电力系统潮流计算.doc

1、第四章 电力系统潮流分析与计算电力系统潮流计算是电力系统稳态运行分析与控制的基础，同时也是安全性分析、稳定性分析电磁暂态分析的基础（稳定性分析和电磁暂态分析需要首先计算初始状态，而初始状态需要进行潮流计算） 。其根本任务是根据给定的运行参数，例如节点的注入功率，计算电网各个节点的电压、相角以及各个支路的有功功率和无功功率的分布及损耗。潮流计算的本质是求解节点功率方程，系统的节点功率方程是节点电压方程乘以节点电压构成的。要想计算各个支路的功率潮流，首先根据节点的注入功率计算节点电压，即求解节点功率方程。节点功率方程是一组高维的非线性代数方程，需要借助数字迭代的计算方法来完成。简单辐射型网络和环形

2、网络的潮流估算是以单支路的潮流计算为基础的。本章主要介绍电力系统的节点功率方程的形成，潮流计算的数值计算方法，包括高斯迭代法、牛顿拉夫逊法以及 PQ 解藕法等。介绍单电源辐射型网络和双端电源环形网络的潮流估算方法。4-1 潮流计算方程-节点功率方程1. 支路潮流所谓潮流计算就是计算电力系统的功率在各个支路的分布、各个支路的功率损耗以及各个节点的电压和各个支路的电压损耗。由于电力系统可以用等值电路来模拟，从本质上说，电力系统的潮流计算首先是根据各个节点的注入功率求解电力系统各个节点的电压，当各个节点的电压相量已知时，就很容易计算出各个支路的功率损耗和功率分布。假设支路的两个节点分别为 和 ，支路

3、导纳为 ，两个节点的电压已知，分别为klkly和 ，如图 4-1 所示。kVl图 4-1 支路功率及其分布那么从节点 流向节点 的复功率为（变量上面的“”表示复共扼）：kl(4-1)(lkllkl VyIVS从节点 流向节点 的复功率为：(4-2)(klkllklkI功率损耗为：(4-3)2)()( klllklklkll VyyVS因此，潮流计算的第一步是求解节点的电压和相位，根据电路理论，可以采用节点导纳方程求解各个节点的电压。2. 节点功率方程根据电路理论，要想求系统各个节点的电压，需要利用系统的节点导纳方程。图 4-2 电网络示意图如图 4-2 所示的电网络，有 N 个节点，假如已知各

4、个节点的注入电流源的电流，以及各个支路的支路导纳，那么可以根据节点导纳方程求出电网各个节点的电压：(4-4)SIYV其中 NNNYY 212112为电网络的节点导纳矩阵， （ ）为自导纳，是与 k 节点所有连接支路kN,21导纳之和， （ ）为互导纳，等于负的连接 和 节点的所有支路导纳之和。kllkl为各个节点的电压相量， 为注入到各个T21,NV T,21,NSSII节点的总电流。2.1 节点复功率方程要想计算各个节点电压，除了需要知道系统参数及节点导纳矩阵以外，还需要知道节点的注入电流源的电流。然而电力系统中，节点的注入电流是不知道的，已知的是各个节点的注入功率。这就需要将节点电压方程转

5、化为节点功率方程。方程 4-4 中第 （ ）个节点的方程可以写作：kN,21(4-5)SkNkkNllk IVYVY 11在方程 4-5 两端乘以 ，得到：k(4-6)SkkSNllk jQPIV1假如在电力系统中，各个节点的注入复功率都已知，那么就可以用方程 4-6 组成的方程组求解各个节点的电压。然而实际情况并非如此，已知的条件是：有的节点的注入复功率 S 是已知的，有的节点的电压幅值和注入有功功率是已知的，有的节点的电压和相角是已知的。根据这三种不同的情况，电力系统中各个节点分为三种类型：PQ 节点、PV 节点和 V 节点。所谓 PQ 节点，就是该节点的注入复功率 S 是已知的，这样的节

6、点一般为中间节点或者是负荷节点。PV 节点，指该节点已知的条件是注入节点的有功功率 P 和该节点的电压幅值 V，这样的节点通常是发电机节点。V 节点指的是该节点的电压幅值和相角是已知的，这样的节点通常是平衡节点，在每个局部电网中只有一个这样的节点。当然，PQ 节点和 PV 节点在一定条件下还可以互相转化，例如，当发电机节点无法维持该节点电压时，发电机运行于功率极限时，发电机节点的有功和无功变成了已知量，而电压幅值则未知，此时，该节点由 PV 节点转化为 PQ 节点。再比如某个负荷节点，运行要求电压不能越限，当该节点的电压幅值处于极限位置，或者电力系统调压要求该节点的电压恒定，此时该负荷节点就由

7、 PQ 节点转化为 PV 节点。假如全系统有 N 个节点，其中有 M 个 PQ 节点，N-M-1 个 PV 节点，1 个平衡节点，每个节点有四个参数：电压幅值 、相位角 （用极坐标表示电压，如果用直角坐标表示V电压相量则是 和 ）注入有功功率 和无功功率 ，任何一个节点的四个参数中总有efSPSQ两个是已知的，因此 N 个节点，有 2N 个未知变量，N 个复数方程（即 2N 个实数方程，实部和虚部各一个） ，通过解这个复数方程就可得到另外 2N 个参数。这就是潮流计算的本质。但在实际求解过程中，由于我们求解的对象是电压，因此，实际上不需要 2N 个功率方程，对于 M 个 PQ 节点，有 2M

8、个功率方程（M 个实部有功功率方程，M 个虚部无功功率方程） ；对于 N-M-1 个 PV 节点，由于电压有效值 V 已知，因此只有 N-M-1 个有功功率方程；对于平衡节点，由于电压和相角已知，不需要功率方程。因此总计有 2M+N-M-1=N+M-1 个功率方程。如果电压相量用极坐标表示，即 ，则 M 个 PQ 节点有kk2M 个未知数（M 个电压有效值，M 个电压相角） ，N-M-1 个 PV 节点有 N-M-1 个未知数（电压有效值已知，未知数为电压相角） ，平衡节点没有未知数，因此未知数的个数也是N+M-1 个，与方程数一致。如果复电压用直角坐标表示， ，则有 2(N-1)个未kkjf

9、eV知数，还需要增加 N-M-1 个电压方程，即 。22kfe2.2 用直角坐标表示的电力系统节点功率方程对于 PQ 节点，已知的是注入节点的功率 P 和 Q，将 和kmkmjBGY带入节点功率方程的复数表示式中，可以得到有功功率和无功功率两个方程：kkjfeV(4-7) 11 )()(NmmkkNmkkLkGSk keBfGefBefQP上式中 和 为注入到节点 k 的净功率，即注入和消耗的代数和。 、 表示kS GkPQ注入的功率， 和 为消耗的功率。LPk对于 PV 节点，除了有功功率方程外，因为已知该节点的电压幅值，还有一个电压方程：（4-8）22kkfeV方程 4-7 可以抽象的表示

10、为：(4-9)0),(11NkfefQP方程 4-8 可以抽象的表示为(4-10),(11kffV因此，对于一个具有 N 个节点的电力系统，其中 M 个 PQ 节点，N-M-1 个 PV 节点，1 个平衡节点，有方程如下： 节 点 的 方 程个 PQ20),(),(1111NMfefQPffe （4-11）节 点 方 程个 PV1)-M2(0),(),(1111NNfefVPff N 个节点，平衡节点的电压幅值和相角已知，即其横分量和纵分量已知，因此平衡节点不参与计算。N-1 个节点的电压的横分量和纵分量为未知数，共 2N-2 个未知数。2M 个PQ 节点方程，2(N-M-1) 个 PV 节点

11、方程，共计 2N-2 个方程。解这个方程组，就可以得到电力系统 N 个节点的电压相量，根据各个节点的电压相量和已知的注入功率，就可以计算出各个支路的潮流分布，及各个支路的功率损耗。2.3 极坐标表示的节点功率方程对于 PQ 节点，已知的是注入节点的功率 P 和 Q，将 和kmkmjBGY带入节点功率方程的复数表示式中，可以得到实部和虚部两个方程：kkV(4-12) NmkmkmkkLGkS BVQP1 )cossin(ic上式中， 代表电压幅值， 。k对于 PV 节点，由于节点的电压幅值已知，因此只有有功功率方程而没有无功功率方程。同样，方程 4-12 可以抽象的表示为：(4-13a)0),(

12、111NMkVP(4-13b)Q因此，对于一个具有 N 个节点的电力系统，其中 M 个 PQ 节点，N-M-1 个 PV 节点，1 个平衡节点，有方程如下： 节 点 方 程个 PQ20),(),(111111 NMVQP (4-14)节 点 方 程个 PV10),(111-N MPNM 除了平衡节点外，N-1 个节点中，有 M 个 PQ 节点的电压幅值和相角都是未知数，N-M-1 个 PV 节点的相角为未知数，因此共有 2M+N-M-1=N+M-1 个未知数，2M+N-M-1=N+M-1 个方程。在方程 4-14 中，可以把 N-1 个有功功率方程放在一起，M 个无功功率方程放在一起：个 有

13、功 功 率 方 程1N0),(,111 MNVP (4-15)个 无 功 功 率 方 程QNM),(111 解上述方程组，就可以得到电力系统中各个节点的电压幅值和相角，进而可以计算出各个支路的潮流分布和损耗。3. 小结潮流计算是计算电力网各个支路的功率潮流分布和功率损耗，同时也计算各个支路的电压损耗。首先要求电力网各个节点的电压相量。根据电网络理论，节点电压通常采用节点导纳方程来求解，即已知电网络的节点导纳矩阵和各个节点的注入电流源的电流，求解节点导纳方程。然而通常电力系统各个节点的注入电流是未知的，已知的是各个节点的注入功率，因此需要将节点电压方程转化为节点功率方程。实际电力系统的节点注入功

14、率并非都已知，有的已知注入有功功率 P 和无功功率 Q 称为 PQ 节点；有的已知注入有功功率 P 和节点电压有效值 V，称为 PV 节点；有的已知节点电压 V 和相角 d，称为平衡节点或 V节点。无论哪种类型节点，每一个节点均含有 4 个参量 P、Q、V、 （或 e、f）已知的是其中的两个，故而可以利用节点功率方程（4-6 ）求解出另外两个参量。假设系统有 N 个节点，必然有 2N 个未知数，同样有 2N 个节点功率方程（4-17 中的实部和虚部各一个） 。实际上，我们求解的目标是电压，对于 PV 节点和 V节点来说，前者电压有效值已知，后者电压相量已知，因此不存在 2N 个未知数，当然也不

15、需要 2N 个方程。假设系统有 N个节点，M 个 PQ 节点，1 个平衡节点，对于直角坐标表示的节点电压来说，有 2(N-1)个未知数，2M+N-M-1 个功率方程，只需要再补充 N-M-1 个电压方程就可以了；对于极坐标表示的电压来说，只有 N-1 个 未知数，M 个 V 的未知数，因此只需要 N+M-1 个功率方程就足够了。无论怎样，潮流计算是解决这样的一组非线性代数方程组：(4-16)0),(UCXF其中， 代表系统状态，包括电压 V 和相角；C 代表参数，包括电导 G 和电纳B；U 表示系统激励，即注入的功率。求解这样的多维非线性代数方程组，需要利用计算机进行辅助迭代计算，即先给定一个

16、初值，然后不断迭代，逼近真实解。方法有：高斯-赛德尔迭代法，牛顿 -拉夫逊法和 PQ解耦法。4-2 高斯赛德尔叠代法1基本原理为了方便理解这个 n 维方程组的叠代求解方法，先从一元非线性方程的求解开始。假设有一维方程 ，高斯法的基本原理是，先将方程转化为：0)(xf（4-17）g那么给定一个初值 ，代入就可以得到一个新值 ，第 k 次叠代的值为：0 )(01xg（4-18）)(1kkxg一直叠代到误差满足要求为止，即（4-19）1N其中 为事先设定的允许误差。其计算流程如图 4-3 所示。图 4-3 高斯迭代法的计算流程这个解方程的方法称为高斯叠代法。这个叠代求解的过程可以这样来理解：的解可以

17、认为是两个曲线 和 的交点的横坐标 ，首先给定一个)(xgxy)(gx初值 ， 与斜线 的交点的横坐标即为叠代后的新解 ， 与斜线00 1)(1g的交点的横坐标即为叠代后的新解 ，如此围绕交点往复循环，不断地逼近方程y 2的解，如图 4-4 所示。图 4-4 高斯迭代法的几何解释高斯迭代法可以推广到 n 维非线性代数方程组，假设 n 为方程组为：（4-20 ）0),(,)(2121nnxff 首先将方程组 4-20 转化为：（4-21）),(,21221nnnxgx 给定一组初始值 ，带入上式，得到一组新值 ，T0201 ,nxX )(01Xg不断叠代，循环往复，第 k 次叠代为：（4-22）

18、)(1kXg其中第 j 个方程为（4-23）),(211 knkjkj xx直到叠代前后的解的最大误差不超过允许的误差为止，即（4-24）ma1Njjj为了提高高斯叠代法的收敛速度，赛德尔提出将已经叠代出的新值代替旧值参与叠代计算，如在第 k 次叠代中，第 j 个方程为（4-25）),(111 knkjjjj xxgx 第 1 至 j-1 个元素已经叠代出 k+1 次的值，因此代替第 k 次的值参与第 j 个元素的叠代，就可以提高收敛速度。2. 电力系统潮流计算的高斯赛德尔迭代法电力系统潮流计算需要求解节点功率方程，其中第 m（m=1,2,N）个节点功率方程为：(4-26)SNmllmNllm

19、 jQPVYVY121 如上式变换为 的形式，可以得到如下的方程：)(xg（4-27）)1NmllSmmjQPY根据高斯赛德尔迭代法，首先给定电压相量的初值，对于 PQ 节点，不仅需要给定电压幅值的初值，还要给出相角的初值（设为零） 。假如第 m 号节点为 PQ 节点，第 k 次叠代公式为（第 m 个节点以前的节点第 k 次叠代已经完毕，因此用 k+1 次的值取代 k 次的值，而在第 m 个节点以后的节点尚未进行第 k次叠代）：（4-28）)(111 NmlklmlklkSmkm VYVjQPYV对于 PV 节点，给定的初值的电压幅值为给定的电压，相角初值设为零。可是对于 PV节点来说，注入该

20、节点的无功功率未知，因此第 k 次叠代时，首先按照下式计算注入 PV节点（假设第 m 个节点是 PV 节点）的无功功率：（4-29）)(II 11 NmlklmlklkkSkS VYVQ如果在叠代计算过程中，任意节点的电压和无功功率必须满足不等约束条件：maxminkViQ如果在叠代过程中，PQ 节点的电压幅值超出允许的范围，则该节点的电压幅值就固定为允许电压的上限（如果超出上限）或下限（如果越过下限） ，PQ 节点就变为 PV 节点继续进行叠代。同样，对于 PV 节点来说，如果在叠代过程中，无功功率 Q 超出了允许的范围，则 PV 节点就变为 PQ 节点继续参与叠代。高斯赛德尔叠代法的计算过

21、程如下：（1）第一步：设置初始值，对于 PQ 节点，由于其电压相量的幅值和相角都未知，因此初始的电压相量的幅值可以设定为各个点的额定电压，相角选择为零；对于 PV 节点，由于其电压相量的幅值已知，因此幅值用已知的设定电压，初始相角设定为零。（2）第二步：对于 PQ 节点，直接将设定的初始值代入，用 4-28 求得下一次迭代的电压值，然后判断是否电压越限，如果越限，则用其限值（越过上限用上限值，越过下限则用下限值） ，该节点在下一次迭代过程中转化为 PV 节点；对于 PV 节点，则首先利用式4-29 求出注入的无功功率，然后校验无功功率是否越限，如果越限则采用上限值或者下限值，下一次迭代时该节点

22、转化为 PQ 节点，将求得的注入无功功率和已知的有功功率代入4-28 求解下一次迭代的电压相量值。（3）第三步：判断误差是否满足要求，用第 k 次迭代的结果和 k-1 次迭代的结果进行比较，如果其最大的误差满足事先设定的误差要求，则输出计算结果，如果不满足要求，则返回第二步继续迭代。其计算流程图如图 4-5 所示。图 4-5 高斯赛德尔迭代法求解电力系统潮流的计算流程图4-3 牛顿拉夫逊法1. 牛顿拉夫逊法的基本原理先考虑一个一元非线性方程 的求解问题，假设 是该方程的近似解，与真0)(xf 0x实解之间的误差为 ，那么有：x（4-30）0)(0f将之展开成一阶泰勒级数：（4-31）0)()(

23、00 xfxfxf可以计算出近似解 与真实解之间的误差近似为：（4-32）)(0xf因此，可以得到这个一元非线性方程的求解步骤为：首先给定解的初值 ，然后根0x据公式 4-32 求出初始值的修正值 ，由此可以得到该方程的新的解 ，0x 01如此反复叠代，直到误差满足要求 。迭代计算流程如图 4-6 所示。N图 4-6 牛顿拉夫逊法计算流程其迭代求解过程的几何意义如图 4-7 所示。图 4-7 牛顿拉夫逊法的几何解释可以把上述求解一元非线性代数方程的方法推广到 n 维非线性代数方程（如 4-20）的求解。非线性代数方程组 4-20 可以表示为矩阵形式：（4-33）0XF)(同样假定 是该方程组的

24、近似解，与真实解之间的误差为 ，在 处展开一阶泰X0勒级数：（4-34 ）0)()(00 XJ其中：（4-35）002122111|d)( XXFJ nnnxffxffxx 被称为雅克比矩阵。4-34 称为修正方程，修正方程可得到修正值 ：X（4-36 ）)(01XFJ计算过程与一维方程的牛顿法求解类似，首先给定初值 ，T0201 ,nxx并计算出在初始值处的雅克比矩阵 ，利用 4-36 式计算初始值的修正值0J，根据这个差值可以得到修正后的解 。如此循环)(010 往复，在第 k 次叠代时，计算雅克比矩阵 ，根据 4-34 计算修正值 ，k )(1kkXFJ得到第 k+1 次修正后的解： ，

25、重复上述过程，直到误差满足要求为1kX止。可见，牛顿拉夫逊法的关键在于求解雅克比矩阵 J，由于直角坐标表示和极坐标表示电压相量的节点功率方程有所不同，因此其雅克比矩阵也有很大的差异。2.直角坐标节点功率方程的牛顿拉夫逊法仍然假设系统有 N 个节点，其中 M 个 PQ 节点，N-M-1 个 PV 节点，1 个平衡节点。则 M 个 PQ 节点方程为（假设 1 号节点至 M 号节点为 PQ 节点）：（4-37） 0)()(11Nl lklkNl lklkSk l llkl ll eBfGefBeGfQP。,21N-M-1 个 PV 节点的方程为（假设第 M+1 号节点至第 N-1 号节点为 PV 节

26、点）：（4-38） 00)()(22 11kk Nl lklkNl lklSfeVeBfGfBGP。,其中， 只代表一个函数，并非代表电压差； 和 为注入到节点 k 的净功率，k SkPQ即注入到该节点的发电功率减去该节点的负荷功率。PQ 节点的方程是有功功率和无功功率方程，PV 节点方程有功功率方程和电压方程，平衡节点为参考节点，电压已知，没有方程，但其电压参与节点功率方程中计算。未知变量是除了平衡节点外的各个节点的电压相量的横分量和纵分量，共有 2(N-1)个未知数，2(N-1)个方程。其修正方程为： 111,1,1,1,1,1, ,1,1,1,1,1, 1,1,1, ,1,1,11111

27、1 | nmmnmnmnn nmmmm nmmmm nmmnmm feffefSRSRSSR HNNHN LMLLML HNNHNVPQP （4-39）其中：（ ）kjkjjkkj fBeGPNkj1)(nl lklkkkkk fBeGfBeGPN（ ）kjkjjkj ffHj1)(nl lklkkkkk eBfGfeBfP（ ）kjkjjkj fQMj1)(nl lklkkkkk eBfGfeB（ ）kjkjjkj ffQLj1)(nl lklkkkkk fBeGfBeGf（ ）0jkjVRjkkke2（ ）0jkjfVS kjkkkff2基于直角坐标的牛顿拉夫逊法求解潮流计算的步骤如下：（

28、1）第一步：设定初值，对于 PQ 节点，其电压幅值的初值设定为该点的额定电压，而相角设定为零，因此，电压实部设定为额定电压，而虚部设定为零。对于 PV 节点，电压幅值已知，因此该节点的电压相量实部设定为已知的电压幅值，虚部也设定为零。（2）第二步：求出 PQ 节点有功功率和无功功率增量 、 （公式 4-37） ，以)(kP)(kQ及 PV 节点的有功功率和电压幅值的增量 和 （公式 4-38） ，同时求出雅克比矩)(kP)(kV阵 。)(kJ（3）第三步：求解修正方程 4-39，得到电压的实部和虚部的修正值 和 。)(ke)(kf并根据修正值修正设定的电压初始值。（4）第四步：判断误差是否满足

29、要求，如果满足要求，则输出计算结果，否则就令，转入第二步继续迭代。1k3.极坐标节点功率方程的牛顿拉夫逊法仍然假设系统有 N 个节点，其中 M 个 PQ 节点，N-M-1 个 PV 节点，1 个平衡节点。则 M 个 PQ 节点方程为（假设第 1 号节点至第 M 号节点为 PQ 节点）：（4-40） 0)cossin(ic1nl kllkllkSkl lllklBGVQP,21N-M-1 个 PV 节点只包含有功功率方程（假设第 M+1 号节点至 N-1 号节点为 PV 节点）：（4-41） Nl kllkllkSk BGVP1 0)sinco(其中 和 为注入到节点 k 的净功率，即注入到该节

30、点的发电功率减去该节点负kQ荷功率。PQ 节点既有有功功率方程，也有无功功率方程，未知数为电压幅值和相角；而PV 节点则只有有功功率方程，未知数只有电压的相角。因此，极坐标下的节点功率方程共有 2M+(N-1-M)=N+M-1 个未知数和方程。把上述方程调整一下顺序：把 N-1 个有功功率方程放在一起， M 个无功功率方程放在一起，方程可以写作：（4-42）0),(VQP， ，T121,NP T21,MQ T121,N， 。,M其修正方程为：（4-43 ） mnmnmmn mnnnnmn VQVQPVPQP /| 11111 1111 111 11111 上式中，为了使得雅克比矩阵的各个元素具

31、相似性，并为 PQ 解藕法作铺垫，将雅克比矩阵中对电压的偏导元素乘上电压值，后面电压增量上除上电压值，根据矩阵的知识不难发现，经过上述处理后修正方程没有发生什么变化。将上面的修正方程中的矩阵分为两部分：（4-44）VLMHNQP/，并非是矩阵相除；分块矩阵 为T1/,/ m N阶矩阵， 为 阶矩阵， 为 阶矩阵，)()1(MN)1( )1(为 阶矩阵。上述分块矩阵的元素分别表示如下： kskkl kllkllkk BVQBGVPN 2)cosin( （ ）)ico(kjjkjjkjkj jskkkl kkllkllkk PGVBGVPVH 22)sin( )icos(kjjkjjkjjkj j

32、skkkl lklllkk PGVBGVQM 2)sin( )icos(kjjkjjkjkj jskkkkl kllkllkk QBVBGVQVL 22)cosin( )icos(kjjkjjkjjkj Bj基于极坐标下的牛顿拉夫逊法的潮流计算过程如下：（1）第一步：设定初值，对于 PQ 节点，其电压幅值的初值设定为该点的额定电压，而相角设定为零；对于 PV 节点，电压幅值已知，因此只设定相角的初值，设定为零。（2）第二步：求出 PQ 节点有功功率和无功功率增量 、 (参见式 4-40)，)(kP)kQ以及 PV 节点的有功功率和电压幅值的增量 (参见式 4-40)，同时求出雅克比矩阵 。)k

33、 )(kJ（3）第三步：求解修正方程 4-43，得到电压幅值和相角的修正量 和 。并)(kV)(k根据修正值修正设定的电压初始值。（4）第四步：判断误差是否满足要求，即 、 。如果满足要1)(k2)(k求，则输出计算结果，否则就令 ，转入第二步继续迭代。1k4-4 PQ 解藕法通过上面的分析和论述，可以发现，牛顿拉夫逊法的收敛速度很快，但计算量很大，因为每一次迭代都必须重新计算雅克比矩阵，并求解修正方程。因此，为了减少计算量，根据基于极坐标的牛顿拉夫逊法的特点，建立了 PQ 解藕法的潮流计算方法。首先，我们来观察一下基于极坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算过程中的电压修正方程中的雅克比矩阵的情况。根

34、据电力系统在稳态运行时的实际情况，可知， ，kjkjBG， ， ，因此，我们可以近似的认为：0kj kskBVP2ksBVQ2； ； ；LNjjjLN0kkMH0kjj这就是说，各个节点电压相角的变化主要与注入净有功功率的变化有关，各个节点电压幅值的变化主要与注入的净无功功率的变化有关： ； ，将NPVLQ/这两个修正方程可以表示为：（4- 121211,2,1, ,221121 21,2,1, 1,2212121 00 NNNnN NNNNN VBBVVBVBP 45）上面的方程可以进一步表示为：（4-46） 1211,2,1,1,221121121/ NNNNN VBBVP 可以简单的表示

35、为：（4-47）)(/其中，矩阵 为全系统除了平衡节点以外的节点电纳矩阵。注： 和 表示P/V不是很严谨，它们仅代表由 和 组成的列向量。kVP/k同理可得：（4-48）)(/BVQ其中，矩阵 为所有 PQ 节点以外的节点电纳矩阵。注： 仅代表由Q/组成的列向量。k/这样，我们在求解修正方程 449 和 450 的时候，只需要提前将节点电纳矩阵 和B利用高斯消去法变换成上（或下）三角矩阵，并记录变换过程就可以了。与牛顿拉夫逊法相比，每一步的迭代过程都大大减少了工作量。PQ 解藕法的潮流计算步骤如下：（1）准备工作，形成全系统（平衡节点除外）的节点电纳矩阵 ，以及其子矩阵B全部 PQ 节点的节点

36、电纳矩阵 ，然后利用高斯消去法形成上（或者下）三角矩阵并记B录变换过程。（2）赋初值 和 ；将全系统的 PQ 节点的电压 V 设置为额定电压，全系统的)0(V)(节点的相角（平衡节点除外）设置为 0。令迭代次数 k=0。（3）根据设置的电压和相角值计算 以及 ，并根据节点导纳矩)(/kP)(/kQ阵的上/下三角矩阵求解修正方程 4-47 和 4-48，得到 和 。并根据修正值修正设)(定的电压初始值。（4）判断误差是否满足要求，即 、 。如果满足要求，则输1)(k2)(k出计算结果，否则就令 ，转入第二步继续迭代。1kPQ 解藕法简化了每一步的迭代的计算量，每一步的迭代出的修正值与牛顿拉夫逊法

37、的修正值相比误差要大，因此，PQ 解藕法虽然每一步的迭代计算量减少了，但换来的代价是增加了迭代次数。但其最终的计算精确度是不受影响的，因为计算的精度取决于最终的误差要求 和 ，如果误差要求和牛顿拉夫逊法是一样的，那么 PQ 解藕法最终的计12算结果和牛顿拉夫逊法的计算结果的精度就是一样的。4-5 潮流计算的手工估算方法大约半个多世纪以前，数字计算机还没有出现的时候，潮流计算都是采用手工的计算方法。虽然潮流计算的本质是解电力系统的节点功率方程，然而手工的计算方法是不可能用解上述节点功率方程的方法来进行潮流计算的。手工潮流计算是根据一个简单支路的电压和功率传输关系，将较为复杂的电力系统分解为若干个

38、简单支路来进行潮流计算的。因此任何复杂的潮流计算都是从一个简单支路的潮流分布和电压降落的计算开始的。对于环形网络，首先将其解开为双端电源网络，然后双端电源从功率分点解开，成为两个辐射网络，进行近似的潮流估算。1. 简单支路的潮流分布和电压降落如图 4-8 所示的简单支路，节点 1 和 2 之间的阻抗 为已知；两端的电压分jXRZ别为 和 ，从节点 1 注入该支路的复功率为 ，从节点 2 流出的功率为 ，阻抗消耗1V2 1S 2S的功率为 。根据电路理论， 、 和 、 这四个变量，任何两个变量已知都可以S1V2求出另外两个变量。图 4-8 简单支路示意图1.1 已知一侧的电压和功率求另一侧的电压

39、和功率假设已知节点 2 的电压 和流出的功率 ，可知道流过该支路的电流为：2V2S（4-49）2VSI如果以 作为参考相量，阻抗 Z 引起的电压降落和功率损耗分别为：（4-50）2)()(jQPjXR（4-51）22)(VjZIS因此另一端节点 1 的电压为：（4-52）22221 )(VRQXPjRPV流过节点 1 的复功率为：（4-53）S2两端电压的关系还可以从如图 4-9 所示的相量图中得到（以 为参考相量） ， 为末2端电压和电流的夹角，称为功率因数角。从相量图中，不难得到阻抗 Z 引起的电压降落的横分量和纵分量分别为：（4-54a ）222sincossinco VXQRPVIXI

40、RXIRIVx （4-54b ）222ii IIIIy 可得到首端的电压幅值和相角分别为：（4-55）221)(yxVV（4-56）xyarctg21如果已知首端（节点 1）的电压和功率，求末端的电压和功率，其基本原理同上，读者可以自行推导分析。2VIIRjX1V 图 4-9 两端电压相量示意图1.2 已知一端的电压和流过另一端的复功率假如已知首端电压 和末端的功率 ，要求首端的功率 和末端的电压 ，我们可1V2S1S2V以利用两端电压的关系以及两端功率的关系列出如下方程组（以 为参考相量）：（4-57）)(221jXRQPS（4-58）1112)(VPjV直接求解上面这个相量方程组是很麻烦的

41、，可以通过迭代法来求解：先给定一个末端电压的初值，这个初值可以设定为该节点的平均额定电压，然后将之代入 4-57，得到 ，1S然后再利用 根据 4-58 得到 ，重复上面的过程，直到误差满足要求为止。1S2由于潮流计算通常是在电力系统的稳态运行条件下，此时节点电压与平均额定电压差别不大，因此，在手工近似计算中，将上述的迭代过程只进行一次。即先设定未知的电压为平均额定电压，利用 4-51 式，根据末端的功率计算支路的功率损耗，然后利用 4-53 式计算出首端的功率，再利用首端的功率和首端的电压计算系统的电压损耗，最后计算出末端的电压。2. 辐射型网络的手工潮流计算方法所谓辐射型网络就是单电源供电

42、的非环形网络，系统中所有的负荷都由一个电源供电，辐射型网络是由若干个简单支路树枝状串级联接而成的。对于辐射型网络中的接地支路可以做如下处理：（1）将对电力系统中的接地支路等效为该支路消耗的功率，对地支路的电压用额定电压来替代，例如，对地支路的导纳为 ，那么这个对地支路的消耗的功率jBG；2)(NVjBGS（2）将同一节点消耗的功率进行合并。通过这样处理，辐射型网络就化减为若干简单支路的级联，可以利用简单支路的潮流和电压计算方法逐级进行潮流计算。辐射型网络的手工潮流计算一般从系统末端开始，因为通常辐射型网络的末端的负荷为已知，首先计算潮流的近似分布，然后再从电源端开始根据潮流分布计算出各个节点的

43、电压。因此，辐射型网络的手动潮流估算仅包含三步：第一步，根据电力系统各个元件的电机参数，建立电力系统的等值计算电路；然后将对地支路等效为支路消耗的功率，并将各个节点消耗的功率进行合并。第二步，首先将系统中各个节点的未知电压设为系统平均额定电压，然后从辐射型网络的末端开始，依次计算各个支路的功率损耗，最后得到潮流在辐射型网络中的近似分布。第三步，根据估算出的潮流分布，从电源端开始，根据前面简单支路的电压计算公式依次计算各个节点的电压。通过一个实例来说明潮流计算的过程，如图 4-10 所示的辐射型单电源的简单电力系统，已知节点 1（发电机节点）的电压 和各个节点的负荷 、 、 、 ，求该系统AV1

44、LS23L4S的功率和电压的分布。图 4-10 单电源辐射型电力系统已知电力系统的各个元件的参数如下所示：变压器 T1：额定容量 ，额定变比 ，空载损耗 ，空载电流百分NSNITVk/10P数 ，短路损耗 ，短路电压百分数 ；%0IkP%输电线路 L：每公里长的正序阻抗 ，每公里长的对地电纳 ，线路长度 ；zbL变压器 T2：额定容量 ，额定变比 ，空载损耗 ，空载电流百分NNIT/1 0数 ，短路损耗 ，短路电压百分数 。0Ikk第一步作出等效电路及其参数：首先做电力系统的等值电路，根据上述各个元件的参数，我们可以得到各个元件的等效电路及其电路参数，等效电路如图 4-11 所示。在计算等值电

45、路中各个元件参数之前，先选择功率和电压的基准值 ，BS， ， 。1BV23B变压器 T1（根据等值电路，变压器参数都归算到高压侧）：； ； ；2*1BNIkTVSPR2*10%BNIkTVSX*1*1TTjXRz； ； ；BITSG20*1 2*1IT *1*1TTjGy21*1/BNIBTVk输电线路：；21*BLSzBLSb20*变压器 T2（根据等值电路，变压器参数都归算到高压侧）：； ；2*2BNIkTVSPR2*210%BNIkTVSX*2*2TTjXRz； ； ；BITSG20*2 2*IT *2*2TTjGy 32/BNIBVk图 4-11 等值电路 I第二步，将对地支路简化为对地功率损耗：如果电压基准值的选取与变压器的实际变比相匹配，那么 ，如果不匹1*21Tk配，则需要将变压器的变比的标么值等效到电路中，把变压器的阻抗支路，变为 PI 型等效电路（参见第二章，2.3 节第四部分） 。为了说明问题，我们假设电压基准值选取与变压器实际变比匹配，或者忽略非标准变比的影响。对地支路假设为对地损耗功率，其对地支路的损耗用该点的额定电压来计算，等效电路变为如图 4-12 所示。图 4-12 等值电路 II其中： ； ；*2*1TNTyVS)2/(*02*1LNLjbVS； ；)