1、大一上,离散数学重要公式定理汇总,2018/3/8,2,基本的等价公式 对合律 PP 幂等律 PPP PPP 结合律 P(QR)(PQ)R P(QR)(PQ)R 交换律 PQQP PQQP 分配律 P(QR)(PQ)(PR) P(QR)(PQ)(PR) 吸收律 P(PQ)P P(PQ)P 德摩根定律 (PQ)PQ (PQ)PQ,Formula,2018/3/8,3, 同一律 PFP PTP 零律 PTT PFF 互补律 PPT PPF附加： PQPQ PQQP PQ (PQ)(QP) PQ (PQ)(PQ) PQ (PQ)(PQ ),Formula,2018/3/8,4,等价公式(前10个)与
2、集合论的公式比较： 对合律 AA A表示A的绝对补集 幂等律 AAA AAA 结合律 A(BC)(AB)C； A(BC)(AB)C 交换律 ABBA ABBA 分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC) 吸收律 A(AB)A A(AB)A,Formula,2018/3/8,5,德摩根定律 (AB)AB (AB)AB 同一律 AA; AEA E表示全集 零律 AEE A 否定律 AAE AA,Formula,2018/3/8,6,Definition,永真(重言)式（Tautology）公式中的命题变量元论怎样指派，公式对应的真值恒为T。 永假（矛盾）式（Contradict
3、ion)公式中的命题变量无论怎样代入，公式对应的真值恒为F。 可满足公式（Satisfaction）公式中的命题变量无论怎样代入，公式对应的真值总有一种情况为T。一般命题公式（Contingency）既不是永真公式也不是永假公式。,2018/3/8,7,3.重要的重言蕴含式(如教材第43页所示) I1.PQP , I2. PQQ I3. PPQ I4. QPQ I5. PPQ I6. QPQ I7. (PQ)P I8. (PQ)Q I9. P,Q PQ I10. P(PQ)Q I11. P(PQ)Q I12. Q(PQ)P I13. (PQ)(QR)PR I14. (PQ)(PR)(QR)R
4、I15. AB (AC)(BC) I16. AB (AC)(BC),Formula,2018/3/8,8,蕴含的性质*若AB且A为重言式，则B必为重言式*若AB且BC，则AC (传递性)*若AB且AC，则A(B C) *若AB且C B，则(AC) B证明见书P22,Formula,2018/3/8,9,conjunction,一、全功能真值表,PQ,QP,2018/3/8,10,3.析取范式与合取范式的化法 化成限定性公式。 公式E16 PQPQ 公式E21 PQ (PQ)(PQ) 公式E20 PQ (PQ)(QP) 公式E16 PQ (PQ)(PQ) 将否定联结词移到命题变量的前面。 A(P
5、1,P2,Pn)A*(P1,P2,Pn) (PQ)PQ 、(PQ)PQ 用分配律、幂等律等公式进行整理，使之成为所要求的形式。,normal form,2018/3/8,11,主析取范式定义 析取范式 A1A2.An, , 其中每个Ai (i=1,2.n)都是小项，称之为主析取范式。思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？主析取范式的写法 方法：列真值表 列出给定公式的真值表。 找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对应的小项。用“”联结上述小项，即可。,normal form,2018/3/8,12,主合取范式定义 合取范式 A1A2. An, , 其中每个Ai (i=1,2.n)都是大项，
6、称之为主合取范式。主合取范式的写法 方法：列真值表 列出给定公式的真值表。 找出真值表中每个“F”对应的真值指派再对应的大项。 用“”联结上述大项，即可。,normal form,2018/3/8,13,Brief Summary,第一章 小结,知识网络：,2018/3/8,14,如果是个不含客体变元x的谓词公式，且不在x和x的辖域内，可以将放入x和x的辖域内。即得如下公式： 1. xA(x)Bx(A(x)B) 2. xA(x)Bx(A(x)B) 3. xA(x)Bx(A(x)B) 4. xA(x)Bx(A(x)B) 5. BxA(x)x(BA(x) 6. BxA(x)x(BA(x) 7. x
7、A(x)Bx(A(x)B) 8. xA(x)Bx(A(x)B),量词辖域的扩充公式,2018/3/8,15,1. x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)2. x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)3. x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)4. xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)证明：设论域为a1,a2,.,an， x(A(x)B(x) (A(a1)B(a1)(A(a2)B(a2) (A(an)B(an) (A(a1)A(a2).A(an) (B(a1)B(a2).B(an) xA(x)xB(x),量词分配公式,2018/3/8,16,其它公式,1. x(A(x)B(x)xA(x)
8、xB(x) 2. xA(x)xB(x)x(A(x)B(x),证明1： xA(x)xB(x)xA(x)xB(x) xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)x(A(x)B(x),证明2： xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) x(A(x)B(x),2018/3/8,17,量词之间有如下公式：1. xyA(x,y)yxA(x,y)2. xyA(x,y)yxA(x,y)3. yxA(x,y)xyA(x,y)4. xyA(x,y)xyA(x,y)5. yxA(x,y)xyA(x,y)6. xyA(x,y)yxA(x,y)7. yxA(x,y)xyA(x,
9、y)8. xyA(x,y)yxA(x,y)注意：下面式子不成立xyA(x,y)yxA(x,y),2018/3/8,18,为了便于记忆，用图形表示上面八个公式。,2018/3/8,19,第二章 小结,集合的性质幂等律 对任何集合A，有AA=A。交换律 对任何集合A、B，有AB=BA。结合律 对任何集合A、B、C，有 (AB)C=A(BC)。同一律 对任何集合A，有AE=A。零律 对任何集合A，有A=。 AB AB=A。,交、并的性质幂等律 对任何集合A，有AA=A。交换律 对任何集合A、B，有AB=BA。 结合律 对任何集合A、B、C，有 (AB)C=A(BC)。同一律 对任何集合A，有A=A。
10、零律 对任何集合A，有AE =E 。分配律 对任何集合A、B、C，有 A(BC) =(AB)(AC)。 A(BC) =(AB)(AC)。,吸收律 对任何集合A、B，有 A(AB)=A A(AB) =A证明: A(AB) = (AE)(AB) (同一) = A(EB) (分配) = AE=A (零律) (同一) AB AB=B,差集的性质设A、B、C是任意集合，则 A-=A -A= A-A= A-BA AB A-B= (A-B)-C=(A-C)-(B-C) A-(BC)=(A-B)(A-C) A-(BC)=(A-B)(A-C) A(B-C)=(AB)-(AC)注意：对- 是不可分配的，如A(A-
11、B)=A 而(AA)-(AB)=,有关绝对补集的性质设A、B、C是任意集合，则 E= =E (A)=A AA= AA=E A-B=AB(AB)=AB (AB)=ABAB BA A=B 当且仅当AB=E且 AB=,有关对称差的性质 交换律 对任何集合A、B，有AB=BA。 结合律 对任何集合A、B、C，有 (AB)C=A(BC)。教材里有证明。 同一律 对任何集合A，有A=A。 对任何集合A，有AA=。 对可分配 A(BC)=(AB)(AC),一. 自反性定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意xA都有R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx)例如：在实数集合
12、中,“”是自反关系，因为，对任意实数x，有x x.,关系的性质,从关系有向图看自反性:每个结点都有环。从关系矩阵看自反性：主对角线都为1。,二.反自反性定义：设R是集合A中的关系，如果对于任意的xA都有R ，则称R为A中的反自反关系。 即 R是A中反自反的x(xAR) 从关系有向图看反自反性:每个结点都无环。 从关系矩阵看反自反性：主对角线都为0。如 实数的大于关系，父子关系是反自反的。注意：一个不是自反的关系，不一定就是反自反 的。,三.对称性定义:R是集合A中关系,若对任何x, yA,如果有xRy,必有yRx,则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 xy(xAyAxRy) yRx)从关系
13、有向图看对称性:在两个不同的结点之间，若有边的话，则有方向相反的两条边。从关系矩阵看对称性：以主对角线为对称的矩阵。例 邻居关系和朋友关系是对称关系。,四.反对称性定义:设R为集合A中关系,若对任何x, yA,如果有xRy,和yRx,就有x=y,则称R为A中反对称关系 。,由R的关系图看反对称性：两个不同的结点之间最多有一条边。 从关系矩阵看反对称性：以主对角线为对称的两个元素中最多有一个1。另外对称与反对称不是完全对立的，有些关系它既是对称也是反对称的，如空关系和恒等关系。,五. 传递性定义:R是A中关系，对任何x,y,zA,如果有xRy,和yRz,就有xRz,则称R为A中传递关系。 即R在
14、A上传递xyz(xAyAzAxRyyRz)xRz)例 实数集中的、，集合、是传递的。 从关系关系图和关系矩阵中不易看清是否有传递性。必须直接根据传递的定义来检查。 检查时要特别注意使得传递定义表达式的前件为F的时候此表达式为T，即是传递的。 即若R与R有一个是F时(即定义的前件为假)，R是传递的。,本节要求： 1.准确掌握这五个性质的定义。 2.熟练掌握五个性质的判断和证明。R是A中自反的x(xAxRx)R是A中反自反的x(xAR)R是A上对称的xy(xAyAxRy) yRx)R是A上反对称的xy(xAyAxRyyRx) x=y)xy(xAyAxyxRy)y x)R在A上传递xyz(xAyAz
15、AxRyyRz)xRz)注意 性质表达式的前件为F时此表达式为T，即R是满足此性质的。 (自反和反自反性除外),若RAB SBC TBC 则有,证明 任取R (ST) b(bBRST)b(bBR(ST)）b(bBRS) (bBRT)b(bBRS) b(bBRT)R SR T(R S)(R T)所以R (ST)=(R S)(R T),R是从A到B的关系，则,2. RC的有向图：是将R的有向图的所有边的方向颠倒一下即可。3. RC的矩阵 M =(MR)T 即为R矩阵的转置。如,=,MR,c,三.性质令R、S都是从X到Y的关系，则 1. (RC)C = R 2. (RS)C = RCSC 。 3.
16、(RS)C = RCSC 。 4. (RS)C = RCSC 。,5. RS RC SC 。,6.(R)C=RC,7.令R是从X到Y的关系，S是Y到 Z的关系，则 (R S)C= SC RC 。 (注意RC SC ),8. R是A上关系，则 R是对称的，当且仅当 RC =R R是反对称的，当且仅当 RRC IA。,四.性质定理5. R是A上关系，则 R是自反的，当且仅当 r(R)=R. R是对称的，当且仅当 s(R)=R. R是传递的，当且仅当 t(R)=R.定理6. R是A上关系，则 R是自反的，则s(R)和t(R)也自反。 R是对称的，则r(R)和t(R)也对称。 R是传递的，则r(R)也
17、传递。,定理7：设R1、R2是A上关系，如果R1R2 ，则 r(R1) r(R2) s(R1) s(R2) t(R1)t(R2) 证明 r(R1)=IAR1IAR2= r(R2) ，类似可证。定理8：设R是A上关系，则 sr(R)=rs(R) tr(R)=rt(R) st(R)ts(R)证明： sr(R)=r(R)(r(R)c=(RIA)(RIA)c = (RIA)(RcIAc) =RIARcIA = (RRc)IA= s(R)IA=rs(R) 的证明用前边证明的结论：(RIA)k= IARR2.Rk可证，这里从略。,六. 函数的类型,一对一,一对一,满射的,映内的,入射的单射的一对一的,双射
18、的一一对应的,函数复合的性质,1. 定理5-2.1 满足可结合性 f :XY, g:YZ, h :ZW 是函数,则 (h g) f =h (g f ),2.定理5-2.2 f :XY, g:YZ是两个函数, 则 如果f 和g是满射的，则 g f 也是满射的； 如果f 和g是入射的，则 g f 也是入射的； 如果f 和g是双射的，则 g f 也是双射的。,3.定理5-2.3 如果 gf 是满射的，则g是 满射的；如果gf 是入射的，则 f 是入射的； 如果 gf 是双射的，则f是入射的和g是 满射的。4.定理5-2.4 f:XY是函数, 则 f IX= f 且 IYf=f 。,性质,1.定理5-
19、3.1 设f :XY是双射的函数，则(f-1)-1= f。2.定理5-3.2 设f :XY是双射的函数，则有 f-1 f= IX 且 f f-1 = IY 。证明：先证明定义域、陪域相等。 因为 f:XY是双射的，f-1:YX也是双射的，所以 f-1 f :XX ; IX:XX 可见f-1 f 与IX 具有相同的定义域和陪域。 再证它们的对应规律相同：xX, 因f:XY, yY, 使得 y=f(x),又f 可逆，故 f-1(y)=x，于是 f-1 f (x)=f-1(f(x)=f-1(y)=x= IX (x) 同理可证 f f-1 = IY 。,3.定理5-3.3 令 f: XY, g:YX是
20、两个函数, 如果g f= IX 且 f g = IY ,则 g= f-1 。证明：证f和g都可逆。因为g f= IX ， IX是双射的， 由关系复合性质3得， f是入射的和g是 满射的。同理由 f g = IY，得g是入射的和f 是 满射的。所以f和g都可逆。显然f-1和g具有相同的定义域和陪域。证明它们的对应规律相同。 任取yY， f-1(y)= f-1 IY (y) = f-1 (f g) (y) = (f-1 f) g (y) =( IX g) (y) =g(y) 所以f-1 =g,顺便说明： f-1 =g 的两个条件必须同时满足，缺一不可。例如,此例只满足g f=IX ,但 f与 g都
21、非双射，不可逆。,4. 定理5-3.4,令 f:XY, g:YX是两个双射函数,则 (g f) -1 =f -1 g-1此定理与关系的复合求逆(R S)C=SCRC 类似.,2.性质令A,B是全集E的子集,1) A=x(A(x)=0) 2) A=Ex(A(x)=1)3) ABx(A(x) B(x),证明: 任取xE, 从下表看出ABx(A(x) B(x) ),9) A-B(x) =A(x)-AB(x) 证明: 任取xEA-B(x) =AB(x) =A(x)B (x)= A(x)(1-B (x)=A(x)-A(x)B (x)= A (x) -AB(x),应用上述公式可以得到一些集合公式。例如证明
22、吸收律： A(AB) =A证明: 任取xA, A(AB)(x) =A(x)+AB (x)-A(AB)(x)=A(x)+AB (x)-AB(x)=A(x),3.计算公式 KA1=KA2=. =KAn=, 则 KA1A2.An = KA=KB=, 则 KAB = KA= KB=0 , (或KB=n),(B是多可数集) 则 KAB =,定理5-6.2 如果集合A到B存在入射函数, 则KAKB。定理5-6.3(Zermelo定理) A和B是任何集合, 则以下 三条之一必有一个成立: a) KAKB. b) KBKA c) KA=KB.,定理5-6.4(Contor- Schroder- Bernstein定理) A和B是任何集合, 如果 KAKB 且 KBKA 则KA=KB。,定理5-6.5 设A是有限集合, 则KA 0 ,定理5-6.6 设A是无限集合, 则0 KA,连续统假设: 是大于0的最小基数,不存在集合A使得0 KA ,
