1、2.2.1 直接证明-综合法与分析法教学目标：1结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；3增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。教学重点：分析法和综合法的思考过程； 教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点教学过程设计（一） 、情景引入，激发兴趣。【教师引入】 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。(二)、探究新知，揭示
2、概念探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：已知 a,b0,求证 22()()4abcabc教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法证明:因为 ，2,0bca所以 。()a因为 ，2,cc所以 。()bab因此 。22()4cc一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立
3、的条件，即使Q 成立的充分条件 P1，为了证明 P1成立，再去寻求 P1成立的充分条件 P2，为了证明 P2成立，再去寻求 P2成立的充分条件 P3， 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。例如：基本不等式 （ a0， b0）的证明就用了上述方法。ba2要证，只需证 ，ab2只需证，0只需证)(2ba由于 显然成立，因此原不等式成立。0)(2ba一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。（三） 、分析归纳，抽象概括用 P 表示已知条件、已有的定义
4、、定理、公理等,Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为：1223().nQQQ综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。分析法可表示为： 121().()nnQPPP分析法的特点是：执果索因（四） 、知识应用，深化理解例 1、在ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 ,且 A,B,C 成等差数列, 成等比数列,求abcabc证ABC 为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是 2B =A + C; A , B , C 为ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是 A + B + C = ；
5、a , b，c 成等比数列，转化为符号语言就是 此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角2bac形的形状，余弦定理正好满足要求于是，可以用余弦定理为工具进行证明证明：由 A, B, C 成等差数列，有 2B=A + C 因为 A,B,C 为ABC 的内角，所以 A + B + C= 由 ，得 B= 3由 a, b，c 成等比数列，有 2bac由余弦定理及，可得 222osaBac再由，得 c即 ， 2()0因此 ac从而 A=C由，得A=B=C= 3所以ABC 为等边三角形注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言
6、转换成图形语言等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来例 2、求证 。5273分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。证明：因为 都是正数，所以为了证明5273和，只需明 ，22)5()73(展开得 ，201只需证 ，5因为 成立，所以251成立。22)()73(在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难。事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，
7、得到中间结论 P若由 P可以推出 Q成立，就可以证明结论成立下面来看一个例子例 4 、已知 ，且,()2kZ sincosin 2求证： 。221ta1tan(n)分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角 ，因此第一步工作可以从已知条件中消去 。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系 ，于是，由 2一2(sinco)sinco12 得 把 与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，224sini1224si1于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数把结论转化为,再与 比较，发现只要把2222si(sin)coco22sini中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的1n证明：因为 ，所以将 代入，可得2(sic)sico1. 4n另一方面，要证 ，221tan1tan()即证 ， 2222sisicoconn1(1)即证 ，2222sin(sin)coco即证 ，2211si(si)即证 。4n由于上式与相同，于是问题得证。课堂练习：1、课本 P89 页 练习 1、2、3（五） 、归纳小结、布置作业综合法和分析法的特点布置作业：.课本 P91 页 1、2、3
