1、正弦定理一、教学内容分析：本节课是高一数学第五章三角比第三单元中解斜三角形的第一课时，它是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，是解决生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。本节课的主要任务是通过引入三角形新的面积公式，推导出正弦定理，并让学生初步掌握正弦定理的基本应用。二、学情分析：对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何、解直角三角形、任意角的三角比等知识，具有一定的观察分析、解决问题的能力；但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约，特别是对于本校的同学，这方面的
2、能力比较薄弱。根据以上特点，教师需要恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。三、设计思路：由于学生的总体基础比较薄弱，因此，在上课之前，针对正弦定理课内内容学生不太容易理解的地方，我作了一个学情调查，将其中的公式推导要应用的关键知识以题目的形式出给学生做，用以诊断学生学习正弦定理的知识方法基础，然后分析梳理为课堂教学服务。在课堂教学方面，首先通过一个实际生活的例子引入，在现实的测绘工作中，经常会碰到解斜三角形的问题，那么，在斜三角形中，边和角之间有没有特殊的关系可以给我们利用呢？借鉴前面利用坐标研究三角的方法，用坐标法来对任意三角形进行研究，得到
3、三角形新的面积公式，通过对三角形面积公式的变形，得到正弦定理，但不对比值的意义作深入的探讨（放在第二节课进行） 。定理研究完毕以后，引导学生利用正弦定理来解决具体问题，并发现，正弦定理可以解决解三角形的两类问题：（1）已知三角形两角和一边，求其它边和角；（2）已知三角形两边和一边对角，求其它边和角。四、教学目标：一、知识与技能：理解三角形的面积公式，初步掌握正弦定理及其证明；会初步运用正弦定理解三角形；培养数学应用意识。二、过程与方法： 1、通过实际问题，激发学生的学习兴趣；2、采用坐标法来研究任意三角形，并感受其解决问题的优越性，感受数学推理的严谨性；3、通过应用分析、问题解决来培养学生良好
4、的学习思维习惯，增强学生学习的自信心。三、情感、态度与价值观：通过知识之间的联系与推理使学生明白事物之间的普遍联系与辩证统一性。四、教学重点与难点教学重点：正弦定理的探索与证明；正弦定理的基本应用。教学难点：正弦定理的探索与证明；正弦定理在解三角形时的应用思路。教学过程：一、 情景引入：开场白：今天我们来研究三角形。初中我们曾经学习过解直角三角形，通常依据直角三角形中边角的特殊关系来求解。但在解决实际问题中，往往会碰到关于解斜三角形的问题。如：某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点 A 和 B。某日两个观测点的林场人员分别观测到C 处出现火情。在 A 处观测到火情发生在北偏西 方向，
5、在 B 处观测到火情在北偏西 方向。已知0406B 在 A 的正东方向 10 千米处，请你帮忙确定火场 C 距离 A、B 多远？这个实际问题可以转化为一个数学问题：在三角形 ABC 中，已知 AB=10， 求 AC 和 BC 的 长？0013， ，AB这就是一个解斜三角形的问题。师：思考一下，我们用以前的知识该怎么求呢？生：-师：我们可以通过作垂线，构造直角三角形的问题来解。但是，有没有更好的方法，可以直接求解呢？这就是我们今天要研究的内容-正弦定理。二、新授课我们在角的范围扩大后，将角放在坐标系中进行研究，对任意角三角比重新进行了定义，奠定了整个三角内容的基础。今天，我们同样将三角形放在坐标
6、系中进行研究，看能否给我们一些惊喜？如图所示建立直角坐标系：我们先定一下点 A、B、C 的坐标.A（0，0） B（c，0） cosAin（ ， ）b问：点 C 的坐标如何确定？生：点 C 在角 A 的终边上，根据任意角三角比的定义，CosA=x/b，sinA=y/b 所以：x=bcosA，y=bsinA师：从这里看一看出，不管角 A 是钝角、直角，还是锐角，点 C 的坐标形式都不会变。我们来看看点 C 的纵坐标，它的大小等于点 C 到 x 轴的距离 CD。问：大家发现没有，对于三角形 ABC 来说，CD 有没有什么几何含义？生：它是三角形 ABC 边 AB 上的高。师：我们看一下，这个三角形的
7、底边 AB 长为 c，高可以表示成 bsinA，知道了三角形的底边和高，106040C BAAbCa(bcosA，bsin)cxyB可以求出什么？生：三角形的面积。师：请说出三角形的面积表达式：生： ABC1Sbcsin2师：（操作几何画板，变动三角形形状）我们来看一下，当三角形变化时，点 C 的纵坐标的形式会不会发生变化？生：不会师：那就是说，这个面积公式可以适用于任意三角形。师：我们知道，一个三角形含有 6 个元素，三条边，三个角，这个表达式含有几个元素？生：三个，两条边，一个角。师：边和角有什么关系吗？生：角是两边的夹角。师：你能用一句话来表达一下这个面积公式吗？生：三角形的面积等于：三
8、角形的两边与它们的夹角的正弦值的乘积的一半。师：我们现在是用 b,c，A 这三个元素来表示的，那么，同样的，你还能用其他的边角来表示吗？生： ABC111SbcsinacsinBabsinC222师：用一句话来描述一下这个公式？生：三角形的面积 = 任意两边与他们夹角的正弦的积的一半师：这是一个非常漂亮的公式，我们看看，它将任意三角形的三条边，三个角和三角形的面积在一个式子里面联系在了一起。从今以后，我们求三角形的面积又多了一个选择。师：我们通过这个公式还可以看出，任意三角形的边角之间有一种特殊的等量关系，我们把等式中的 S和 去掉看看：12bcsinAasiBbsinC师：我们看看这个式子，
9、等式中每条边都出现了 2 次，每个角出现了 1 次，总的来说还是很复杂。我们能否将它们进行等价变形，让边角之间的关系变得更加明确、更加简单一点？思路 1：等式的左、中、右同除以 又会得到什么呢？abc生： sinisinABCabc我们把这个等式取倒数，可以写成： sinisincABC思路 2：我们将这个连等式变化成 2 个等式：bcsinA=acsinB,acsinB=absinC即：bsinA=asinB,csinB=bsinC，要使 2 个等式的形式完全相同，并且能够练习在一起。再变形：可以得到 b/sinB=a/sinA,c/sinC=bsinB所以可以得到： sinisinabcA
10、BC我们来看一下，这个连等式将三角形的 6 个元素完美的结合在了一起，比起前面的表达式，它显得非常的简洁，非常的美。为什么说它非常美呢？大家看看它的结构，有什么特点？生：各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的对称美. 问：哪位同学能用文字语言把它描述一下？生：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等师：我们初中学过，在任意三角形 ABC 中，大边对大角，这个两等式可以看做大边对大角的一个升级版，大边对大角的正弦，小边对小角的正弦，他们的比值相等。不研究不知道，一研究吓一跳，小小的一个三角形蕴含了这么多的奥秘！说明：这就是我们今天要学的正弦定理。为什么要写成这种形式呢？因为这个比值是一个常
11、数，有它特定的意义，我们在下一节课再进行研究。师：我们再来研究一下这个连等式。我们可以将它分解成几个等式？生：三个： sinisinisini abacbcABACB师：我们来看一下，每个等式含有 4 个元素。对于每个等式来说，如果用方程的观点来看，如果要求出其中一个元素，需要知道几个元素？ 生：知道三个。师：三个方程，每个含有四个量，知其三求其一。练习：（1）下列哪些三角形的 x 可以用正弦定理来求解?如果可以，应该如何求？（不必求出 x 的值）(5) (6)(4) (3)(2)(1)501020x x205010 80140xx x89 97960 5x2018AB C CBA AB CC
12、BAAB CCBA由此，我们可以归纳出正弦定理可以解决某些三角形的求解问题：（1）已知两角及任意一边；（2）已知两边及其中一边的对角.（2） 应用正弦定理解决引例问题；4、归纳小结请大家梳理一下我们今天学的内容：生：我们今天利用坐标系对三角形进行研究，发现了：1、 三角形面积公式： ABC111SbcsinacsinBabsinC222即：三角形的面积等于三角形任意两条边与它夹角的正弦的积的一半。2、 正弦定理 ，它是解三角形的工具之一。sinisina即：在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等。3、正弦定理可以解决以下两种类型的三角形：（1）已知两角及任意一边；（2）已知两边及其中一边的对角.5、作业： 练习卷
