1、题目一：多项式插值某气象观测站在 8：00（AM）开始每隔 10 分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数（Newton）逼近如下曲线，插值节点数据如上表，并求出 9 点30 分该地区的温度（x=10） 。x 1 2 3 4 5 6 7 8y 22.5 23.3 24.4 21.70 25.2 28.5 24.8 25.4二、数学原理假设有 n+1 个不同的节点及函数在节点上的值（x ，y ） ，0（x ，y ） ，插值多项式有如下形式：n）（） （）（）（）（ n10n102010n x-)(x-P x （1）其中系数 （i=0,1,2n）为特定系数，可由插值样条i（ i=0,1,2n）确
2、定。iinyxP）（根据均差的定义，把 x 看成a,b上的一点,可得f(x)= f（ ）+f （ ）010x， 0-fx, = f +fx, （ ）01， ， 1xfx, ，x = fx, ，x + fx, ，x (x-x )0x1-n0xn0nn综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到：f(x)= f +f （ ）+ f （ ） （ ）010， 0-210x， 0-1x-+ fx, ，x （ ）(x-x )+ fx, ，x , = 0xn0x-1-n0n）（ 1nN （ x） +n）（ nR其中N （ x）= f +f （ ）+ f （ ）n010x， 0-210x， 0-（ ）+1x-+
3、fx, ，x （ ）(x-x ) 0n0x-1-n（2）= f(x)- N （x）= fx, ，x , ）（ xnRn 0xn）（ x1n（3） =（ ）(x-x )）（ 1n0-nNewton 插值的系数 （i=0,1,2n）可以用差商表示。一般有i （k=0,1,2，n ） fkk10x，（4）把（4）代入（1）得到满足插值条件 N （i=0,1,2，n）（）（ iinxf的 n 次 Newton 插值多项式N （ x）=f（ ）+f （ ）+f （ ）010x， 1-210， 1x-（ ）+f （ ） （ ）（ ）.2- n， x-n其中插值余项为：）（） ！（ ）（）（）（）（ 1fx
4、N-fxR1nnn 介于 之间。k10，三、程序设计function y,A,C,L=newdscg(X,Y,x,M) % y 为对应 x 的值，A 为差商表，C 为多项式系数，L 为多项式% X 为给定节点，Y 为节点值，x 为待求节点n=length(X); m=length(x); % n 为 X 的长度for t=1:mz=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y;s=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;for j=2:nfor i=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1)/(X(i)-X(i-j+1);endq1=abs(q1*(
5、z-X(j-1);c1=c1*j;endC=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);endy(k)= polyval(C, z); %输出 y 值endL(k,:)=poly2sym(C); %输出多项式 syms M,X=1,3,5,7;Y=22.5,24.4,25.2,24.8;x=10; y,A,C,L=newdscg(X,Y,x,M)y =21.7313A =22.5000 0 0 024.4000 0.9500 0 025.2000 0.4000
6、 -0.1375 024.8000 -0.2000 -0.1500 -0.0021C =-0.0021 -0.1187 1.4521 21.1688L =- x3/480 - (19*x2)/160 + (697*x)/480 + 3387/1604、结果分析和讨论对于不超过三次的插值多项式，x 如果选取 1,3,5,7 这三个点能够得到较好的三次插值多项式 L=-0.0021x3-0.1187x2+1.4521x+21.1688。当 x=10 时，也即 9 点 30 分时的温度为 21.7317 度，结果分析知此值应是偏小的。对于选取不同的插值节点，能够得到不同的插值多项式，误差也不尽相同。5、完成题目的体会与收获对于牛顿插值法有了更深的了解，合理选择插值节点很重要。加深了对其原理的认识，学会了牛顿插值法的 matlab 编程，对 matlab 计算方法更加熟悉。通过完成这道题使我受益匪浅。
