1、第九章 重积分以前我们学过一元函数的积分字,若 f(x)在(a，b)上可积，到积分 其中 为badxf)()(f被积函数， （a， b）为积分区间。我们若把 推广到多元函数。(a ，b)推广到区域。曲)(xf线，曲面等危围上去，便得到重积分，曲线积分，曲面积分等，本章只讲二重积分。补充：这章的所有图形请老师自己为学生画出，并讲述画图的经过！第一节 二重积分的概念和性质一、二重积分的概念先讲二个具体的问题：（1） 、求曲顶柱体体积。 （二）求平方薄片的质量。（一） 求曲顶柱体体体积：设 z=f(x.，y)是定义在有界区域性 D 上的非负连续函数。我们称曲面 z=f(x，y) ，xoy平面上的区域
2、 D 和准线为 D 的边界，母线平行于 z 轴的柱体所围成的立体为曲顶柱体。现在的问题是求这个曲顶柱体的体积 V。首先用一组曲线 T 把区域 D 划分为 n 个小区域 （i=1，2，,n）这样就把原柱体i分为 n 个小曲顶柱体 Vi。又记 为 Ti 的面积， i 为 的直径，对于 来说，由于ii if(x，y)在 连续。故当 i 很小时，f(x，y) 在 上各点的函数值近似相等，从而可视ii上的曲顶柱体为平顶柱体，为此在 中任放一点以 为高的小平顶柱体的i i ),(if体积为 。并用它来代替这个小曲顶柱体的体积 Vi 把所有这些小平顶柱体的体iif),(积加起来便得曲顶柱体的体积的近似值：
3、Nii iifV11)(最后，当分割 T 的细度 时有：OMaxiNi iiVf1)(即： iiTfV),(lim0（2） 、平面薄电的质量设薄电占有 xoy 平面上的区域 D 且在点（x、y）的 D 外的面密度为 P（x，y）O 求该平面薄纯的质量 M。如果 P(x，y)为常数 p 那么该薄电的均匀薄电，质量为 p*S。当 p(x，y) 不是常数时其求法同（1）相符。首先，把该薄电划分为 n 小块 。当 直径 很小时，由于 p(x，y) 在 上连续，iiii可视每小块为均匀薄片。在 上任意一点（ ） ，则每一块的质量近似的i i,。进一步：用 代替整个薄电的质量。且当iiP),(ni iiP
4、1),(时，有 。0iMaxiNii10),(lm由（1） 、 （2）知求由顶柱体的体积，及平面薄片的质量总是通过：1、分割，2、近似求和，3、取极限这三个步骤得到的。这种方式我们在求由边梯形的面积时就遇到过，而现在所不同的是对象为定义在平面区域的二元函数，这就是二重积分的实际背景。定义：设 D 是：X0y 平面上的有界闭区域，其边界由光滑的连续曲线（一般指 D 的可求面积） ，f（x，y）为定义在 D 上的函数，用光滑的曲线网把 D 分成 n 个小区域：以 表示 的面积，这些小区域构成 D 的一个分割 T，以,21n ii表示 的直径，记 T 的细度为 T=Maxi ，在每一个 上任取一点（
5、 ） ，ii ii,作和式： Ni iif1),(称之为函数 f（x，y）在 D 上属于分割 T 的一个积分和。如果当T0 时，该积分和的极限存在，就称此极限值为 f（x，y）在区域 D 上的二重积分，记作： Ddf),(即： Niitfyxf10),(lm, 其中 f（x，y）称为被积函数， 称为积分表达式， 称为面积元素，dyxf, dx，y 称为积分变量，D 称为积分区域。【注】：1 由定义知，若 f（ x，y）在 D 上可积，应对于任何分割 T，及任意的点（） 上面的极限都存在，为此，我们特别地选用平行于坐标轴的直线网来分割i,iD，则每一个小区域 的面积为 ，进而有 ，故：i iiy
6、dxyDdxyfdyxf),(),(以后在讲重积分计算基本上都采用后一种形式。2、并非任一函数 f（x，y）在区域 D 上的积分都存在，如，01),(yxf为 其 他为 有 理 数,在0，1；0，1上的重积分不存在，但当 f（x，y）连续时，其二重积分存在，故以面在不加说明的情况下，总认为 f（x，y）在 D 上的重积分是存Ddyxf),(在的。3、如果 f（x，y）0， 在几何上就表示曲顶柱体的体积，当 f（x，y）Ddyxf),(=1， 的值就等于积分区域 D 的面积。如果 f（x，y）0，柱体就在 X0yDd),(平面的下方，这时，二重积分的绝对值仍为柱体的体积但值为负的。如果 f（x，
7、y）在 D上的某 n 个子区域上是正的，而在其它地方是负的，这时的二重积分的值是下面的性质3。二、二重积分的性质性质 1、被积函数的常数因子可提到二重积分号的外面：（K 为常数）dxyfkdxykfDD)()(性质 2、函数的和（差）的二重积分等于各函数的二重积分的和（差） 。dyxgdyxfdyxgf DDD ),(),(),(),( 性质 3、若 ，那么Jin 且,21 niDDdyxfdyxfi1),(),(性质 4、当 f（x，y）=1 时， 的 面 积DdyxfD),(性质 5、如果在 D 上，有 f（x，y）g（x，y）则有 dyxgdDD),(),(性质 6、 yxfdyxfD,
8、),(性质 7、若在 D 上有：mf（ x，y）M，则有（ 为 D 的面积）dyxf),(特别地，当 M，m 分别为 f（x，y）在 D 上的最大，小值时，上式亦成立。性质 8、 （二重积分的中值定理）若 f（x，y）在不可少闭区域 D 上连续，则存在D，使得： ， （ 的 D 的面积）),(),(),(dfD第二节 二重积分的计算法利用直角坐标计算一、二重积分的计算（X型区域， Y型区域）定理 1：设 f（x，y）在矩形区域 a，b；c ，d 上可积，且对 xa ，b，积分： 存在，且累次积分：dc),(也存在，且有：badcbac yxfxyf ),(,Dd)(本定理 1 这里就不证了，可
9、从几何意义来说明：（1）体积、 （2）质量。定理 2：设 f（x，y）在矩形区域 a，b；c ，d 上可积，且对 gc ，d，积分都存在， 也存在。且有：bad),( dcbadca xyfyxf ),(),(bDyxyf特别地，当 f（x，y）在a， b；c ，d 上连续，则有 dyxfdyxfdbacdaD ),(),(),(这时，也记 为 。dxyfD),(badcxyf),(例 1：计算 ，其中 D=0，1；0，1。2解： 同理也可用 来计算。Ddxy2)(20)(Ddyx2)(10367)(然而， 中的区域 D 一般来讲不是矩形区域，但是，对于一般的区域，dyxfD,通常可分解为下两
10、类区域来计算：若 D 可表示为 D=（x，y） ； y ，axb则称之为 X 一型区域。)(1x)(2若 D 可表示为 D=（x，y） ， （y）x （y） ，cyd则称之为 Y 一型区域。X 一型区域的特点是：垂直于 X 轴的直线 X=X0（a xb与 D 的边界至多只有两个交点，Y 一型区域也有类似的特点。许多常见的区域都可分解为有限个除边界外无公共内点的 X 一型区域可 y 型区域，如果解决了 X 一型区域与 Y 一型区域上的二重积分的计算法，那么一般区域上的二重积分也就可以计算了。定理 3：若 在 X 一型区域 D=（x，y） y ，axb 上连),(yxf )(1)(2续，其中 ,
11、在a，b 上连续则：12 bXDdyfdf)(1,定理 4：若 在 Y型区域),(yxf连续其中 ， 在c，d 上连续，则：12dcyDdxfxyf )(1,),(【注】：定理 3-4 可从定理 1，2，也可从几何意义来说明。2 例计算 其中 D 为 y=x 与 y=x2 所围区域D)(2解：D 可表示为 X 一型区域：D=（x，y） ，0x1，x 2yx1022 )()(xD dyd10 632x 10643 3521)(dx解法 2，D 可表示为 Y 一型区域： ,1:),(yxyx02)(yDddf10232/ )(y /5/ 35724134dy例 3求曲线 y=x，y=x 2 与 x
12、2+y2=1 在第一象限所围区域的面积。解：y=x 与 x2+y2=1 在第一象限里的交点为 )2,(y=x2 与 x2+y2=1 在第一象限里的交点为 )15,1(,20:),(,121 xyxyD其 在1,5:),(22xyxDdxydDD的 面 积2025112xxdydy二、如何选取积分公式（1） 、当先对 x 或 y 积分难易程度相当时，原则：根据积分区域 D 图形来选择。【例】： D： 1、 2、d012yx2xy解：1、 ；D81210xd2、 = 。xyd4521yx（2） 、当先 x 积分与先对 y 积分难易差别较大，尤其是对某个变量积分无法积分时，选择先积分简单的公式。【例
13、】： D：x=0,y=1 以及 y=x 围成。DydeI2解：本题显然先 y 后 x 积分无法得出结果。所以先对 x 后对 y 积分。 edyedxedeIyD 3163100212 2 最后一步采用分部积分，将一个 y 提到 d 后面。令 2t（3） 、交换积分次序【例】：交换积分次序。 2123sinxdy解：其实在本题中原题给出的积分是无法求得的。所以要交换积分次序，这在以后的习题和应用中也同样会有这样的问题。画图可知区域可由积分上下限决定： 312xyD，所以 =201yxD2123sinxd1210sinyd第三节 利用极坐标计算二重积分当积分区域是园域或为园域的总部分，或者被积函数
14、的形式为 在区域 D)yx(2f上连续，现在以原点 O 为极点， X 轴正向为极轴正向构成极坐标系，这样 ，在极,坐标系中为 ，其 r 为极半径， 为极角，现在我们用 r=常数的一族同心)sin,co(rf园，和 =常数的一族过极点的射线来分割区域 D（如图）将 D 分为 n 小块 （i）且 的面积 为 n 小块： （ ）,且 的面积i,2,1ii i,21i为：i iiiiiii rrr )2()(222除去一个更高级的无量小量不计，有 iii由此，我们长话短说，面积元素， （其详细证明可参见课要 P99 或其它rd参考书，当然证明的方法是多种多样的） 称为极坐标系中的面积元素，从而：rfd
15、yxfDD)sinco(),(其中， 为 xoy 平面上的区域 D 在极坐标变换cosinrxy下的 平面上的区域，有时也写成r df),(若不考虑 的实际意义，右端的积分也可视为横轴为 r 轴，纵横为 = 轴，,rdrfD)sinco(眼下的问题是，如何用 来表达 ，如果 可表示为：,D 一型区域),()(:21r则有： 1)sincosinco( rdrfdrfD若 可表示为：r 一型区域),()(:,2121rr 则有 1)()sincosincorD rdfdf注：对于 一型区域，致虑两种特殊情况：（1）如果 D 是曲边扇形，则有0)(1（2）如果 包含了极点，且边界方程为D20:),
16、(:)( rr此 时 则 有同前面的一样，一般的区域都可分解为若干个 一型及 r 一型区域，这些我们从例题中反映出来。例 1求积分 ，其中 D 为圆域 x2+y2=a2Dxyd解：D 经过极坐标变换后为 =（r）：0ra，02 4203 cosin1cosindra4si8d例 2求球面 x2+y2+z2=R2 与圆柱面 x2+y2=Rx 所围的休积解：我们只要求出第一象限内的部分，尔后来 4 即得，而在第一象限内的立体是以为曲顶的柱体，其定义域为 D=（x，y） ，y0，x 2+y2=Rx经过极坐2yRZ标变换，有 DDrdRdxykV2224其中 ,cos0:),( r20 33cos2)
17、(4)in1(4RdRd所围体积为例 3把 化为单重积分，其中 D=（x，y）x 2+y2=1xyfID)(2解：D 的图形如左，我们将高分为四个部分：我们先考虑第一部分（I）令 sin,coryrxI IDDrdfdxf )(2(01)(rf例 4求（x 2+y2）=2（x 2-y2） ， （x 2+y21）的面积。解：在此之前，我们先求一下求面积的公式：（ 为 D 的面积）Drdxy若 ),()(:,21 )( 12 drd现在求例 4的面积，令 sin,coryrx2s,2cos4rr该曲线如图，由 x2+y2=1，r=1 ，至此使本 例 4所求面积为 r2= 2cox2 所围的面积中r
18、1 的部分，根据对称性，只要求出在第一象限的部分，然后乘以 4 即可。先求 r2= 2cox2 与 r=1 的交点，不难使交点为 )6,1(其中 DI为（图a）中的阴影部分Drd4且有： 60,2cos1:),( I 323in2cos460 d所以所求面积： 。3例 5求 02dxe解： ，02limRxeRxdeI02 R RDyxyxyx deddeI R0 02 222其中 DR=（x， y），ox R，xyR 2令 DS=（x，y） ；x 2+y 2R 2，0xy；D S=（x，y） ；x 2+y 22R 2， x0，y0显然 RSyxyxsyx dedede )()()( 222
19、)1(4:),(200)( 2222 RRrRrssDrDyx ede又2ss且 由同理 Ds Ryxede)1(422)()()1(4 222)(yxreR令： 2lim4li2IRI即： 02dxe第四节 二重积分的应用二重积分也相应地有元素法，我们的求以 z=f(x，y)为顶，区域为 D 的曲顶柱体为例：奖 D 分割成若干小块，从中任取一块，并设为 ，(x，y)为其中一d点，那么有 上的部分量 V= f(x，y) ，事实上，V 与 f(x，y) 的差ddd为 的高阶无穷小，从而称 f(x，y) d 为量 V 的元素，且记为 dV= f(x，y)以r 的元素作为被积表达式，在区域 D 上积
20、分，得： Dyxfv),(当然，二重积分的元素法也需要可加性。一、曲面的面积设曲面 S：Z= f(x，y)是定义在 xoy 平面上的区域 D 上，并且 f(x，y)在 D上有连续的偏导数，现计算 S 的面积。现将划分为若干小块，从中任取一块 中任取一点 P(x，y) 相应地，得到dS 上的一部 M（x，y） 、f(x，y)过 M 点作 S 的地平面 T，又以 的边界为准线d作母线平行于 Z 轴的柱体，截 S 得 S 上的一小块曲面 ds，截 T 得 T 上一小块面，由于 很小，因而可用 来代替 ds，不知 T 的法向向量为dAA设 r 为 与 Z 轴正向的夹角，从而1),(,ffn),(1/c
21、os22yxfxv另外，不难知道，T 与 d 的夹角也为 r ，因此， =dAr|cos|yxffdAx),(),(122dyxffdsx),(),(122这就是曲面面积的元素。 DyxxffsS),(),(22注：1、类似可求定义在 xoz、yoz 平面上的区域上的曲面面积。例 1求圆锥 被圆柱 x2+y2=x 所截部分的面积2yxz解 D xyDdS :),(1 22其 中 222,yxZyxZyxZ12z DdxyS 42)1(的 面 积二、平面薄片的重心设一平面薄片占据 xoy 平面上的区域 D，且在点（ x，y）D 处的密度为P（x，y）在 D 上连续，求该薄片的重心。设该薄片的重心
22、坐标为 则应有： 其中 Mx，M y 分别),(yxyxx,为薄片对 X 轴，Y 轴的静力矩，M 为其质量由 9.1 知， 现在的问题DdxyP),(是求 Mx 和 My。将 D 分割成为若干个小区域，从中任取一个 并从 中任取一点（x，y） ，由于 很小，故可认为 上质量集中在（x，y）点上，从而，对ddX 轴，Y 轴的静力矩的部分量为 XP（x，y） 和 YP（x，y） ，它们即为dMx 和 My 的元素 dmx 和 dmy，即dmx=XP（x， y） dmy=YP（x，y）ddDDx dyxpmydrsxpdM),(,)(薄片的重心坐标为 DDdyxpdyxp),(,),(从上公式知，当
23、 P（x，y ）三常数时，有：其中 为 D 的面积。DDdAdx, d这时，重心只与 D 的形态有关，而与其它无关，因此也称之为 D 的形心。例 2求均匀密度的半椭圆 ， y0 的重心。12bax解：根据对称性，不难知 下 面 求dyaxdyabD221badxba 3421)(2222所求重心为 )34,0(三、平面薄片的转动惯量设某平面薄片占有 xoy 平面上的区域 D，且在点（ x，y）D 处具有密度P（x，y） ，假定 P（x，y ）在 D 上连续，求此薄片对于 X 轴，Y 轴及坐标原点的转动惯量。其方法同前面二个相似，这里不必多述，及三种惯量为： DDx dyxpIydpyI ),(
24、,)(22DdyxpI),(20例 3：求密度均匀的园环 D： 对于 X 轴及对于垂直于园221Ryx环面中心轴的转动惯量：解： 202221sin),(RDx rdpdypI )(49)(49)(41sin 412121220 RR。 （m 为圆环的质量）)(12同理得： )(2)(421021mIII yxy 第九章 三重积分的概念及其计算方法一、三重积分的概念与二重积分的定义相仿，我们来定义三重积分背景：空间一非均匀物体的质量。定义：设 f（x，y，z ）是空间有界闭区域 上的有界函数，用一组空间曲面 T 把 分为若干小块 V1，V 2Vn， 表示其体积，再从每个小区域 Viiv中任取一
25、点（ ） ，作和式 ，若当T0 时，该和式ii, iif),(1的极限存在，就称该极限值为函数 f（x，y，z）在区域 上的三重积分，记为dvzyxf),(即 ni iiTvfzf10),(lm),( 其中 称为体积元素，其它的记号类似二重积分。dv同理，上面的极限对于任一种划分 T 都应存在且值相等。现用平行于三个坐标面的三族平面来划分 ，此时，则有 ，进而 iiizyxvdxyzvdxyzfdvzyxf ),(),(并称 为直角坐标系中的体积元素。当上面的极限存在时，可称 f（x，y，z）在 上可积。但并不是对任何的f（x， y，z）在 上都可积。当 f（x，y，z）在 上连续时，f（x，
26、y，z）在 上可积的，以后在不再作特别说明时总认为 f（x，y，z）在 上连续或可积。显然，当 f（x，y，z ）=1 时， 的体积。dv又当 f（ x，y，z ）表示某物体在（ x，y，z ） 处的密度， 为其占有的空间区域，且 f（x，y，z）连续，则 该物体的质量。dvf),(二、三重积分的性质。类似二重积分，这里不多说了。三、计算三重积分直角坐标系：定理 1：若 f(x，y，z) 在长方体 =a,b;c,d;e,f上连续,则有badcfedzyxvzyxf ),(),(然而，对于一般的空间区域 ，并不像上述的那样简单，有时相元复杂，这样就需要我们一步一步地将 分解为若干个较简单的区域。
27、比如：将 向 xoy 平面上投影及 xy 平面上一区域 D，以 D 的边界为准线，母线平行于 z 轴作一柱面，又设过 D 内的点且平行于 z 轴的直线与 边界的交线不超过两个，这时， 的边界被分为三个部分 S1，S 2 和 S0。其中 S1，S 2 分别为 在 D 内的 的边界的下面部分和上面部分， S0 为 的边界与柱面的公共部分。S1：z=z(x，y，z) ，S 2：z=z(x，y)，此时，有=(x ，y， z)：z 1(x，y)zz 2(x，y), (x ，y)D可用求质量的道理来解释。dvxf),(Dyxzdzfd),(21),若 D=(x，y)：axb, y 1(x)y 1y 2(x
28、) 则进一步：bayxxzydzfddvzf211)(),(),),(而此时，=(x，y，z)：z 1(x，y) zz 2(x，y)，y 1(x) yy 2(x) ，axb,与此相仿，还有其它五种化三重积分为三次积分的方法。这关键在于如何将 表示成与上面相仿的形式，这件事并非容易。例 1计算 其中 为由平面2yxdvX=1，X=2，Z=0，Y=X ，Z=Y 所围成的区域。解 1：现把 向 xoy 平面上投影及投影区域 D=(x，y)：0yx, 1xz而在 D 上，有 0z y =(x，y，z)：0z y， 0yx ，1xz dxxdxdv 022121022 lnl)ln(21212y解 2：
29、将 向 xoz 平面上投影，将投影区域 D=(x，z)：0zx，1 xz 2 在 D 上有 zyx =(x ，y， z)：z yx， 0z x ，1xz 2102xzdxdv 210210 20)ln(4)4(x x dxzxzarctgxarctg21221 2 ll)ln)ln( d本例也可向 yoz 平面上作投影，但计算更繁。例 2求 为 z=xy，y=x，x=1 及 z=0 所围的区dxyz32域。解 =(x ，y ，z)：0z x y，0yx ，0x 1 100322 dzdx10651042xx yy3821874102105 dx上面所讲的积分法则，我们习惯称为“先二后一” 。第
30、二节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分设 M（x，y，z）为空间内任一点，将 M 向 xoy 平面上投影，得 xoy上投影点 P（ x，y） ，再 P 点的坐标用极坐标表示，其极坐标为（ ） ，,r， ，这样， 三个数也就确定空间的 M 点，我2rxarctnzr,们称（ ）为 M 点的柱面坐标不难及到 的取值范围为：z, ,0r +，0z，-z+ ，它们 x，y，z 之间的关系为：这实际上就是一个柱面坐标变换，由前的经zryx,sin,co历 dzrrfdxzf ),sin,co()(【注】1、当积分区域在坐标面上的投影为圆形，环型，扇型且被积函数为 采用柱面坐
31、标。)(,(2xyfzxf2、柱面坐标求体积： rdzv例 1计算其中 是 2（x 2+y2）=z 与dxy)(2z=4 所围的区域。解：将 在 xy 平面上投影，及投影区域 D=（x，y）：x 2+y2z令 ，此时，曲面 2(x2+y2)= z 变为 z=2r2，zryrx,sin,co则 0,4:),(2 rz 20142322 8)()( rdzdzdxy二、利用球面坐标计算三重积分设 M（x，y，z）为空间任一点，连接 OM，令 r 为 OM 的长， 为 与 z 轴OM正向的夹角，再将 M 在 xy 面上的投影得到 P 点，又令 为从 z 轴正向往原点方向看，X 轴正向按逆时针方向到
32、的转角，这样 也能确定一个空间上O,的 M 点，我们称（ ）为点 M 的球面坐标。它们的变化范围为,r0r +， ，02，它们之 x，y， z 之间的关系为， , ，这实际上就是一个球面坐标变换，cosinxsinrycosrz由此可知：，其中 为 经过球面坐dvfdvzf ),i,i(),( 标变换而得到的区域。接下来我们来讨论，如何将 转化为 。zdyx,r,结合课本 P.125 图 8-37，我们可以知道 drv2sin所以我们有此三重积分公式： rrrfdvzyxf 2i)co,sin,cosin(),( 此公式要求大家牢记。【注】1、体积 d2i2、主要适应与被积函数包含有：因子 ，以及积分区域为球面，22zyx锥面和球面围成，球面和球面围成的三重积分。【例】：求 ，其中 以及vdvzyxz22 1:22zyx所围成。23yxz解：采用球面坐标公式： ，sin3co,1:2rrv1062r所以 10260222 ssidrddzyxzv = 0
