1、基础巩固强化一、选择题1(2013惠州一调 )已知实数 4，m,9 构成一个等比数列，m 为等比中项，则圆锥曲线 y 21 的离心率为 ( )x2mA. B.306 7C. 或 D. 或 7306 7 56答案 C解析 4，m,9 成等比数列， m 236，m6. 当 m6时，圆锥曲线方程为 y 21，其离心率为 ；当 m6 时，圆x26 306锥曲线方程为 y2 1，其离心率为 ，故选 C.x26 72等轴双曲线 x2y 2a 2 与直线 yax(a0) 没有公共点，则 a的取值范围是( )Aa1 B01 Da1答案 D解析 等轴双曲线 x2y 2a 2 的渐近线方程为 yx ，若直线yax
2、 (a0)与等轴双曲线 x2y 2a 2 没有公共点，则 a1.3若直线 ykx2 与双曲线 x2y 26 的右支交于不同的两点，那么 k 的取值范围是 ( )A( ， ) B(0， )153 153 153C ( ，0) D( ，1)153 153答案 D分析 直线与双曲线右支交于不同两点，则由直线与双曲线消去 y 得到的方程组应有两正根，从而 0，x 1x 20，x 1x20，二次项系数0.解析 由 Error!得(1k 2)x24kx100.由题意，得Error!解得 0 矛盾，应排除；再看 A 中双曲线的 a0，但直线有 a0，b0 ，也矛盾，应排除； C 中双曲线的 a0，b0.设
3、A(x1，y 1)，B( x2，y 2)则 x1x 22m，y 1y 2x 1x 22m4m，线段 AB 的中点坐标为( m,2m)，又点( m,2m)在圆 x2y 25 上， 5m 25，m1.8双曲线 1 的两个焦点为 F1、F 2，点 P 在双曲线上，x29 y216若 PF1PF 2，则点 P 到 x 轴的距离为_答案 3.2解析 设 |PF1|m，| PF2|n(mn)，a 3，b4，c 5.由双曲线的定义知，mn2a6，又 PF1PF 2.PF 1F2 为直角三角形即 m2n 2(2c) 2100.由 mn6，得 m2n 22mn36，2mnm 2n 23664，mn32.设点 P
4、 到 x 轴的距离为 d，SPF 1F2 d|F1F2| |PF1|PF2|，12 12即 d2c mn.d 3.2，12 12 mn2c 3210即点 P 到 x 轴的距离为 3.2.三、解答题9(2013新课标 文，20) 在平面直角坐标系 xOy 中，己知圆P 在 x 轴上截得线段长为 2 ，在 y 轴上截得线段长为 2 .2 3(1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P 点到直线 yx 的距离为 ，求圆 P 的方程22解析 (1)设 P(x，y )，圆 P 的半径为 r.由题意知 y22r 2，x 23r 2，从而得 y22x 23.点 P 的轨迹方程为 y2x 21.(2)设与直线
5、yx 平行且距离为 的直线为 l：x yc0，由22平行线间的距离公式得 C1.l：xy10 或 xy10.与方程 y2 x21 联立得交点坐标为 A(0,1)，B(0 ，1)即点 P 的坐标为(0,1)或(0 ，1)，代入 y22r 2 得 r23.圆 P 的方程为 x2(y1) 23 或 x2( y 1)23.能力拓展提升一、选择题10已知 F1、F 2 是两个定点，点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 PF1PF 2，e 1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有( )A. 4 Be e 41e21 1e2 21 2C. 2 De e 21e21
6、 1e2 21 2答案 C解析 设椭圆长半轴长为 a，双曲线实半轴长为 m，则Error! 2 2 得：2(|PF 1|2 |PF2|2)4a 24m 2，又|PF 1|2|PF 2|24c 2 代入上式得 4c22a 2 2m2，两边同除以 2c2 得 2 ，故选 C.1e21 1e211已知双曲线 1(a0，b0)的右焦点为 F，若过点 Fx2a2 y2b2且倾斜角为 60的直线 l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A(1,2 B(1,2)C 2，) D(2，)答案 C解析 由题意，得 ， 3，c 2a 23a 2，ba 3 b2a2c 24a 2， e
7、2 4，e2.c2a212动圆与圆 x2y 2 1 和 x2y 28x120 都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A双曲线的一支 B圆C抛物线 D双曲线答案 A解析 设动圆半径为 r，圆心为 O，x 2y 21 的圆心为 O1，圆 x2y 28x 120 的圆心为 O2，由题意得|OO 1|r1，| OO2|r2，|OO 2|OO 1|r2 r110，a2b0 ，则双曲线的离心率为( )A. B.552C. 或 D.552 233答案 B解析 由题意知， ma 24b 2( a2b)(a 2b)0，e 2 ，故双曲线的离心率为 ，选 B.54mm 54 52二、填空题14(2013 湖南理，14
8、)设 F1，F 2 是双曲线C： 1( a0，b 0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若x2a2 y2b2|PF1| PF2|6a，且PF 1F2 的最小内角为 30，则 C 的离心率为_答案 3解析 由余弦定理 cos30，4a2 4c2 4a224a2c2 ac3 a2c 2，等式两边同除以 a2 得 e22 e30，3 3e .315过双曲线 1(a0，b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直x2a2 y2b2线与双曲线相交于 M、N 两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_答案 2解析 由题意得， ac ，b2a即 a2ac b2，a 2acc 2a 2，c 2
9、ac2a 20， e2e20.解得 e2 或 e1( 舍去)三、解答题16已知直线 yax 1 与双曲线 3x2y 2 1 交于 A、B 两点(1)若以 AB 为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值；(2)是否存在这样的实数 a，使 A、B 两点关于直线 y x 对称？12若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由解析 (1)由Error!消去 y 得，(3 a2)x2 2ax20.依题意Error!即 a 且 a 6 6 3设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则Error!以 AB 为直径的圆过原点，OAOB .x 1x2y 1y20，但 y1y2a 2x1x2a( x1x 2
10、)1，由知，(a 2 1) a 10. 23 a2 2a3 a2解得 a1 且满足.(2)假设存在实数 a，使 A、B 关于 y x 对称，则直线12yax 1 与 y x 垂直，a2.12直线 l 的方程为 y2x 1.将 a2 代入得 x1x 24.AB 中点横坐标为 2，纵坐标为 y22 13.但 AB 中点 (2，3)不在直线 y x 上12即不存在实数 a，使 A、B 关于直线 y x 对称1217过双曲线 1 的右焦点作倾斜角为 45的弦 AB.求：x29 y216(1)弦 AB 的中点 C 到右焦点 F2 的距离；(2)弦 AB 的长解析 (1)因为双曲线的右焦点为 F2(5,0)，直线 AB 的方程为yx 5.由Error!消去 y，并整理得 7x290x3690.如图，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1x 2 ，x 1x2 .907 3697设 AB 的中点 C 的坐标为(x ，y)，则 x ，x1 x22 457y .807|CF 2| .5 4572 8072 8027(2)|AB| |x1x 2|2 2x1 x22 4x1x2 .2810049 14767 1927
