选取参照系，使得该参照系下总动量为0 =总动量相应的质心不动，并平移至原点。,得到新的坐标（广义坐标，物理意义不直观）,新坐标下的L,其中定义,折合质量、质心的概念是一个层次上，退耦合,由此，通过动量守恒，等价到单质点问题； 进一步，应用其他守恒关系来化间广义坐标,给定初始角动量后，“质点”只在垂直于该角动量的平面内运动！,平面运动，由此平移到该平面，应用极坐标,角动量守恒：,几何意义,书上解释欠妥(or 书上P30页的解释不够清晰),能量守恒,2个一阶微分方程，可解,（1）,（2）,注意性质: （唯象工作、应用工作时候特别注意的地方）,（2）反应了整体轨道；（1）反应
4、了长度随时间关系,进一步，r方向运动等效于一维运动,Vs. 一维运动特点周期运动等,具体点，r方向周期运动时，角度方向是否一起也周期运动,封闭曲线运动条件,Problem1：,Problem2：,补充：守恒量和运动积分关系(1) 运动积分是独立守恒量，2s-1个，广义坐标速度的函数.(2) 上面7个是有物理意义的守恒量，部分情况下，并不独立.,题: 写出三维自由质点的运动积分 2s-1=5个，,本身3动量or速度也是独立常数,(既角动量),故5个运动积分，7个守恒量并不独立！,应用至万有引力情况：,15.,先讨论轨道： 积分,积分公式：,性质讨论：,定义,轨道,更具体些：椭圆、双曲线性质,计算椭圆运动周期：,运动径向长度时间关系,定义,积分技巧同上一样,进一步,Problem: 库仑斥力情况,运动轨道等性质。,更多其他势下的性质，可作为研究起点。 (最重要的2个基本势：库仑势(1/r)、谐振子势r2),
