1、第二节 随机变量的方差和矩,一、方差的概念,二、方差的性质,三、方差的计算,四、原点矩和中心矩,1,上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,一、方差的概念,2,引例1 某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,3,引例2,设 与 都服从均匀分布，,概率密度分别为：,易知,虽然它们的数学期望相同，,但它们的分布却有着,显著
2、的不同.,的可能值比较集中，,比较分散.,4,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.,这个数字特征就是我们这一节要介绍的,定义1,随机变量,与其数学期望,的差，,叫做,的离差.,注：随机变量离差的数学期望恒等于零.,方差,5,采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用,由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.,方差的算术平方根 称为标准差或均方差,6,若X的取值比较分散，则方差较大 .,若方差D(X)=0,则r.v X 以概率1取常数值 .,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .,若X的取值比较集中，则方差较小；,7,X
3、为离散型， P(X=xk)=pk,由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=X-E(X)2的数学期望 .,X为连续型， Xf(x),8,计算方差的常用公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,展开,证：D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)2+E(X)2,=E(X2)-E(X)2,利用期望 性质,请自己用此公式计算常见分布的方差.,9,二、方差的性质,性质1,是任意常数）.,证明,性质2,是任意常数）.,证明,10,性质3,是任意常数）.,证明,D(aX+b ) = a2D(X),由性质2、3可得：,11,若随机变量 相互独立，则,证明 因为
4、独立，所以,性质4,12,类似可证明: 若随机变量 相互独立，有,性质4可推广为有限多个相互独立随机变量和的情形,若随机变量 相互独立，则,13,性质5,的充要条件是,证明,充分性,则,必要性,若,若,即,所以,14,例1 设X服从两点分布，其概率分布为,求,解,三、方差的计算,15,例2 随机变量,求,解 因为,则X表示n重贝努利试验中的“成功” 次数.,若设,则 X= X1+X2+Xn,i=1,2，n,D(Xi)=,pq,由例1知,所以 D(X)=,= npq.,16,例3 随机变量,求,解 据题意有,17,例4 设r.v X服从几何分布，概率分布为,P(X=k)=p(1-p)k-1, k
5、=1,2,，n,其中0p1,求D(X),解：,记q=1-p,求和与求导 交换次序,无穷递缩等比 级数求和公式,18,D(X)=E(X2)-E(X)2,+E(X),19,例5,求,的概率密度,已知连续随机变量,所以,解,20,例6 设,求,解,由第一节知:,21,标准差为,设随机变量,证明：,例7,证：,22,特别地, 若,则,例8 设两个相互独立的随机变量,与,的方差,的方差是,（1997年考研题）,分别为4和2, 则随机变量,23,例9 设,求 E (Y ), D(Y ).,解,例6,24,25,例10 在 0, 1 中随机地取两个数 X , Y , 求 D (min X ,Y ),解,1,
6、1,0,例7,26,27,例11,设二维随机变量,在区域,内服从均匀分布，试求：,（1990年考研题）,28,解：,所以二维随机变量,的联合概,显然有,有,区域 如图，,率密度为,29,（2）,所以,因此,30,常用分布及其数学期望与方差,分布,二项分布,31,超几何 分布,概率函数或概率密度,数学 期望,方差,分布名称 及记号,续表,32,概率函数或概率密度,数学 期望,方差,分布名称 及记号,续表,泊松分布,几何分布,33,概率函数或概率密度,数学 期望,方差,分布名称 及记号,续表,均匀分布,指数分布,34,概率函数或概率密度,数学 期望,方差,分布名称 及记号,续表,正态分布,35,概率函数或概率密度,数学 期望,方差,分布名称 及记号,续表,分布,36,四、原点矩和中心矩,将g(X)特殊化, 再求期望,可得到各种数字特征:,其中 k 是正整数. 假设上述期望均存在,显然, 随机变量 的一阶原点矩就是数学期望,二阶中心矩就是方差.,37,38,
