1、“实在不知道放什么就干脆把书扫成PDF了。”,冯嘉宁 郭海波 汪吉,2015-10-10,Chapter 1-1,映射与函数,“关于集合的一些”,A,B,邻域,以a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作N(a)。设是任一正数，则开区间(a - , a+)就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a的邻域。记作N(a,)，即N(a,)=x|a- x a+ 。中心与半径 点a称为这邻域的中心，称为这邻域的半径去心邻域 点a的邻域去掉中心a后，称为点a的去心邻域，表达方法是在U上标一个小的0。有时把开区间(a - , a)称为a的左邻域，把开区间(a, a + )称为a的右邻域。,“关于映射的一些”,设A、
2、B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素a，按法则f，在B中有唯一确定的元素b与之对应，则称f为从A到B的映射，记作 f：AB。 其中，b称为元素a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合B中所有元素的象的集合称为映射f的值域，记作f(A)。注意：（1）对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的象，即可以多对一； （2）构成一个映射必须具备的三个基本要素 1、集合X,即定义域f=X 2、集合Y,即限制值勤域的范围:Rf是Y的子集 3、对应规则f,使每个xX,有惟一确定的y=f(x)与之对应。,设f是从集合A到集合B的映射，若f(A)=B,即B中任一元
3、素b都是A中某元素的像，则称f为A到B上的满射；若对A中任意两个不同元素 a(1) 不等于 a(2) ,它们的像 f 不等于 f , 则称f为A到B的单射；若映射f既是单射，又是满射，则称映射f为A到B的“双射”(或“一一映射”)。函数为双射，当且仅当每个可能的像有且仅有一个变量与之对应。 函数f: A B为双射当且仅当对任意bB 存在唯一aA满足 f(a) = b。,假设存在关于x的函数:y=2x+3，对于任何xR及yR，由于y是x的线性函数，因此对于任何x都有唯一确定的y与其对应。又通过整理可以得到x=(y-3)/2，因此对于任何y，也有唯一确定的x与其对应。这样，在y=2x+3在xR、y
4、R的域中就是一个双射函数。而对于函数y=x2+2,对于xR、yR的取值范围内，对于任何x，都有唯一确定的y与其对应。但对于y2，任何y都对应2个不同的x。这样y=x+2在xR、yR的取值范围内，不是双射函数。但对于x0,+）、y2,+)。对于任何x，都有唯一确定的y与之对应，而对于任何y，都有x=(y-2)0.5，即唯一确定的x与之对应。因此它是一个双射函数,“逆映射与复合映射”,假如f,g互为逆映射,则 f(g(x)=g(f(x)=x 例如f(x)=x3,g(x)=x(1/3) f(g(x)=x(1/3)3=x=g(f(x),只有单调函数有反函数，映射只有“一对一”的情况下才有逆映射，否则“
5、一对多”的情况逆映射就变成“多对一”，不满足映射成立的条件 只有单设才存在逆映射，但不是一定存在 双射一定有逆映射,f(g(x)即为复合映射,即指多个映射的叠加,可以是f(g(h(x),写作f o g o h 例如g(x)=x2,f(x)=x+1 f(g(x)=f(x2)=x2+1,“关于函数的一些”,对于任何实数x，存在,y=x,三角函数,和差化积 sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2积化和差 sincos=(1/2)si
6、n(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)万能公式 sina=2tan(a/2)/1+tan(a/2) cosa=1-tan(a/2)/1+tan(a/2) tana=2tan(a/2)/1-tan(a/2),倍角公式 sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos-sin=2cos-1=1-2sin tan(2)=2tan/1-(tan) cot(2)=(cot-1)/(2cot) sec(2)=sec/(1-tan) csc(
7、2)=1/2seccsc三倍角公式 sin(3) = 3sin-4sin3 = 4sinsin(60+)sin(60-) cos(3) = 4cos3-3cos = 4coscos(60+)cos(60-) tan(3) = (3tan-tan3)/(1-3tan) = tantan(/3+)tan(/3-) cot(3)=(cot3-3cot)/(3cot-1),半角公式sin(/2)=(1-cos)/2 cos(/2)=(1+cos)/2tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos) =(1-cos)/sin=csc-cotcot(/2)=(1+cos)/(1-co
8、s)=(1+cos)/sin=sin/(1-cos)=csc+cot sec(/2)=(2sec/(sec+1) csc(/2)=(2sec/(sec-1),反三角函数,反三角函数是一种基本初等函数。它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。,三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数
9、，而不是 。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-/2y/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0y；反正切函数y=arctan x的主值限在-/2y/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0y。,反正弦函数y=sin x在-/2，/2上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在-/2，/2区间内。定义域-1，1 ，值域-/2，/2。反余弦函数绿的为y=arccos(x) 红的为y=arcsin(x) y=cos x在0，上的反函数，叫做反余弦函数。记作arccosx，
10、表示一个余弦值为x的角，该角的范围在0，区间内。定义域-1，1 ， 值域0，。,反正切函数y=tan x在(-/2，/2）上的反函数，叫做反正切函数。记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-/2，/2）区间内。定义域R，值域（-/2，/2）。,反余切函数y=cot x在（0，）上的反函数，叫做反余切函数。记作arccotx 绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x) ，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，）区间内。定义域R，值域（0，）。,反正割函数 y=sec x在0,/2)U(/2,上的反函数，叫做反正割函数。记作arcsecx，表示一个正割值为x
11、的角，该角的范围在0,/2)U(/2,区间内。定义域（-,-1U1,+),值域0,/2)U(/2,。反余割函数 y=csc x在-/2,0)U(0,/2上的反函数，叫做反余割函数。记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在-/2,0)U(0,/2区间内。定义域（-,-1U1,+),值域-/2,0)U(0,/2。,双曲函数,双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）依此类推。,反双曲函数,反双曲函数是双曲函数的反函数。记为（arsinh、arcosh、artanh等等）。与反三角函数不同之处是它的前缀是ar意即area(面积)，而不是arc(弧)。因为双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的，而圆角是以弧长与半径的比值定义。反双曲函数有六种。有反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切、反双曲余切、反双曲正割、反双曲余割六种。,反曲正切,
