1、第 14 周 参数点估计 14.1 参数 的矩 估计 法 参数 估计和假设检验 20 名某地区高中男生的身高数据（单位： cm）： 170.1 179.0 171.5 173.1 174.1 177.2 170.3 176.2 163.7 175.4 163.3 179.0 176.5 178.4 165.1 179.4 176.3 179.0 173.9 173.7 假设总体服从 正态分布， 确定 正态分布 的 期望和方差。 参数 估计 是否 有充分的依据可以相信 这组数据 是来自正态总体？ 假设检验 * 假设总体的分布的形式已知，分布中含有未知参数 ， , , ,12 nX X X 是来自
2、该总体的一个样本， 构造适当的统计量 12, , , nX X X ， 估计总体分布的参数 ， 就称 为参数 的点估计。 最常用的两种点 估计构造方法是 矩估计法 和 极大似然估计法 。 * 设一个盒子里装有一定量的白球和黑球，试估计其中黑球比例。 假定进行 10 次有放回的抽取，抽到 3 个黑球：黑球比例大约 为 0.3 假设盒子中黑球比例为 p ，随机变量 101X pp, , ,1 2 10X X X 为 来自总体 X 的 样本 ， E X p 1 2 1 010X X XX 1 10 0.310xx * 估计 参数 ， kk fXE 12k k knkX X X fn 12, , ,
3、nX X X 如 总体包含 m 个未知 参数，则列 m 个方程求解。 取 m 个不同的数字特征 (最常用 的是 原点矩、中心矩 )，用 m 个参数表示的 理论表达式； 样本值 近似 理论值 。 矩估计法 矩估计不唯一 为了计算简单，尽可能用低阶矩。 * 例 14.1.1 总体服从 泊松 分布 P , , , ,12 nX X X 是来自该总体的一个样本，试求参数 的 矩估计 量 。 解 泊松 分布 的期望 EX ，用 样本均值 X 近似 期望 ， X E X ， 得 的 矩估计 量 为 X 。 解法 2 泊松分布 的 方差 Var X ，用 样本 方差 2S 替换总体方差， 得 的 矩估计 量
4、 为 2S 。 * 例 14.1.2 总体服从指数分布 E , , , ,12 nX X X 是来自该总体的一个样本，试求参数 的 矩估计 。 解 指数总体 的期望 1EX ，用 样本均值近似期望 ， 1X E X 得到 方程 1X ，求解 得参数 的 矩估计 量 为 1X 。 * 例 14.1.3 设 , , ,12 nX X X 是 来自 正态总体 2,N 的样本， 求参数 和 2 的矩估计 量 。 解 正态总体 的期望 EX ， 方差 2Var X 用 样本均值 X 和 样本 方差 2S 近似 总体 期望 和 方差 ， 得 的 矩估计 量 为 X 2 的 矩估计 量 为 22S 。 * 例 14.1.4 对于均匀总体 baU , ， 设 , , ,12 nX X X 是来自该 总体 的样本， 试求参数 ba, 的矩估计 量 。 解 利用总体的期望与方差 2,2 1 2baabE X V a r X ，得到方程组 2 2212ab Xba S 解得参数 ba, 的矩估计量 3a X S ， 3b X S 。 解法 2 考虑总体的 1 阶和 2 阶原点矩 ,2abEX 222 3a ab bEX ，得到方程组 2222123nab XXXa a b bn 解得参数 ba, 的矩估计量 ,ab。 *
