1、2.3.2 离散型随机变量的方差基础巩固组(30 分钟 50 分)一、选择题（每题 5 分，共 20 分）1. 下面说法中正确的是( )（A）离散型随机变量 X 的均值 E（X）反映了 X 取值的概率的平均值（B）离散型随机变量 X 的方差 D（X）反映了 X 取值的概率的平均值（C）离散型随机变量 X 的均值 E（X）反映了 X 取值的平均水平（D）离散型随机变量 X 的标准差反映了 X 取值的平均水平2. 设随机变量 XB（n,p） ，且 E（X）=1.6，D（X）=1.28,则( )（A）n=8,p=0.2 （B）n=4,p=0.4（C）n=5,p=0.32 （D）n=7,p=0.453
2、. (2011冀州高二检测)设随机变量 B(9, )，且 +2=1，则 D()的值等于( )13（A）1 （B）2 （C）12 （D）44. 设抛掷一颗骰子的点数为 X，则( )（A）E（X）=3.5,D（X）=12.25（B）E（X）=3.5,D（X）= 3512（C）E（X）=3.5,D（X）=3.5（D）E（X）=3.5,D（X）= 6二、填空题（每题 5 分，共 10 分）5. （2011福州高二检测）若随机变量 X1B(n,0.2),X 2B(6,p),X 3B(n,p)，且 E（X 1）=2，D（X 2）= ,则 D（X 3）等于.6. (2011黄冈高二检测) 设一次试验成功的概
3、率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p=_时，成功次数的标准差的值最大_，其最大值为_.三、解答题（每题 10 分，共 20 分）7. 已知随机变量 X 的分布列为（1）求 E(X)，D(X)， ；DX（2）设 Y=2X+3，求 E(Y),D(Y).8. (2011潍坊高二检测) 编号为 1，2，3 的三位学生随机入座编号为 1，2，3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是 X.（1）求随机变量 X 的概率分布；（2）求随机变量 X 的均值与方差.能力提升组(30 分钟 30 分)1. （5 分）下列是 4 个关于离散型随机变量 的期望和方差的描述：E()与 D
4、()是一个数值，它们是 本身所固有的特征数，它们不具有随机性；若离散型随机变量一切可能取值位于区间a,b内，则 aE()b；离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映的是随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度；离散型随机变量的期望值可以是任何实数，而方差的值一定是非负实数；以上 4 个描述正确的个数是( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）42. （5 分）若离散型随机变量 X 满足 又 E(X)1212PxPXxx33， ， 且 ，= ，D(X)= ，则 x1+x2的值为( )39（A） （B） （C）3 （D）733. （5 分） （2011泉州高二检测）随机变量
5、X 的分布列如下：其中 a,b,c 成等差数列，若 E（X）= ，则 D（X）的值是_.134. （5 分）设随机变量 具有分布列 P(=k)= ，其中 k=1,2,3,4,5，则 D（）5=_，E（）=_.5. （10 分）已知 A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1和 X2，根据市场分析，X 1和 X2的分布列分别为（1）在 A、B 两个项目上各投资 100 万元，Y 1和 Y2分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 D（Y 1） 、D（Y 2） ；（2）将 x（0x100）万元投资 A 项目， （100-x）万元投资 B 项目，f(x)表示投资 A 项目所得利润的方
6、差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f(x)的最小值，并指出 x 为何值时，f(x)取到最小值.（注：D(aX + b)=a 2D（X） ）答案解析基础巩固组1.【解析】选 C.均值反映了离散型随机变量取值的平均水平；随机变量的方差（标准差）反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.2 【解析】选 A.根据题意得 解此方程组得 p=0.2,n=8.np1.628，3.【解析】选 C.因为 B(9, )，13所以 D（）=9 (1- )=2，又因为 +2=1，所以 =- + ，2所以 D（）=D(- + )= D（）= 2= .14124.【解析】选 B.随机变量 X 可以取 1，2，3，4
7、，5，6，且 P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)= ,6所以 11E234563.5,6（ ）D（X）= (1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)217.53.65.【解析】X 1B(n,0.2),E(X 1)=2,n0.2=2,n=10,X 2B(6,p),D(X 2)= ,6p(1-p)= ,解得：p= ,321X 3B(10, ),D(X 3)=10 (1- )= .5答案： 526.独具【解题提示】因为变量服从二项分布，所以根据二项分布方差的计算公式，将方差表示为 p 的函数
8、，讨论函数的最值，再转化为标准差.【解析】设成功次数为随机变量 ，服从二项分布 B(100,p)，要使标准差最大，即方差 D（）100p(1-p)最大，当 p= 时 D() max=100 (1- )=25.1212此时 = =5.max()25答案： 517.【解析】 （1） 11EX0236，2 2D()()()35,95.(2)E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3= D(Y)=D(2X+3)=4D(X)= .172()3,2098.独具【解题提示】本题关键是求出随机变量 X 取不同值时对应事件的概率然后再求均值与方差.【解析】 （1）根据题意知，随机变量 X 的取值是 0，1，3，且
9、所以，33 3C2 1PX0P1PAA2A6（ ） ， （ ） ， （ ） ，随机变量 X 的分布列是22112E03,61D,6（ ） （ ）（ ）即随机变量 X 的均值与方差都是 1.独具【举一反三】本题条件不变，设 Y=3+2 求 E(Y),D(Y).【解析】E（Y）=E（3+2）=3E()+2=31+2=5，D(Y)=D(3+2)=9D()=9独具【规律方法】求随机变量方差的一般步骤（1）确定随机变量的取值.本例中随机变量 X 的取值不能取 2，因为当有两位同学的编号与座位的编号相同时，第三位同学也只能坐在与他的编号相同的座位上了.（2）在正确地确定随机变量取值的前提下，求出随机变量取
10、各个值的概率，然后写出分布列；（3）根据有关公式计算随机变量的均值，然后计算方差，标准差.能力提升组1.【解析】选 D.根据均值和方差的概念、性质进行判断.2. 独具【解题提示】解答本题可先根据均值与方差的定义列出关于 x1,x2的方程组,然后解方程组即可.【解析】选 C.由题意得1224x,31()(x)3911 12225x3().或 舍 去 ，3.【解析】由 a,b,c 成等差数列可知 2b=a+c，又 a+b+c=3b=1,b= ,a+c= ，3又 E(X)=-a+c= ，所以 a= ，c= .1612故 X 的分布列为:所以 D（X）=(-1- )2 +(0- )2 +(1- )2
11、= .1361359答案: 594.独具【解题提示】根据分布列，再利用随机变量的期望、方差的公式及性质，代入公式求解.【解析】随机变量 的分布列是：所以 1115E234355（ ） ，D（）=(1-3) 2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2 =2答案：2 3独具【举一反三】本题条件不变，求 E(+2) 2，D(3+3)的值.【解析】随机变量 2的概率分布是：所以 E( 2)= (1+4+9+16+25)=11；15因为 E(+2) 2=E( 2+4+4)=E( 2)+E(4)+E(4)，所以 E(+2) 2=11+43+4=27；又因为 D(3+3)=9D()，所以 D
12、(3+3)=92=18.5.【解析】 （1）由题设可知 Y1和 Y2的分布列分别为所以 E(Y1)=50.8+100.2=6，D(Y1)=(5-6)20.8+(10-6)20.2=4;E(Y2)=20.2+80.5+120.3=8,D(Y2)=(2-8)20.2+(8-8)20.5+(12-8)20.3=12.（2）f(x)=D( Y1)+D( )x0x0=( )2D(Y1)+( )2D(Y2)x00x= x2+3(100-x)24= (4x2-600x+31002)1= (x-75)2+3,65当 x=75 时，f(x)=3 为最小值.独具【规律方法】均值与方差在现实生活中的应用技巧离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定.高考试题库
