1、用法向量求二面角时法向量方向的判断贺年成 摘要：在求二面角时如何判断法向量的方向关键词：法向量 二面角 方向 判断 借助法向量求二面角的平面角时，二面角的平面角 的大小与法向量的所成角 （ ）相等或互补，当二面角两个法向量都指向二面角的内部=12n或外部时， （图 1） ；当两个法向量一个指向二面角的内部而另一个指向二面角的外部时， （图 2） 。对于法向量的方向的判断一直是个难点，其实我们可以借助空间坐标系的坐标原点就可以判断法向量的方向，具体方法如下：面 ABC 与空间直角坐标系的坐标轴分别交于 A,B,C 三点,不妨设 A( ,0,0), B(0, ,0), C(0,0, ),坐标原点
2、O 在面 ABC 上的射影abc zxyDOCBA为 D 点,容易证明： 是锐角三角形，而且 D 点为 的垂心 1,也就可以ABCABC知道 D 点在 的内部，设 D（x,y,z）,也即向量 =（x,y,z） ，则知 x，y ，zO分别与 ， ， 同号，此时取平面 ABC 的一个法向量 =（ ） ，若 与abc n1,n向量 的对应的一个坐标同号，则另外两个也必然对应同号，也即 与O 1,xyz， ， 对应同号，这样，只要 与对应的 ， ， 有一个同号，则可c1,xyzabc知 与 同向，从而可进一步判断出 的方向为指向平面 ABC 异于原点 O 的nD n一侧，否则就指向原点所在的那一侧，这
3、样一来我们可以很容易地判断法向量到底指向二面角的内部还是外部。若二面角的一个半平面过坐标原点，则可以通过平移半平面，让坐标原点置于二面角的内部或外部，再用上面的方法判断。例. 如右图在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC，E ，F 分别是 PC,PD的中点， （1）求二面角 FBEC 的大小， （2）求二面角DBEC 的大小。解析：（1）以 D 点为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz，依题意有 P（0，0，2） ，F （0，0 ，1） ，E
4、（0，1，1） ，B（2 ，2，0 ） ，C （0，2， 0） ， =（-2，-1 ，1） ，BE=（ 0，1，0） ， =（0，1，-1） ， =（0， 1，1） ，FED设 =（ ）, =（ ）, =（ ）分别nxyz2n2xyz3n3,xyz为平面 BEF，平面 BEC，平面 BDE 的法向量， 10BEnFA1120xyz1容易证明三侧棱两两垂直的三棱锥的性质：顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，底面为锐角三角形，锐角三角形的垂心在三角形的内部。PF ED CBAzyxPF ED CBA可取平面 BEF 的一个法向量 =（-1，0，-2） ，1n20BEnCA220xyz可取平面 B
5、EC 的一个法向量 =（0，1，1 ） ，坐标原点 D 在二面角的内部，平2n面 BEF 与 Z 轴交于 F 点， F 点的竖坐标与 的竖坐标符号相异，可知 的方向0n1n指向坐标原点 D 所在的一侧，也即 指向二面角的内部，同理，平面 BEC 与 Y1轴交于 C 点， C 点的纵坐标与 的纵坐标符号相同，可知 的方向指向异于坐22标原点 D 所在的一侧，也即 指向二面角的外部，由此可知，向量 与 所成n 1n2的角就是二面角的平面角， = = ,故二面角的1212cos,nA50平面角为 。10arcos()5（2） 可取平面 BDE 的一个法向量 =（1，-3BEnDA3320xyz 3n1，1 ） ，而此时坐标原点在 D 在平面上，可以把平面 BDE 沿着竖轴正方向移动到 ，使坐标原点在二面角的内部，此时 的竖坐标和 的竖坐标相同，故 3指向异于原点的另一侧，也即指向二面角的外部，由此可知，向量 与 所3n 2n3成的角是是二面角的补角， =0，故二面角的平面角为 。2323cos,nA
