1、第 1 页，共 4 页湖北文理学院 2013-2014 学年度下学期 泛函分析 试题A（考查）专业： 班级： 学号： 姓名： 课程类别：专业课 适用专业：数学与应用数学1111题目 一 二 三 总分满分 18 15 67 100得分得分 评卷人 一、判断题（每小题 2 分，共 18 分）1、任何空间中有界序列必有收敛子列. （ ）2、 弱收敛与弱收敛是一致的. （ ）3、任何共轭空间都是 Banach 空间. （ ）4、空间 是完备的度量空间. （ ,Pab）5、内积空间一定为完备的赋范空间. （ ）6、非零赋范线性空间上有非零有界线性泛函. （ ）7、设 X 是实内积空间，若 ，则 . （
2、22|xyyxy）8、度量空间中的紧集合自列紧等价. （ ）9、Hilbert 空间一定为 Banach 空间. （ ）得分 评卷人 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1、设 T 是赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 中的线性算子，则 T 为有界算子的充要条件是 第 2 页，共 4 页2、设 X 是内积空间，M 是 X 的非空子集，则 是 X 中的 集 M3、设 X 为内积空间，则内积是关于两个变元 连续4、柯西-施瓦兹不等式是 .5、赋范线性空间成为内积空间的条件是 得分 评卷人 三、证明题（共 67 分）1、 （15 分）设 是一个完备的距离空间，定义 为(,)Xd1:dXR，1(,)(,)xy证明 是 的一个距离，且 是一个完备的距离空间1d1(,)d第 3 页，共 4 页2、 （15 分）设 ，对 ，定义01r0,1xC()().rrftdxt证明 是 上的有界线性泛函，并求 的范数.f,Cf3、 （10 分）试举例说明算子强收敛不一定有一致收敛.第 4 页，共 4 页4、 （15 分）设 是赋范线性空间， ， ，则必存在 上的有界XXx00X线性泛函 ，使得 ， 并且 .)(xf1|f |)(f5、 （12 分）证明：用闭图像定理证明逆算子定理
