1、胡寿松自动控制原理习题解答第二章 21 设水位自动控制系统的原理方案如图118所示，其中Q为水箱的进水流量， 为水箱的用水流量，1 2QH为水箱中实际水面高度。假定水箱横截面积为F，希望水面高度 为，与对应的水流量为，试列出水箱的微分方程。 0H0H0Q解 当Q时，H；当021QQ =0H=21QQ 时，水面高度H将发生变化，其变化率与流量差Q21Q成正比，此时有 )()()(02010QQQQdtHHdF =于是得水箱的微分方程为 21QQdtdHF = 22 设机械系统如图257所示，其中为输入位移，为输出位移。试分别列写各系统的微分方程式及传递函数。 ix0x图257 机械系统 解 图2
2、57(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得 1胡寿松自动控制原理习题解答第二章 00201)( xmxfxxfi)()(2 ttxtx =+&解：对上式两边去拉氏变换得： （2s+1）X（s）=1/s212411)12(1)(22+=+=ssssssX 运动模态 te5.0所以：)1(2)(21tettx= ()）。ttxtxtx ()()()( =+ & 解：对上式两边去拉氏变换得： 1)()1(2=+ sXss4/3)2/1(1)1(1)(22+=+=ssssX 运动模态tet23sin2/所以：=tetxt23sin32)(2/（3）。ttxtxtx (1)()(2)( =+ &
3、 解：对上式两边去拉氏变换得： ssXss1)()12(2=+222)1(1111)1(1)12(1)(+=+=+=sssssssssX 5胡寿松自动控制原理习题解答第二章 运动模态e )1( tt+所以： )1(11)( teteetxttt+=2-6 在液压系统管道中，设通过阀门的流量满足如下流量方程： PKQ = 式中K为比例常数，P为阀门前后的压差。若流量Q与压差P在其平衡点附近作微小变化，试导出线性化方程。 ),(00PQ解： 设正常工作点为A，这时00PKQ = 在该点附近用泰勒级数展开近似为： )()()(000xxdxxdfxfyx+= 即Q )(010PPKQ =其中0112
4、10PKdPdQKPP=2-7 设弹簧特性由下式描述： 1.165.12 yF = 其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。 解： 设正常工作点为A，这时 1.10065.12 yF =在该点附近用泰勒级数展开近似为： )()()(000xxdxxdfxfyx+= 即 )(010yyKFF =其中1.001.0011.1915.131.165.120yydydFKyy=2-8 设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为： cos0ddEe = 式中是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。 解： 设正常工作点
5、为A，这时00cosddEE = 6胡寿松自动控制原理习题解答第二章 在该点附近用泰勒级数展开近似为： )()()(000xxdxxdfxfyx+= 即)(cos000 =sddKEe 其中00sinddsEddeK =2-9 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出响应c，试求系统的传递函数和脉冲响应。 tteet+=21)(解：对输出响应取拉氏变换的： )2)(1(2411211)(2+=+=sssssssssC 因为：)(1)()()( sssRssC = 所以系统的传递函数为：22111)2)(1(1)2)(1(24)(2+=+=+=ssssssssss 系统的脉冲响
6、应为： tteettg2)()(+=2-10 设系统传递函数为 232)()(2+=sssRsC且初始条件c(0)=-1, (0)。试求阶跃输入r(t)=1(t)时，系统的输出响应c(t)。 c&解：由系统的传递函数得： )(2)(2)(3)(22trtcdttdcdttcd=+ （1） 对式（1）取拉氏变换得： )(2)(2)0(3)(3)0()0()(2sRsCcssCcscsCs =+ & （2） 将初始条件代入（2）式得 sssCss123)()23(2=+ 即：2214123622)23(32)(222+=+=+=sssssssssssssC 所以： tteetc2242)(+=7胡
7、寿松自动控制原理习题解答第二章 2-11 在图2-60中，已知和两方框相对应的微分方程分别是 )(20)(10)(6 tetcdttdc=+ )(10)(5)(20 tctbdttdb=+ 且初始条件均为零，试求传递函数及 )(/)( sRsC )(/)( sRsE解：系统结构图及微分方程得： 10620)(+=ssG 52010)(+=ssH 250230120)520(200200)520)(106()520(200520101062011062010)()(1)(10)()(2+=+=+=+=ssssssssssHsGsGsRsC25023012050015001200200)520)(
8、106()106)(520(105201010620110)()(110)()(22+=+=+=+=sssssssssssHsGsRsE2-12 求图2-61所示有源网络的传递函数 解：（a）0000000000001111/ CRTsTRsCRsCRsCRZ =+=+= 8胡寿松自动控制原理习题解答第二章 )1()()(001010+= sTRRZRsUsUi（b）0000000000001111/ CRTsTRsCRsCRsCRZ =+=+= 1111111111CRTsCsTsCRZ =+=+= )1)(1(1)()(0110010+= sTsTsCRZZsUsUi（c）22212212
9、21221221221121)1(111/)1/(CRTRsTsTRsCsTRsCsTRsCsTRsCRRZ=+=+=+=+=11)()(122010120+=RsTsTRRRZsUsUi2-13由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-62所示，试求闭环传递函数U()()。 图2-62 控制系统模拟电路 解：0101)()()(RZsUsUsUi=+（1） 0212)()(RZsUsU= （2） 0220)()(RRsUsU=（3） 式（1）（2）（3）左右两边分别相乘得 9胡寿松自动控制原理习题解答第二章 02020100)()()(RRRZRZsUsUsUi=+即 22130022130
10、00)()(1)()()(RZZRsUsURZZRsUsUsUii=+=+所以：1)()(221300=RZZRsUsUi21302121221130221122130221221300)1(111111)()(RRsRCsTRRRsCsTRRRsCsTRRZZRRZZRZZRsUsUi+=+=+=+=2-14 试参照例2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求出电动机的传递函数和 )(/)( sUsam )(/)( sMscm解：由公式（2-2）、（2-3）、（2-4）取拉氏变换 )()()(sIRsLsEsUaaaaa=+)()( sCsE
11、mea=)()( sMsICmam= )()()(sfsJsMsMmmmcm=+得到系统结构图如下： Ua(s) Ia(s) CmCeMmMc1 Las+RaJms+fm 1 m(s) 10胡寿松自动控制原理习题解答第二章 memmaammmaamemmaamamCCfsJRsLCfsJRsLCCfsJRsLCsUs+=+=)(111)()(memmaaaammaamemmcmCCfsJRsLRsLfsJRsLCCfsJsMs+=+=)(111)()()(/)(0ssi0016515VK = 310301=K 210202=K)()()(0sssie = )()(0sKses= )()(21s
12、UKKKsssa=)()()()( sEssILsIRsUbaaaaa+= )()( sICsMamm=)()()()(002sMsMsfssJscm=+ )()(0sKsEbb=2-15 某位置随动系统原理方块图如图2-63所示。已知电位器最大工作角度，功率放大级放大系数为K3,要求： o330max=(1) 分别求出电位器传递系数K0、第一级和第二级放大器的比例系数K1和K2； (2) 画出系统结构图； (3) 简化结构图，求系统传递函数。 图2-63 位置随动系统原理图 解： （1） （2） U U 系统结构图如下： 11胡寿松自动控制原理习题解答第二章 K0K1K2Ks 1 Las+R
13、aCmKb1 Js2+fs iUsUaEbMmMc0e 0(3) 系统传递函数)(/)(0ssi msbmaamsbmaamsbmaamsaabmaamsaabmaamsiCKKKKKCfJsRsLsCKKKKKCfJsRsLsCKKKKKCfJsRsLsCKKKKfJsRsLsKCfJsRsLsCKKKKfJsRsLsKCfJsRsLsCKKKKss2102102102102102100)()(1)()(1)(1)(1)()()(+=+=+=2-16 设直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图2-64所示：要求 （1） 分别求速度调节器和电流调节器的传递函数 （2） 画出系统结构图（设可控硅电
14、路传递函数为)1/(33+sK ；电流互感器和测速发电机的传递函数分别为和；直流电动机的结构图用题2-14的结果）； 4K5K12胡寿松自动控制原理习题解答第二章 （3） 简化结构图，求系统传递函数 )(/)( sUsi解：（1）速调 sRCsTsRCsCRRsCRRZsUsUsUfiST11111111111)()()( +=+=+=流调 sRCsTsRCsCRRsCRRZsUsUsUdlfkSTLT22222222111)()()( +=+=+=（2）系统结构图如下： T1s+1 Ua 1 Las+RaCmCe1 Jms+fmUiUSTULTEbMmMcUfRC1s T2s+1 RC2s
15、3s+1K3IaK4K5(3) 简化结构图，求系统传递函数 )(/)( sUsi因为求系统传递函数，所以令)(/)( sUsi 0=cM，系统结构图如下： T1s+1 Ua 1 Las+RaCmCe1 Jms+fmUiUSTULTEbUfRC1s T2s+1 RC2s 3s+1K3IaK4K5将K4后移到输出，系统结构图化简如下： T1s+1 Ua 1 Las+RaCmCe1 Jms+fmUiUSTULTEbUfRC1s T2s+1RC2s 3s+1 K3IaK4K5Jms+fmCm13胡寿松自动控制原理习题解答第二章 进一步化简得： T1s+1 Ua （Las+Ra）(Jms+fm)+ Ce
16、CmCmJms+fmUiUSTULTUfRC1s T2s+1RC2s 3s+1 K3K4K5Jms+fmCm进一步化简得： T1s+1 CmRC2s (Las+Ra)(Jms+fm)+ CeCm(3s+1)+ K3K4Cm(Jms+fm)( T2s+1)UiUfRC1s K3 Cm2(T2s+1)K5进一步化简得： RC1s CmRC2s (Las+Ra)(Jms+fm)+ CeCm(3s+1)+ K3K4Cm(Jms+fm)( T2s+1)+ K5K3Cm2(T2s+1)( T1s+1)Ui K3Cm2(T2s+1)( T1s+1) 所以： )1)(1()()1()()1)(1()()(12
17、235433211223+=sTsTCKKfsJCKKsCCfsJRsLsRCCsRCsTsTCKsUsmmmmmemmaammi2-17 已知控制系统结构图如图2-65所示。试通过结构图等效变换求系统传递函数C(s)/R(s)。 14胡寿松自动控制原理习题解答第二章 图2-65 题2-17系统结构图 解：（a） G1(s） G2(s） G2(s) G3(s) R(s) C(s)G1(s） G2(s） G2(s) G3(s) R(s) C(s)15胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G1(s)+ G2(s) 1+G2(s) G2(s)R(s) C(s)1 所以：32211)()(GGGGsRsC
18、+= （b） G1(s） H1(s） R(s) C(s)G2(s）1+ H1(s)H2(s）R(s) C(s)G2(s）G1(1+ H1H2) 1+ H1H2- G1H1所以：112121211)1()()(HGHHHHGGsRsC+= (c) G1G21+G2H1H2 R(s) C(s)G3G1G21+G2H1H2 R(s) C(s)G3G116胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G1+G3G21+ G2H1+ G1G2H2R(s) C(s)所以：221123121)()()(HGGHGGGGsRsC+= (d) G1G2H2 R(s) C(s)H2/G3G3H3 G1G2H2 R(s) C(
19、s)H2/ G1G31+ G3H3 G3G1G2R(s) C(s)H2/ G1G31+ G3H3 G31+ G1H1所以：223311321)1)(1()()(HGHGHGGGGsRsC+= (e) G1G2R(s) C(s)G3H2+ H1/ G3 H1/ G3G417胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G1G2G3R(s) C(s)1+ G2G3H2+ H1G2H1/ G3G4G1G2G3R(s) C(s)1+ G2G3H2+ H1G2- G1G2H1G4所以：1212123232141)()(HGGGHHGGGGGGsRsC+= (f) G1R(s) C(s)G2G3 H1G1G1+G3R
20、(s) C(s)G21+ G1G2H1所以：1212311)()()(HGGGGGsRsC+= 2-18 试简化图2-66中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。 18胡寿松自动控制原理习题解答第二章 解：（1）求)()(sRsC时，这时结构图变为： 0=NG1G2H1R C G1G2R C 1+G1G2H1所以：21121211)()(GGHGGGGsRsC+= （2）求)()(sNsC时，这时结构图变为： 0=RG3G2H1N C G1 进一步化简得 19胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G3G2H1N C G1 G1再进一步化简得： G3G2N CG1 1+
21、G1G2H1再进一步化简得： G3G2N CG1 1+G1G2H1G21+G1G2H1再进一步化简得： 20胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G3G2N C G1 1+G1G2H1G21+G1G2H1再进一步化简得： G2G3-1-G1G2H1N C1+G1G2H1G2G2+G1(1+G1G2H1)所以：)1()1()1()()(12112121121322HGGGGHGGHGGGGGsRsC+= 图2-66 题2-18系统结构图 解： （1） 求)()(sRsC时，这时结构图变为： 0=NG1G2G3R C G4G221胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G1G2G2+G3R C G4G1G2
22、G2+G3R CG4G2+G3 G1G2+G2+G3R CG41+G4(G2+G3) 所以：)(1)()()(32432214GGGGGGGGsRsC+= (2) 求)()(sNsC时，这时结构图变为： 0=RG2G3C G4N G2+G3C G4N 所以：)(1)()(3244GGGGsRsC+= 22胡寿松自动控制原理习题解答第二章 23胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-1 设随动系统的微分方程为： uKxxT200=+ &u )(1 fxtrK = T0xxxfff=+& 其中T,Tf, K2为正常数。如果在外作用r(t)=1+t的情况下，使对r(t)的稳态误差不大于正常数 0x0
23、,试问k1应满足什么条件？ 见习题3-20解答 3-2 设系统的微分方程式如下： （1） )(2)(2.0 trtc =&（2） 0 )()()(24.0)(04. trtctctc =+ & 试求系统的单位脉冲响应k(t)和单位阶跃响应h(t)。已知全部初始条件为零。 解： （1） 因为 )(2)(2.0 sRssC =单位脉冲响应：C ss /10)( = 010)( = ttk 单位阶跃响应h(t) C 2/10)( ss = 010)( = ttth （2）( )()()124.004.02sRsCss =+124.004.0)()(2+=sssRsC 单位脉冲响应：124.004.0
24、1)(2+=sssC tetkt4sin325)(3= 单位阶跃响应h(t) 16)3(6116)3(25)(22+=+=ssssssC tetethtt4sin434cos1)(33 = 3-3 已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数（）。 （1） tetk25.10125.0)(=（2） )454sin(105)(0+= tttk（3） )1(1.0)(3/tetk=解： （1）25.10125.0)(+=ss 1胡寿松自动控制原理习题解答第三章 （2） 0045sin4cos1045cos4sin105)( ttttk +=1642551625164255)(22222+=+=sss
25、sssss （3）3/11.01.0)(+=sss 3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为 h )1.536.1sin(5.1210)(2.1 ottet +=试求系统的超调量、峰值时间p和调节时间s。 解：)1sin(111)(22+=tetntnh arccos= 21/%= e npt21= nst5.3= 6.01.53coscos0= %5.9%2226.01/6.06.01/6.01/= eee )(96.16.112stnp=)(92.22.15.35.3stns=3-5 设单位反馈系统的开环传递函数为 )6.0(14.0)(+=ssssG 试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。 解
26、：闭环传递函数 114.0)6.0(14.01)6.0(14.0)(1)()(2+=+=+=ssssssssssGsGsGB16.0111114.0)1(114.0114.01)()()(222222+=+=+=+=ssssssssssssssssssssRsGsCB2胡寿松自动控制原理习题解答第三章 )3.5523sin(22.1123sin36.0223cos1)(05.05.05.0+=tetetetcttt)1sin(111)(22+=tethntn arccos= 21/%= e npt21= nst5.3= 569.03.55coscos0= %37.11%21/= e stnp6
27、3.33212=stns75.05.35.3=3-6已知控制系统的单位阶跃响应为 h tteet10602.12.01)(+=试确定系统的阻尼比和自然频率。 解： 求拉氏变换得 )2()60070(600)10)(60(600)10)(60()60(2.1)10)(60()10(2.0)10)(60()10)(60(102.1602.01)(2222nnnssssssssssssssssssssssssssssH+=+=+=+=+=显然闭环传递函数为)2(222nnnss +其中 6002=n 610=n 702 =n 627= 根据（3-17） 1/1/1)(21/12/121+=TTeTT
28、ethTtTt解：根据公式（3-17） 3胡寿松自动控制原理习题解答第三章 1/1/1)(211221+=TTeTTethTtTt)1(121=nT )1(122+=nT 显然：1011=T 6012=T 222221111111611+=+=TT解方程得627= 由101)1(121=nT 得到10)1(2= n所以6102621012449627101102=n3-7设图3-42是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数K和Kt，使系统、。 图3-42 飞行控制系统 解：系统开环传递函数 )2()258.0(2525)8.0(25)8.0(251)8.0(25)(21111110nntttss
29、KKssKsKKssKsKssKssKsG+=+=+=+=122536 Kn= 25361=K 4胡寿松自动控制原理习题解答第三章 12258.021=+=tnKK 所以4514=tK 3-8 试分别求出图3-43各系统的自然频率和阻尼比，并列表比较其动态性能。 1 S2r(t) c(t) 1S2r(t) c(t)1+s1 S2r(t) c(t) S (c) (b)(a) - - - + + 图3-43 控制系统 解： （a）01 = n系统临界稳定。 （b）11)(2+=ssss 5.01 = n%8.29% = t ss51.7= （c）11)(2+=ssss 5.01 = n%3.16%
30、 = sts08.8= 3-9 设控制系统如图3-44所示。要求： 图3-44 控制系统 (1) 取1，2.，计算测速反馈校正系统的超调量、调节时间和速度误差； (2) 取1.，计算比例-微分校正系统的超调量、调节时间和速度误差。 解：（1）系统开环传递函数 )2()2(1010)1()1(10)1(101)1(10)1()(221210nnsssssssssssssssG+=+=+=+= 102=n 10=n 2 2=n 101= %1.35%21/= e 5胡寿松自动控制原理习题解答第三章 stns5.35.3=5=VK （2） 3-10 图3-45所示控制系统有（a）和（b）两种不同的结
31、构方案，其中T0不可变。要求： （1） 在这两种方案中，应如何调整，和，才能使系统获得较好的动态性能。 1K2K3K比较说明两种结构方案的特点。 解： 3-11已知系统特征方程为 3 02510234=+ ssss试用劳思稳定判据和赫尔维茨判据确定系统的稳定性。 解： 列劳思表如下： 204715302104711025301234sssss由劳思表可以得到该系统不稳定。 3-12已知系统特征方程如下，试求系统在s右半平面的根数及虚根值。 （1） 04832241232345=+ sssss（2） 0108-7-44423456=+ ssssss（3） 02535201232345=+ sss
32、ss解：（1）列劳思表如下： 01234548121644824332121ssssss有一对虚根，系统不稳定 （2）列劳思表如下： 6胡寿松自动控制原理习题解答第三章 0123456105584410741sssssss系统不稳定 （3）列劳思表如下： 25102553803162520335121012345ssssss有一对虚根，系统不稳定 3-13已知单位反馈系统的开环传递函数 )15.0)(1()15.0()(2+=sssssKsG 试确定系统稳定时的K值范围。 解：系统特征方程为 0)15.0()15.0)(1(2=+ sKssss 将上述方程化简得到： 0)5.01(25.15.0234=+ KsKsss 劳思表如下： KsKKKsKKsKsKs02123425.05.2125.025.15.25.125.05.25.015.125.0+3-14 已知系统结构图如图3-46所示。试用劳思稳定判据确定能使系统稳定反馈参数的取值范围。 7
