专题三：弹簧类问题.doc

1、1专题三：弹簧类问题一、弹簧弹力大小问题弹簧弹力的大小可根据胡克定律计算（在弹性限度内），即 F=kx，其中 x 是弹簧的形变量（与原长相比的伸长量或缩短量，不是弹簧的实际长度）。高中研究的弹簧都是轻弹簧（不计弹簧自身的质量，也不会有动能的）。不论弹簧处于何种运动状态（静止、匀速或变速），轻弹簧两端所受的弹力一定等大反向。证明如下：以轻弹簧为对象，设两端受到的弹力分别为 F1、 F2，根据牛顿第二定律， F1+F2=ma，由于 m=0，因此 F1+F2=0，即 F1 F2一定等大反向。弹簧的弹力属于接触力，弹簧两端必须都与其它物体接触才可能有弹力。如果弹簧的一端和其它物体脱离接触，或处于拉伸状

2、态的弹簧突然被剪断，那么弹簧两端的弹力都将立即变为零。在弹簧两端都保持与其它物体接触的条件下，弹簧弹力的大小 F=kx 与形变量 x 成正比。由于形变量的改变需要一定时间，因此这种情况下，弹力的大小不会突然改变，即弹簧弹力大小的改变需要一定的时间。（这一点与绳不同，高中物理研究中，是不考虑绳的形变的，因此绳两端所受弹力的改变可以是瞬时的。）例 1质量分别为 m 和 2m 的小球 P、 Q 用细线相连， P 用轻弹簧悬挂在天花板下，开始系统处于静止。下列说法中正确的是：A若突然剪断细线，则剪断瞬间 P、 Q 的加速度大小均为 gB若突然剪断细线，则剪断瞬间 P、 Q 的加速度大小分别为 0 和

3、gC若突然剪断弹簧，则剪断瞬间 P、 Q 的加速度大小均为 gD若突然剪断弹簧，则剪断瞬间 P、 Q 的加速度大小分别为 3g 和 0分析与解：剪断细线瞬间，细线拉力突然变为零，弹簧对 P 的拉力仍为 3mg 竖直向上，因此剪断瞬间 P 的加速度为向上 2g，而 Q 的加速度为向下 g；剪断弹簧瞬间，弹簧弹力突然变为零，细线对 P、 Q 的拉力也立即变为零，因此 P、 Q 的加速度均为竖直向下，大小均为 g。选 C。例 2如图所示，小球 P、 Q 质量均为 m，分别用轻弹簧 b 和细线 c 悬挂在天花板下，再用另一细线 d、 e 与左边的固定墙相连，静止时细线 d、 e 水平， b、 c 与竖

4、直方向夹角均为 =37?。下列判断正确的是：A剪断 d 瞬间 P 的加速度大小为 06 gB剪断 d 瞬间 P 的加速度大小为 075 gC剪断 e 前 c 的拉力大小为 08 mgD剪断 e 后瞬间 c 的拉力大小为 125 mg分析与解：剪断 d 瞬间弹簧 b 对小球的拉力大小和方向都未来得及发生变化，因此重力和弹簧拉力的合力与剪断前 d 对 P 的拉力大小相等，为 075 mg，因此加速度大小为075 g，水平向右；剪断 e 前 c 的拉力大小为 125 mg，剪断 e 后，沿细线方向上的合力充当向心力，因此 c 的拉力大小立即减小到 08 mg。选 B。2二、临界问题两个相互接触的物体

5、被弹簧弹出，这两个物体在什么位置恰好分开？这属于临界问题。“恰好分开”既可以认为已经分开，也可以认为还未分开。认为已分开，那么这两个物体间的弹力必然为零；认为未分开，那么这两个物体的速度、加速度必然相等。同时利用这两个结论，就能分析出当时弹簧所处的状态。特点：1接触；2还没分开所以有共同的速度和加速度；3弹力减小为零。这种临界问题又分以下两种情况：1仅靠弹簧弹力将两物体弹出，那么这两个物体必然是在弹簧原长时分开的。例 3如图所示，两个木块 A、 B 叠放在一起， B 与轻弹簧相连，弹簧下端固定在水平面上，用竖直向下的力 F 压 A，使弹簧压缩量足够大后，停止压缩，系统保持静止。这时，若突然撤去

6、压力 F， A、 B 将被弹出且分离。下列判断正确的是：A木块 A、 B 分离时，弹簧的长度恰等于原长B木块 A B 分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于 B 的重力C木块 A、 B 分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于 A、 B 的总重力D木块 A、 B 分离时，弹簧的长度可能大于原长分析与解：以 A 为对象，既然已分开，那么 A 就只受重力，加速度竖直向下，大小为 g；又未分开， A、 B 加速度相同，因此 B 的加速度也是竖直向下，大小为 g，说明 B受的合力为重力，所以弹簧对 B 没有弹力，弹簧必定处于原长。选 A。此结论与两物体质量是否相同无关。例 4如图所示，轻弹簧左端固定在竖

7、直墙上，右端与木块 B 相连，木块 A 紧靠木块B 放置， A、 B 与水平面间的动摩擦因数均为 。用水平力 F 向左压 A，使弹簧被压缩一定程度后，系统保持静止。若突然撤去水平力 F， A、 B 向右运动，下列判断正确的是：A A、 B 一定会在向右运动过程的某时刻分开B若 A、 B 在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定是原长C若 A、 B 在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长短D若 A、 B 在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长长分析与解：若撤去 F 前弹簧的压缩量很小，弹性势能小于弹簧恢复原长过程 A、 B 克服摩擦阻力做的功，那么撤去 F 后， A、 B

8、虽能向右滑动，但弹簧还未恢复原长 A、 B 就停止滑动，没有分离。只要 A、 B 在向右运动过程的某时刻分开了，由于分离时 A、 B 间的弹力为零，因此A 的加速度是 aA=g ；而此时 A、 B 的加速度相同，因此 B 的加速度 aB=g ，即 B 受的合力只能是滑动摩擦力，所以弹簧必然是原长。选 B。例 5如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块 B 相连，木块 A放在木块 B 上，两木块质量均为 m，在木块 A 上施有竖直向下的力 F，整个装置处于静止状态。（1）突然将力 F 撤去，若运动中 A、 B 不分离，则 A、 B 共同运动到最高点时， B对 A 的弹力有多大？3（2）要

9、使 A、 B 不分离，力 F 应满足什么条件？【点拨解疑】力 F 撤去后，系统作简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解，会简单的多（1）最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力在最低点，即原来平衡的系统在撤去力 F 的瞬间，受到的合外力应为 F/2，方向竖直向上；当到达最高点时， A 受到的合外力也为 F/2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以 B 对 A 的弹力为 。2Fmg（2）力 F 越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性最高点时， A、 B 间虽接触但无弹力，A 只受重力，故此时恢复力向下，大小位 mg

10、。那么，在最低点时，即刚撤去力 F 时， A 受的回复力也应等于 mg，但根据前一小题的分析，此时回复力为 F/2，这就是说 F/2=mg。则 F=2mg因此，使 A、 B 不分离的条件是F2 mg。2除了弹簧弹力，还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。那么两个物体分离时弹簧必然不一定是原长。（弹簧和所连接的物体质量不计分离时是弹簧的原长，但质量考虑时一定不是弹簧的原长，）可看成连接体。例 6一根劲度系数为 k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为 m 的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度 a 且（ ag）匀加速向下移动。求经过多长

11、时间木板开始与物体分离。分析与解：设物体与平板一起向下运动的距离为 x 时，物体受重力mg，弹簧的弹力 F=kx 和平板的支持力 N 作用。据牛顿第二定律有：mg-kx-N=ma 得 N=mg-kx-ma当 N=0 时，物体与平板分离，所以此时 kagm)(因为 ，所以 。21atxkagt)(2例 7如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体 P 处于静止，P 的质量 m=12kg，弹簧的劲度系数 k=300N/m。现在给 P 施加一个竖直向上的力F，使 P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在 t=02s 内 F 是变力，在 02s 以后F 是恒力，g=10m/s

12、2，则 F 的最小值是 ，F 的最大值是 。分析与解：因为在 t=02s 内 F 是变力，在 t=02s 以后 F 是恒力，所以在 t=02s 时，P 离开秤盘。此时 P 受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在 002s 这段时间内 P 向上运动的距离：x=mg/k=04m因为 ，所以 P 在这段时间的加速度21atx 22/0smtxa4当 P 开始运动时拉力最小，此时对物体 P 有 N-mg+Fmin=ma，又因此时 N=mg，所以有Fmin=ma=240N当 P 与盘分离时拉力 F 最大，Fmax=m（a+g）=360N例 8一弹簧秤的秤盘质量 m1=15

13、kg，盘内放一质量为 m2=105kg 的物体 P，弹簧质量不计，其劲度系数为 k=800N/m，系统处于静止状态，如图所示。现给 P 施加一个竖直向上的力 F，使 P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初 02s 内 F 是变化的，在 02s 后是恒定的，求 F 的最大值和最小值各是多少？（g=10m/s 2）分析与解：因为在 t=02s 内 F 是变力，在 t=02s 以后 F 是恒力，所以在 t=02s 时，P 离开秤盘。此时 P 受到盘的支持力为零，由于盘的质量m1=15kg，所以此时弹簧不能处于原长，这与例 2 轻盘不同。设在0_02s 这段时间内 P 向上运动的距离为 x，对

14、物体 P 据牛顿第二定律可得： F+N-m2g=m2a对于盘和物体 P 整体应用牛顿第二定律可得：令 N=0，并由述二式求得 ，而 ，所以求得 a=6m/s2kamgx122tx当 P 开始运动时拉力最小，此时对盘和物体 P 整体有 Fmin=（m 1+m2）a=72N当 P 与盘分离时拉力 F 最大，F max=m2（a+g）=168N例 9如图所示，质量均为 m=500g 的木块 A、 B 叠放在一起，轻弹簧的劲度为k=100N/m，上、下两端分别和 B 与水平面相连。原来系统处于静止。现用竖直向上的拉力 F 拉 A，使它以 a=20m/s 2的加速度向上做匀加速运动。求：经过多长时间 A

15、 与 B恰好分离？上述过程中拉力 F 的最小值 F1和最大值 F2各多大？刚施加拉力 F 瞬间 A、 B 间压力多大？分析与解：设系统静止时弹簧的压缩量为 x1， A、 B 刚好分离时弹簧的压缩量为 x2。 kx1=2mg， x1=010m。 A、 B 刚好分离时， A、 B 间弹力大小为零，且 aA=aB=a。以 B 为对象，用牛顿第二定律： kx2-mg=ma，得 x2=006m，可见分离时弹簧不是原长。该过程 A、 B 的位移 s=x1-x2=004m。由 ，得21atst=02s分离前以 A、 B 整体为对象，用牛顿第二定律： F+kx-2mg=2ma，可知随着 A、 B 加速上升，弹

16、簧形变量 x 逐渐减小，拉力 F 将逐渐增大。开始时 x=x1， F1+kx1-2mg=2ma，得F1=2N； A、 B 刚分离时 x=x2， F2+kx2-2mg=2ma，得 F2=6N以 B 为对象用牛顿第二定律： kx1-mg-N=ma，得 N=4N三、弹簧振子的简谐运动5轻弹簧一端固定，另一端系一个小球，便组成一个弹簧振子。无论此装置水平放置还是竖直放置，在忽略摩擦阻力和空气阻力的情况下，弹簧振子的振动都是简谐运动。弹簧振子做简谐运动过程中机械能守恒。水平放置的弹簧振子的总机械能 E 等于弹簧的弹性势能 Ep和振子的动能 Ek之和，还等于通过平衡位置时振子的动能（即最大动能），或等于振

17、子位于最大位移处时弹簧的弹性势能（即最大势能），即 E=Ep+Ek=Epm=Ekm简谐运动的特点之一就是对称性。振动过程中，振子在离平衡位置距离相等的对称点，所受回复力大小、位移大小、速度大小、加速度大小、振子动能等都是相同的。例 10如图所示，木块 P 和轻弹簧组成的弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动， O为平衡位置， B C 为木块到达的最左端和最右端。有一颗子弹竖直向下射入 P 并立即留在 P 中和 P 共同振动。下列判断正确的是：A若子弹是在 C 位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变B若子弹是在 B 位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期变小C若子弹是在 O 位置射入木块的，则射入

18、后振幅不变，周期不变D若子弹是在 O 位置射入木块的，则射入后振幅减小，周期变大分析与解：振动能量等于振子在最远点处时弹簧的弹性势能。在 B 或 C 射入，不改变最大弹性势能，因此不改变振动能量，也不改变振幅；但由于振子质量增大，加速度减小，因此周期增大。振动能量还等于振子在平衡位置时的动能。在 O 点射入，射入过程子弹和木块水平动量守恒，相当于完全非弹性碰撞，动能有损失，继续振动的最大动能减小，振动能量减小，振幅减小；简谐运动周期与振幅无关，但与弹簧的劲度和振子的质量有关。子弹射入后，振子质量增大，因此周期变大。选 D。例 11.如图所示，轻弹簧上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为 的木M

19、板，木板下面再挂一个质量为 的物体，当拿去 后，木板速度再次为零时，m弹簧恰好恢复原长，求 与 之间的关系？M解析：考虑到拿去 后。 将做简谐运动，则拿去 时 所处位置，与m弹簧刚恢复原长时 所处位置分别为平衡位置两侧的最大位置处，由 做简谐运动时力的对称性可知，在两侧最大位移处回复力的大小应相等，在最低位置处 ，方mgF向向上，在最高位置处 ，方向向下，所以有 。mgFM例 12如图所示，轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方 A 位置有一只小球。小球从静止开始下落，在 B 位置接触弹簧的上端，在 C 位置小球所受弹力大小等于重力，在 D 位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列判断中正确的

20、是：A 在 B 位 置 小 球 动 能 最 大B 在 C 位 置 小 球 加 速 度 最 大C 从 A C 位 置 小 球 重 力 势 能 的 减 少 等 于 小 球 动 能 的 增 加D 从 B D 位 置 小 球 重 力 势 能 的 减 少 小 于 弹 簧 弹 性 势 能 的 增 加Mm6分 析 与 解 ： A C 小 球 受 的 合 力 一 直 向 下 ， 对 小 球 做 正 功 ， 动 能 增 加 ； C D 小 球 受 的 合力 一 直 向 上 ， 对 小 球 做 负 功 ， 使 动 能 减 小 ， 因 此 在 C 位 置 小 球 动 能 最 大 。 从 B 到 D 小 球 的运 动

21、 是 简 谐 运 动 的 一 部 分 ， 且 C 为 平 衡 位 置 ， 因 此 在 C D 间 必 定 有 一 个 B?点 ， 满 足BC=B?C， 小 球 在 B?点 的 速 度 和 加 速 度 大 小 都 和 在 B 点 时 相 同 ； 从 C 到 D 位 移 逐 渐 增 大 ， 回复 力 逐 渐 增 大 ， 加 速 度 也 逐 渐 增 大 ， 因 此 小 球 在 D 点 加 速 度 最 大 ， 且 大 于 g。 从 A C 小 球重 力 势 能 的 减 少 等 于 小 球 动 能 的 增 加 和 弹 性 势 能 之 和 ， 因 此 重 力 势 能 的 减 少 大 于 动 能 的 增大

22、。 从 B D 小 球 重 力 势 能 减 小 ， 弹 性 势 能 增 加 ， 且 B 点 动 能 大 于 D 点 动 能 ， 因 此 重 力 势 能减 少 和 动 能 减 少 之 和 等 于 弹 性 势 能 增 加 。 选 D。四、弹性势能问题机械能包括动能、重力势能和弹性势能。其中弹性势能的计算式 高中不21kxEp要求掌握，但要求知道：对一根确定的弹簧，形变量越大，弹性势能越大；形变量相同时，弹性势能相同。因此关系到弹性势能的计算有以下两种常见的模式：1利用能量守恒定律求弹性势能。例 13如 图 所 示 ， 质 量 分 别 为 m 和 2m 的 A B 两 个 木 块 间 用 轻 弹 簧

23、 相 连 ， 放 在 光 滑 水平 面 上 ， A 靠 紧 竖 直 墙 。 用 水 平 力 F 将 B 向 左 压 ， 静 止 后 弹 簧 储 存 的 弹 性 势 能 为 E。 若 突 然撤 去 F， 那 么 A 离 开 墙 后 ， 弹 簧 的 弹 性 势 能 最 大 值 将 是 多 大 ？分析与解： A 离开墙前 A、 B 和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧恢复原长过程，弹性势能全部转化为 B 的动能，因此 A 刚离开墙时刻， B 的动能为 E。 A 离开墙后，该系统动量守恒，机械能也守恒。当 A、 B 共速时，系统动能最小，因此弹性势能最大。 A 刚离开墙时刻 B 的动量和 A、 B 共速时

24、 A、 B 的总动量相等，由动能和动量的关系 Ek=p2/2m 知，A 刚离开墙时刻 B 的动能和 A、 B 共速时系统的动能之比为 3：2，因此 A、 B 共速时系统的总动能是 2E/3，这时的弹性势能最大，为 E/3。例 14A、B 两个矩形木块用轻弹簧相连接，弹簧的劲度系数为 ，木块 A 的质量为 ，木块 B 的质量为 ，将它们竖直平放在竖直水平地面上，如右图所示。如果将mm另一块质量为 的物块 C 从距木块 A 高 处自由落下，C 与 A 相碰后，立即与 A 粘合H在一起，不再分开，再将弹簧压缩，此后，A 、C 向上弹起，最终能使木块 B 刚好离开地面，如果木块 C 的质量减为 ，要使

25、木块 B 不离开水平地面，那么木块2C 自由落下的高度 距 A 不能超过多少？ h分析与解：C 作用之前弹簧是压缩的，压缩量为 kmgx1B 刚要离开地面时弹簧是拉伸的，伸长量为 2所以 B 刚要离开地面时，A 上升的高度为 kxx3217设 C 与 A 碰撞前速度为 ，碰撞后为 ，则有 0v1v201mvgHC 与 A 碰撞瞬间动量守恒有： 10)(m由解得： 21gHv当 A 上升到最高点时，由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增量为xmE)()(221由解得： kgH26C 换成 后， 有 2m201vgh 10)2(1vmv由解得： v31当 B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次

26、相同，由能量关系得xgmE)2()2(1由解得： kHh93所以 不能超过 。求解策略：2、在弹簧、 “关联物”动能与势能的能量交换中，有从压缩状态恢复原长的，有从伸长状态恢复原长的，表现三种典型状态：弹簧伸长最长、压缩最短及恢复原长瞬间。对于在弹簧恢复原长的瞬间，除质量相等的两物体速度一个最大，另一个最小为零外，一般速度不会同时达到最大最小。原先在弹簧作用下加速的物体在弹簧恢复原长的瞬间速度一定最大，而对于受弹簧作用减速的物体则要据动量守恒和机械能守恒列方程求解。若解得它的速度为正值，则为最小；若为负值，表明已反向加速，则整个过程中此物体的最小速度应为零。2利用形变量相同时弹性势能相同。例

27、15如 图 所 示 ， 质量均为 m 的木块 A、 B 用轻弹簧相连，竖直放置在水平面上，静止时弹簧的压缩量为 l。现用竖直向下的力 F 缓慢将弹簧再向下压缩一段距离后，系统再次处于静止。此时突然撤去压力 F，当 A 上升到最高点时， B 对水平面的压力恰好为零。求： F 向下压缩弹簧的距离 x；压力 F 在压缩弹簧过程中做的功 W。分析与解：如图、分别表示未放A，弹簧处于原长的状态、弹簧和 A 相连后的静止状8态、撤去压力 F 前的静止状态和撤去压力后 A 上升到最高点的状态。撤去 F 后， A 做简谐运动，状态 A 处于平衡位置。状态弹簧被压缩，弹力等于 A 的重力；状态弹簧被拉长，弹力等

28、于 B 的重力；由于 A、 B 质量相等，因此、状态弹簧的形变量都是 l。由简谐运动的对称性，、状态 A 到平衡位置的距离都等于振幅，因此 x=2l到过程压力做的功 W 等于系统机械能的增加，由于是“缓慢”压缩，机械能中的动能不变，重力势能减少，因此该过程弹性势能的增加量 E 1=W+2mgl；到过程系统机械能守恒，初、末状态动能都为零，因此弹性势能减少量等于重力势能增加量，即 E 2=4mgl。由于、状态弹簧的形变量相同，系统的弹性势能相同，即 E 1=E 2，因此 W=2mgl。例 16质量为 m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为 x0,如图所示。一

29、物块从钢板正上方距离为 3x0的 A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动,但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为 m 时，它们恰能回到 O 点。若物块质量为 2m,仍从 A 处自由落下，则物块与钢板回到 O 点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与 O 点的距离。 分析与解物块与钢板碰撞时的速度 设 v1表示质量为 m 的物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度，因碰撞时间极短，动量守恒， mv 02mv 1 刚碰完时弹簧的弹性势能为 EP。当它们一起回到 O 点时，弹簧无形变，弹性势能为零，根据题给条件，这时物块与钢板的速度为零，由机械能守恒， 设 v2

30、表示质量为 2m 的物块与钢板碰撞后开始一起向下运动的速度，则有 2mv 03mv 2 仍继续向上运动，设此时速度为 v，则有 在以上两种情况中，弹簧的初始压缩量都是 x0，故有 PE当质量为 2m 的物块与钢板一起回到 O 点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力作用，加速度为 g。一过 O 点，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于 g。由于物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板的拉力，其加速度仍为 g。故在 O 点物块与钢板分离，分离后,物块以速度 v 竖直上升，则由以上各式解得，物块向上运动所到最高点与 O 点的距离为 lv 2/（2g）（1/2）x 例 17如下图所示，一质量不计的轻

31、质弹簧竖立在地面上，弹簧的上端与盒子 A 连接在一起，下端固定在地面上盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正9方体，一直径略小于此正方体边长的金属圆球 B 恰好能放在盒内，已知弹簧的劲度系数为 k=400Nm，A 和 B 的质量均为 2kg 将 A 向上提高，使弹簧从自由长度伸长 10cm 后，从静止释放，不计阻力，A 和 B 一起做竖直方向的简谐振动，g 取 10m/s2已知弹簧处在弹性限度内，对于同一弹簧，其弹性势能只决定于其形变的大小试求： (1)盒子 A 的振幅；(2)盒子 A 运动到最高点时，A 对 B 的作用力的大小及方向； (3)小球 B 的最大速度答案：（1） （2） ；方向竖直向

32、下c0N0（3） 12mvgsmgA/24五、解决弹簧问题的一般方法解决与弹簧相关的问题，一定要抓住几个关键状态：原长、平衡位置、简谐运动的对称点。把这些关键状态的图形画出来，找到定性和定量的关系，进行分析。例 18如图，质量为 m1的物体 A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 m2的物体 B 相连，弹簧的劲度系数为 k， A、 B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体 A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态， A 上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为 m3的物体 C 并从静止状态释放，已知它恰好能使 B 离开地面但不继续上升。若将 C 换成另一个质量为（

33、 m1+m3）的物体 D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次 B 刚离地面时 D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为 g。分析与解：画出未放 A 时弹簧的原长状态和挂 C 后刚好使 B 离开地面的状态。以上两个状态弹簧的压缩量和伸长量分别为 x1=m1g/k 和 x2=m2g/k，该过程 A 上升的高度和 C 下降的高度都是 x1+x2，且 A C 的初速度、末速度都为零。设该过程弹性势能的增量为 E ，由系统机械能守恒： m1g（ x1+x2）- m3g（ x1+x2）+ E= 0将 C 换成 D 后， A 上升 x1+x2过程系统机械能守恒：m1g（ x1+x2）-（ m1+m3） g（ x1+x2）+ E+ （2 m1+m3） v2/2=0由以上两个方程消去 E ，得