1、3.4 复杂系统决策模型 与层次分析法 Analitic Hierachy Process (AHP),对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。一. 问题举例1. 在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。2. 在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。3. 在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。,二. 模型和方法1. 层次结构模型将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按
2、它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。最高层：决策的目的、要解决的问题。最低层：决策时的备选方案。中间层：考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。,例1. 选购冰箱,选购冰箱,品牌,功能,价格,耗电,海尔,新飞,容声,雪花,例2. 旅游景点,旅游景点,居住,景色,费用,饮食,交通,泰山,杭州,承德,例3. 科研课题,科研课题,贡献,可行性,实 用 价 值,学 术 意 义,人 才 培 养,难 度,周 期,经 费,基础,应用,教育,2. 因素判断模型10. 判断矩阵：令 正数 aij 为因素xi、xj 对目标 Z 的影响的相对重要性指标。aij
3、 = 1： xi 与 xj 对目标 Z 的重要性相当。aij 1：对目标 Z来说 xi 比 xj重要, 其数值大小表示重要的程度。显然有 aji = 1/ aij 。矩阵 A = （ aij ）称为因素（x1,xn）成对比较时的判断矩阵。,20. 正互反矩阵：n n 矩阵 A = (aij ) 是正互反的, 如果满足条件 aij 0 且 aji =1/ aij 30. aij 的估计: 九级标度法xi/xj 相当 较重要 重要 很重要 绝对重要 aij 1 3 5 7 9,40. 例. 选择旅游景点Z：目标，选择景点y：因素，决策准则y1 费用, y2 景色, y3 居住, y4 饮食, y5
4、 交通X：对象，备选方案X1 杭州，X2 泰山，X3 承德，因素对目标的判断矩阵,3. 因素排序及其一致性10. 权重向量令1为A的最大(模)特征根, 则 10.令w为与 1对应的A的特征向量, 则w0.归一化: wi*=wi/wi, 有 w*=(w1*,wn*)称 w* 为因素 y 对目标 Z 相对重要性的权重。,20. 排序的一致性比较的一致性：对于因素关于目标重要性比较的指标aij, 若对任意的k, 满足aij=aikakj, 则称这个比较是一致的。排序的一致性：一致性指标 CI (Consensus index)CI=(1-n)/(n-1)，CI=0。CI = 0, A有完全的一致性。
5、 CI 接近于 0, A 有满意的一致性。,一致性判断矩阵与因素排序,一致性判断矩阵：所有元素满足一致性条件aij = aik akj 的判断矩阵。 一致性判断矩阵的特征向量就是因素的排序,矩阵的一致性,定理 1. (Peron-Frobenious) 非负矩阵存在正的最大模特征根,对应着正的特征向量。定理 2. 一致的正互反阵的秩等于 1，主特征根为n，若特征向量为 w = (w1,wn), 则有 aij = wi / wj。定理 3. n 阶判断矩阵是一致的，当且仅当 1=n。,定理 2 证明,一致性正互反矩阵中任意两列元素成比例aij = m aih，i=1,n 由一致性：aij = a
6、ik akj， aih = aik akh，则aij /aih= akj /akh=m, 即 aij = m aih,i =1,n 由 aij = aik/ ajk， 令a=(a1k a2k ank), a-1=(1/a1k 1/a2k 1/ank) 则有 A = a a-1 , 判断矩阵的秩为 1. 且有 A a = a a-1a = n a,一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特征向量,若特征向量为 w = (w1,wn), 则有 aij = aik/ ajk = wi / wj。 表示wi 与 wj之间的比值, 是这两者重要性之间的一个判断. w 就是各对象之间的一个排序. 即:各列均表示被
7、判断元素之间的排序。,定理 3 证明,随机一致性指标,固定 n, 令 A 的上三角从1/9,1,2,9中随机取值, 构成正互反矩阵。计算它的 CI。对每个 n = 1, 2, , 9 分别随机地抽取 n=100500 个样本, 得到 Ank 和 CInk (不一致判断矩阵的指标)。取则 CI RI 时, 判断矩阵明显不具有一致性。取 0.1 , 则当 CI RI 时, A 在水准下有满意的一致性.,平均随机一致性指标 RI n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45CR = CI / RI 0.1 时, A 有满意
8、的一致性。,AHP的计算,1. 最大特征根与特征向量的计算幂法给定 A 0, 对任x0 则若取 则特征根为,特征根与特征向量的近似算法,计算行(几何)平均归一化特征根,MATLAB算法,%对于形如 A = (mij/hij)的正互反阵，求特征值和特征向量。B=m11,m1n;m21,m2n;mn1,mnn; A=B./BX,D=eig(A),例. 准则对目标的排序A 有特征根 = 5.019w = (0.48, 0.26, 0.05, 0.10, 0.11)CI = (-5) /(5-1) = 0019/4 = 0.00475 CR = 0.00475 / 1.12 = 0.004246 0.1 A 有满意的一致性。,备选对象对决策准则的判别矩阵,4. 总排序及其一致性 10. 模型及参数模型：参数：y 对目标 Z有判断矩阵 A排序权重 a =(a1, , a5)x 对准则 yj 有判断矩阵 Bj排序权重bj=(b1j, b2j, b3j)记 B = (b1, b2, , b5)CIj(x): x对 yj 的 CI; RIj(x): x对 yj 的 RI.CIZ(x): x对 Z 的 CI; RIZ(x): x对 Z 的 RI.,20. 对象对目标的排序30. 排序的一致性w = (0.293, 0.311, 0.446),
