1、理论力学、工程力学 的 与,解题方法总结暨竞赛辅导,系列讲座之四：动力学普遍定理的综合应用,基础,提高,理学院 力学教研室,主要内容,一、动力学普遍定理的结构,二、动量法的应用及常见错误,三、能量法的应用及一般步骤,四、突解约束问题,五、杂题举例,一、动力学普遍定理的结构,矢量方程，运动与外力的关系,标量方程，运动与作功力的关系,内容之二,动量法的应用及常见错误,图示均质圆盘转动惯量为J，其上绕以细绳，绳悬挂一重为P的重物。现在盘上加一力偶矩为的M力偶，设圆盘的角加速度为 ，问如下等式是否成立？,正确的是：,答：不成立。,另一方面：若对轮使用定轴转动微分方程，绳子的拉力并不等于重物的重力，重物
2、加速向上或向下会产生超重或失重的现象。,错误原因：,一方面：若对系统使用动量矩 定理，上面等式中没有考虑到重物的惯性。,二、动量法的应用常见错误,二、动量法的应用常见错误,厚度及密度均相等的二大小均质圆盘，用铆钉固结在一起，将大盘的一面静止地放在光滑水平面上，在大盘上受有力偶的作用，力偶矩为2FR，如图所示。已知两圆盘的质量分别为m1=4 kg、m2=1 kg，半径R=2r=100 mm，F=100 N。试求其角加速度，又绕哪点转动？,（1）根据质心运动定理可知：,系统质心运动守恒，因初始静止，故质心位置不动。,解：取大、小两圆盘组成质点系。,（2）由质心坐标公式确定质心位置：,质心C在O、O
3、1点之间，距O点 OC=r/5=20 mm,（3）求系统对质心的转动惯量：,根据转动惯量的平行轴定理：,（4）根据相对质心的动量矩定理求角加速度：,二、动量法的应用常见错误,一均质轮的半径为R、质量为m，在轮的中心有一半径为r的轴，轴上绕两条细绳，绳端各作用一不变的水平力F1和F2，其方向相反，如图所示。如轮对其中心O的转动惯量为J，且轮只滚不滑，求轮中心O的加速度。,对轮，由刚体平面运动微分方程有：,运动学关系：,解：,以上方程联立求解可得：,二、动量法的应用常见错误,一细绳绕在半径为r0.5 m，质量为m=15 kg的均质圆盘上，在绳的一端有常力FT=180 N向上拉动，细绳不可伸长。求（
4、1）圆盘中心的加速度；（2）圆盘的角加速度；（3）细绳的加速度。,取轮心C为动点，绳子（直线段）为动系,ae= aa- ar= aC- r,二、动量法的应用常见错误,例： 图示均质磙子的质量为m，半径为R，对其质心轴C的回转半径为。磙子静止在水平面上，且受一水平拉力P 作用。设拉力P 的作用线的高度为h，磙子只滚不滑，滚动摩阻忽略不计。求静滑动摩擦力Fs ，并分析Fs 的大小和方向与高度h的关系,对轮，由刚体平面运动微分方程有：,运动学关系：,解：,以上方程联立求解可得：,时，方向如图。,二、动量法的应用常见错误,例 图示的传动系统，已知主动轮A的半径为r1，它与电动机的转子对转动轴的转动惯量
5、为J1，从动轮B的半径为r2，它与输出轴对其转动轴的转动惯量为J2，均质胶带长为l，质量为m。假如电机启动后，作用在传动轴A上的转动力矩为M，求主动轮的角加速度。,注：轮和胶带的重力对轮轴的力矩为零，故图中没有将这些重力画出。,二、动量法的应用常见错误,二、动量法的应用常见错误,运动学关系：,分别对轴A、B，由动量矩定理得：,将运动学关系与上面2式联立得：,整理得：,两边胶带张力之差为：,图示均质圆柱体A、B的质量均为m，半径均为r，在其中部绕以质量不计的细绳。求： （1）圆柱体B下落时轴心的加速度。,运动学关系：,联立解得：,解：,分别以轮A、B为研究对象。,对A：,对B：,二、动量法的应用
6、常见错误,由刚体平面运动微分方程得：,运动学关系：,联立解得：,解：,对A：,对B：,图示均质圆柱体A、B的质量均为m，半径均为r，在其中部绕以质量不计的细绳。求：（2）若在圆柱体A上作用一逆时针的力偶M，能使圆柱体B质心加速度向上的条件。,为使aB0：,二、动量法的应用常见错误,如图所示，质量为m的小车置于光滑水平面上。在小车的斜面上，放一质量为m1的均质圆柱。设圆柱与斜面间的静摩擦系数为fS，试分析使圆柱在斜面上作纯滚动的条件。,（1）研究小车，平动，列写牛二方程：,（2）研究轮C，平面运动，列写平面运动微分方程为：,取小车为动系，轮心C为动点，作加速度分析，以建立aCx、 aCy与a、
7、间的关系：,故,其中,解得,二、动量法的应用常见错误,（3）上面6个方程（4个动力学方程+2个运动学条件）联立，解得：,得圆柱在斜面上纯滚动的条件：,二、动量法的应用常见错误,内容之三,能量法的应用及一般步骤,三、能量法的应用及一般步骤,图示滑轮组中，定滑轮和动滑轮的重量均为Q，半径均为R，可视为均质圆盘。重物A重P1重物B重P2，且P1P2+Q。求重物B的加速度。,三、能量法的应用及一般步骤,已知：杆O1O2=l，重Q；力偶矩M；均质轮半径r，重P。求曲柄从静止由水平位置转过一角度后的角速度。,质量为m，长为l的均质杆AB放在水平桌面上，其质心C到桌边缘O的距离为d。该杆从水平位置由静止释放
8、，开始围绕桌子边缘O转动。若杆与桌边缘O之间的静摩擦系数为fS，试求开始滑动时杆AB与水平面之间的夹角。,三、能量法的应用及一般步骤,三、能量法的应用及一般步骤,例 图示的传动系统，已知主动轮A的半径为r1，它与电动机的转子对转动轴的转动惯量为J1，从动轮B的半径为r2，它与输出轴对其转动轴的转动惯量为J2，均质胶带长为l，质量为m。假如电机启动后，作用在传动轴A上的转动力矩为M，求主动轮的角加速度。,系统的动能：,运动学关系：,利用运动学关系，动能以1表达为：,主动力（力偶）功率：,由功率方程：,解得：,三、能量法的应用及一般步骤,对一自由度理想约束系统，能量法的一般步骤,写出系统动能的表达
9、式,主动力的功（功率）,三、能量法的应用及一般步骤,图示系统，求在重力作用下由静止转过900后的角速度，及转轴O处的约束反力。,三、能量法的应用及一般步骤,图示直角弯杆OAB，求在重力作用下由静止转过900后的角速度，及转轴O处的约束反力。,解：,设杆OAB的角速度为 。,系统动能为：,由动能定理：,即：,解得：,三、能量法的应用及一般步骤,均质圆柱A和飞轮B的质量均为m，外半径均为r，中间用直杆以铰链连接。令它们沿斜面无滑动地滚下，假若斜面与水平面的夹角为 ，飞轮可视为质量集中于外缘的薄圆环，AB杆的质量可以忽略。求AB杆的加速度及其内力。,对轮A由刚体平面运动微分方程,对轮B由刚体平面运动
10、微分方程,三、能量法的应用及一般步骤,运动学关系：,（压力）,解得：,讨论：,两轮间连杆AB的内力为压力，说明若没有连杆AB的作用，则轮A将比轮B的加速度大（若两轮同时自静止运动，则轮A的速度将快于轮B）。这是由于虽然两轮的移动惯性相同，但轮A的转动惯性小于轮B。,比较,课间休息,内容之四,突解约束问题,四、突解约束问题的解法,一圆环由绳AB和光滑斜面支撑。圆环的质量为10 Kg、半径为2 m。在圆环上，有一质量为3 Kg的物块D与之固结。求在绳子剪断的瞬时，质点D的加速度。,四、突解约束问题的解法,长为l，质量为m的两根相同的均质杆AB与BC铰接后一端A用铰链固定，另一端置于光滑水平面上。求
11、在系统从图示位置无初速地开始运动的瞬时，水平面对杆的约束力。,（1）研究杆AB，定轴转动，列写定轴转动微分方程、运动学关系分别为：,（2）研究杆BC，平面运动，列写平面运动微分方程为：, 杆BC作平面运动，以B为基点，研究C点加速度，建立aB与BC间运动学关系：,其中,投影于竖直方向得：,四、突解约束问题的解法,注意到,解得：, 以B为基点，研究D点加速度，建立aD1、 aD2与aB间运动学关系：,其中,投影于水平及竖直方向得：,注意到,解得：,（3）联立求解以上8个方程（4个动力学方程+4个运动学关系），可解得：,四、突解约束问题的解法,四、突解约束问题的解法,例：图示系统，力F使A点以u匀
12、速运动，绳OB=L/2。图示瞬时，运动至OB铅垂。求此瞬时OA杆的加角速度、地面约束力、绳的拉力。设杆长为L，质量为m,分析：此题目给出了杆的运动，可以用刚体平面运动微分方程求出未知力。,四、突解约束问题的解法,投影于 轴，得：,四、突解约束问题的解法,其中：,内容之四,动力学杂题,五、动力学杂题,质量为m的物体A带动单位长度的重量为q的柔链，以速度v0向上抛出。若柔链有足够的长度，求重物所能达到的最大高度h。,此过程中机械能守恒T0+V0=T+V,初始机械能：T0+V0=0.5mv20+0=0.5mv20,末状态机械能：T+V=0+mgh+0.5qh2=mgh+0.5qh2,0.5mv20=mgh+0.5qh2,qh2+2mgh-mv20 =0,五、动力学杂题,质量相同的三质点A，B，C以等距离系于柔绳上，然后将此系统伸直放在光滑的水平桌面上，如图所示。设质点B在垂直于绳的方向上以速度v开始运动（在水平面内）。试求：质点A，C相遇时的速度。,五、动力学杂题,均质板，场为L，厚为b。左右均衡地平放在圆柱体的顶点处，设板与圆柱体间有足够大的摩擦，保证不滑动。试求：板受轻微干扰而不发生倾覆的条件。,由稳定的条件：hR+0.5b,稳定的条件：hR+0.5b,结束,
