1、4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系,圆与方程,1.理解和掌握直线与圆的位置关系，2.会用代数和几何方法判断直线和圆的位置关系.3.利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题,基础梳理,1直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断如下表所示：, ,2 1 0,练习1.直线xy0与圆x2y21的位置关系是：_.练习2.(1)直线xy0与圆x2y22联立求解知其解为：_，故直线与圆的位置关系为：_.(2)直线xy2与圆x2y22联立求解知其解为：_.故直线与圆的位置关系为：_.,练习1.相交练习2. (1)(1，1)或(1,1)相交(2)(1,1)相切,思考应用,如何
2、求直线被圆所截得的弦长？,解析：应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有关系r2d2( )2；利用弦长公式：设直线l：ykxb，与圆两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l,自测自评,1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离,解析：圆心(0,0)到直线的距离为 0)和圆(x1)2y24相切，那么a的值是()A5 B4 C3 D2解析：|a1|2，又a0，a3.答案：C5点A(3,5)是圆x2y24x8y800的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为_解析：圆为(x2)2(y4)
3、2102，圆心为B(2,4)，r10.弦所在直线为l，则ABl，kAB1，k1.所求直线为y5(x3)，即xy80.答案：xy80,直线与圆的位置关系,已知圆的方程是x2y22，直线yxb，当b为何值时，(1)圆与直线有两个公共点(2)只有一个公共点；(3)没有公共点解析：本题可用代数法和几何法两种方法解决，我们选用几何法圆心O(0,0)到直线yxb的距离为d ，圆的半径r .(1)当dr，即2br，即b2或br时，直线与圆相离；当dr时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相交,跟踪训练,1(1)直线3x4y60与圆(x2)2(y3)24的位置关系是()A相离B相切C相交且过圆心 D相交但不过圆
4、心(2)若直线ykx2k与圆(x3)2y21恒有两个交点，则实数k的取值范围为()AR B(，0)(0，)C. D.(3)直线ykx被圆x2y22截得的弦AB长等于()A4B2 C2 D.,解析：(1)圆心(2,3)在直线3x4y60上，即直线与圆相交且过圆心，故选C.(2)由题意可知 1，即此不等式恒成立，故选A.或直线yk(x2)过定点(2,0)，定点(2,0)在圆(x3)2y21上由于斜率k存在，故总有两个交点(3)直线ykx过圆心，被圆x2y22所截得的弦长恰为圆的直径2 ，故选C.答案：(1)C(2)A(3)C,圆的切线方程,求过点P(3,2)的圆x2y29的切线方程分析：法一，利用
5、点到切线的距离等于圆的半径求直线的斜率，由点斜式求切线方程；法二，求切点坐标，利用过圆上点(x0，y0)的切线方程为x0xy0y9求解解析：解法一：设所求切线的方程为y2k(x3)或x3，即kxy23k0或x3.,即5x12y390.可验证：x3为圆的切线故所求切线方程为x3或5x12y390.解法二：设切点为M(x0，y0)，则有切线方程为x0xy0y9.又切线过点P(3,2)，所以3x02y09.而M(x0，y0)在圆上，所以x20y209.,点评：(1)求过一点的圆的切线方程时，要先检验一下此点在圆上还是圆外，防止漏解，若此点在圆上，切线只有一条；若此点在圆外，则切线一定有两条，特别是斜
6、率不存在的情况易忽视(2)过圆x2y2r2上的点M(x0，y0)的切线方程是x0xy0yr2.必须注意圆的特征是圆心在原点，对其他圆不成立,跟踪训练,2圆(x1)2(y)21的切线方程中有一个是()Axy0 Bxy0Cx0 Dy0,解析：画出图形易看出y轴是一条切线答案：C,直线与圆相交的问题,已知直线kxy60被圆x2y225所截得的弦长为8，求k的值分析：可以利用圆的几何性质，构造直角三角形，结合勾股定理解之，也可以利用代数方法构造方程组结合弦长公式求解不管是用哪种方法，只需求出直线的斜率即可解析：解法一：设直线kxy60被圆x2y225所截得的弦长为AB，其中点为C，则OCB为直角三角形
7、因为圆的半径为|OB|5，半弦长为 |BC|4，所以圆心到直线kxy60的距离为3，由点到直线的距离公式得 3，解之得k .,点评：在解决有关圆的问题时，要充分利用圆的几何性质，比较两种解法，解法一比解法二简单得多在处理直线与圆相交时的弦长问题时常用的方法有两种，一是几何法，即利用弦心距、半径及半弦构成的直角三角形结合勾股定理来计算；二是代数法，即利用根与系数关系和弦长公式来计算第二种方法是处理直线与二次曲线相交问题的通法，特别是处理直线与非圆二次曲线相交问题时，基本是用这种方法此外设点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)是解解析几何问题常用的方法，一般点的坐标只需设出而不求，须认真体会,跟
8、踪训练,3求直线x y2 0被圆x2y24截得的弦长,解析：解法一：直线x y2 0和圆x2y24的公共点坐标就是方程组所以公共点的坐标为( ，1)，(0,2)，直线x y2 0被圆x2y24截得的弦长为 2.,解法二：如图，设直线x y2 0与圆x2y24交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OMAB(O为坐标原点)，所以,直线与圆有关最值问题,(巧解题)已知实数x，y满足x2y24x10.求：(1) 的最大值；(2)yx的最小值,解析：(1)设 k，得ykx，所以k为过原点的直线的斜率方程x2y24x10表示以C(2,0)为圆心，半径为 的圆，如图所示当直线ykx与已知圆相切且切点P在第一象
9、限时，k最大，此时|CP| ，|OC|2，所以在RtPOC中，POC60，ktan 60 ，所以 的最大值为 .,(2)设yxb，即为直线yxb，b为该直线在y轴上的截距，如图所示当直线yxb与圆有公共点时，当且仅当直线与圆相切，且切点在第四象限时b最小，此时圆心(2,0)到直线的距离为 ，即 ，得b 2或b 2(舍去)，所以yx的最小值为 2.点评：求与圆上的点的坐标有关的最值问题时，常常根据式子的结构特征，寻找它的几何意义，进而转化成与圆的性质有关的问题解决，其中构造斜率、截距、距离是常用的方法,跟踪训练,4.圆x2+y2-4x-5=0上的点到直线3x-4y+14=0的距离的最大值为 .
10、答案：7,1若PQ是圆x2y29的弦，PQ的中点是(1,2)，则直线PQ的方程是()Ax2y30Bx2y50C2xy40 D2xy0,解析：结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y2 (x1)，整理得x2y50.答案：B,2过点(0,1)的直线与圆x2y24相交于A、B两点，则|AB|的最小值为()A2 B2C3 D2,解析：当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，即d|OG|1，此时弦长最短，即 故选B.答案：B,1判断直线与圆的位置关系主要有以下两种方法：(1)判断直线l与圆C
11、的方程组成的方程组的解有两解时，相交；有一解时，相切；无解时，相离(2)判断圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系：当dr时，相离2设切线方程时，若设点斜式一定要注意斜率不存在的情况3直线与特殊圆相切，切线的求法(1)当点(x0，y0)在圆x2y2r2上时，切线方程为x0xy0yr2；,(2)若点(x0，y0)在圆(xa)2(yb)2r2上，则切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2；(3)斜率为k且与圆x2y2r2相切的切线方程为：ykxr ；斜率为k且与圆(xa)2(yb)2r2相切的切线方程的求法，可以设切线为ykxm，然后变成一般式kxym0，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m.(4)解析几何中一题多解的情形经常出现，要注意根据题目条件选择恰当的解法，使计算更加简便(5)要注意数形结合思想的应用.,祝,您,学业有成,
