1、用双曲线的定义解题学习双曲线内容时，首先要准确而深刻地理解定义，定义的本质揭示了平面上的动点变化的规律因此，对于有些双曲线问题，要根据题意充分挖掘条件，巧妙利用定义解题，以便简化运算，达到事半功倍的效果下面介绍几例一、求轨迹问题例 1 已知定点 ，以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆，求(07)(12)AB， ， ， ， ，另一焦点 F 的轨迹方程解：设 为轨迹上的任意一点，()xy，A、B 两点在以 C、F 为焦点的椭圆上， ， （其中 a 表示椭圆的长半轴长） 2a2B 22195FACA ，由双曲线的定义知，F 点在以 A、B 为焦点，2 为实轴长的双曲线2B的下半支上点 F 的轨迹方
2、程是 21()48xy点评：本题是典型的定义法求轨迹，解题时要注意： ，没有“绝对值” ，2FAB因此，它仅是双曲线的下半支二、求值例 2 在双曲线 上取一点 P 与双曲线两焦点 构成 ，求2169xy12， 12PF的内切圆与边 的切点坐标12PF 12F分析：如右图所示，要求出点 的坐标，关键在于求点 到两焦点距离，利用圆的NN切线长定理将这一距离之差转化为点 P 到两焦点的距离之差，然后利用双曲线的定义，问题就容易解决了解：如图所示，由已知得 ，22435abcab， ，根据圆的切线长定理及双曲线的定义，得， ， ，PMQ1FN22MF 211NQ ，即 ，1212 9FPN24ONF因
3、此切点坐标为 ，根据对称性，当点 P 在双曲线右支上时，切点 的坐标为(40)，(40)，所求切点的坐标为 或 ()， 40)，例 3 设 分别是双曲线 的左、右焦点，点 P 在双曲线上，若点 P12F， 216xy到焦点 的距离等于 9，求点 P 到焦点 的距离1 2F解：由 及 ，得 或 17又由 ，128191P28a知右支的顶点到 的距离为 10，而已知 ，说明点 在左支上，236c19FP此时， ，因此，点 P 到焦点 的距离为 1720PF 2F点评：此类问题的设计可以是一解，也可以是两解（如：本题已知当 时，10F有两解；当 时，有一解） 因此，对运算结果必须做合理分析1三、解不等式例 4 解不等式 2241082xx分析：本题若直接求解不等式，显然计算量较大，若转换思考角度从形式上联想到双曲线的定义，就可以优化解题过程解：原不等式可化为 ，22(1)3(5)3xx令 ，则 ，23yyy令 ，则不等式可化为(10)5()ABPx， ， ， ， ，2P不等式表示以 、 为焦点， ， 的双曲线两支之间的区域内的点2a4c原不等式与不等式组 同解2(3)1yx，原不等式的解为 x
