1、 142习题 41 f(x) = x TA x，A T= A， xR n。（1） 若 A 为半正定矩阵，试证 f(x) 在 R n 中为凸函数。（2） 若 A 为正定矩阵，试证 f(x) 在 R n 中为严格凸函数。2. 求函数 f(x,y) =3axyx2- y2，(a 0) 的驻点，极值点。3. 求函数 f(x1,x2) =(x1- x12)2 的极值点, 是否是严格的极值点?4. 在半径为 R 的已知圆的一切内接三角形中,求出其面积最大者。5. 设 x =(x1, x2, x3)T, A = (aij)33，A T=A，试直接展开 f(x) = x TA x，然后验证f(x) = 2A
2、x。6. 设 f(x)在点 x (0) 的台劳展开式为f(x) = f(x (0) +( x - x (0)T f(x (0) + ( x - x (0)T f(x (0)( x - x (0)212试证： f(x) = f(x (0) + f(x (0)( x - x (0)27. 判断下列函数是否是凸函数,凹函数,严格凸函数或严格凹函数。（1） f(x 1,x2) = 2x12+3x22,（2） g(x1,x2) = x13-x23,（x 10,在牛顿法中,在点 x(k) 取搜索方向为 s(k) = -H(x(k)-1g(k),试用方向导数直接证明 s(k) 是 f(x)在点 x(k)的下
3、降方向,其中 g (k) = f( x(k)。17. 设 Q = ，试判断下列向量 p 1 与 p2 是否线性无关？是否 Q-共扼？21（1） p1=(1,0)T，p 2=(1,-2)T；（2） p1=(1,0)T，p 2=(1,1)T。18. 设 f(x) = x T A xbT x，A = ，b = (3,3)T，取 x（1） = (0,0)T，p 1= (1,0)T，21p2= (1,-2)T，试证由本章共扼方向法产生的 x（3） 为 f(x)的最优解。19.设 Q 为实对称矩阵，试证 Q 的任意两个对应于不同特征值的特征向量都是 Q 共扼的。20. 用 Fletcher-Reeves
4、共扼梯度法求 f(x)的最小值, 取 x（1） = (-2,4)T，其中f(x) = x12+ x22- x1x2-2x1321. 设 f(x) = x T Q x + bT x +c，Q T= Q0,试证在共扼梯度法的一维搜索f(x(k)+d(k) = f(x(k)+k d(k)0min中，有)()(kTkg22.用外点法解 （1） （2）1.min2xts 1.min2xts23. 设在外点法中 T(x ; Mk) = T(x(k) ; Mk),且罚函数中的 F(x(k) = 0，试证 x(k) nRi为规划( P) 的最优解。24. 选用两种障碍函数，试用内点法解 0.min2xts14425. 选用倒数函数作为障碍函数，试用内点法解 10.minxts26. 用内点法解 .i213xts27. 分别以对数函数和倒数函数作为障函数, 试用内点法解 0)(.min122xgts28. 用 Frank-Wolfe 法解 1.)4in2xts29. 试证定理 15 的充分性。
