1、1高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。例 1、 用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：按题意，颜色要用完，1 有 4 种涂法；2 有 3 种涂法；3 有 2种涂法；涂 1，2，3 只用了三种颜色，4 必须涂第四种颜色，有 1种涂法，共有 =24 种涂法。A例 2、给如下区域涂色，有四种颜色供选择，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：
2、颜色可供选择，可理解为颜色可用完和不用完两种，分类处1 3 4 21 3 4 22理，至少要用三色涂空，才能满足要求。法 1：1） 恰用三色： =48 种涂法；2134C2） 恰用四色：同例 1，有 24 种涂法。共有 24+48=72 种涂法。法 2：1 有 4 种涂法；2 有 3 种涂法；3 有 2 种涂法；4 有 3 种涂法；共 72 种涂法。评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。一、 区域涂色问题（一） 、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。例 3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，
3、有多少种涂法？一、 间空涂色法；法 1、用空分类选择 1，31）1，3 同色，则 1，3 有 种方法，2 有 种方法，4 不14C13C可能与 1，3 同色，但可与 2 同色，分两类：4 与 2同色，只用了两种颜色，5 有 2 种方法；4 与 2 不同色，则 4 有 2 种方法，5 有 2 种涂法，此时，共有 种方法。7)(31 5 2 4 332）1，3 不同色，则 1，3 有 种方法，2 有 种方法，4 与 14A12C同色，5 有 3 种方法；4 与 2 不同色，则 4 有 2 种涂法，5 有 2 种涂法，共有 =168 种方法，综上所述，共有 72+168=240)2(种涂法。法 2：
4、公式法共有 35+3 （-1 ） 5=240 种方法。定理：用 m 种颜色（可选择）填圆形区域的 n 个空，一空涂一色，邻空不同色的涂法有 种。)1()1(mnn证明：如图，设有 an 种不同涂法。不妨把之剪开,化为矩形区域,共有 种涂法,但区域 1、n 不能1)(nm涂同色，把 1、n 捆绑成一个空，有 an-1 种涂法，则)(nama1)(1)()(11mannn其中 ，设)(2Aa 1,)1(2mbabnn则令 ，则 r=1，rmrbnn11 n2 31 2 3 n4可知， 。m。bn 为 公 比 的 等 比 数 列为 首 项是 以数 列 1112 nnnnnnmab 11112这个公式
5、适用于颜色可选择性问题和最低保底颜色问题，不适用于“恰用色”问题。例 4（2003 江苏）四种不同颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不同色的涂法共有 种。解析：依题意，四种颜色都要用上，属于恰用色，同时，填这六个空最少要 4 种颜色，属于保低色，可用公式。把左图等价转化为右图.先涂 1：有 4 种方法；余下 3 色涂 5 个空（圆形）有（3-1） 5+(-1)5（3-1 ）=30 种涂法 ,由分步计数原理,共有 120 种涂法.若用间空涂色,可这样考虑:1）涂 1,有 4 种方法，余下 3 种颜色；2）2、4 同色，有 种涂法；此时，3 有 2 种涂法；5 与 3 同色时，1C62 5
6、13 462 513 456 有 1 种涂法（颜色要用完） ；5 与 3 不同色时，5 有 1 种涂法，此时 6 有 1 种涂法，共有 种涂法；12)(32、4 不同色，有 =6 种涂法；此时 3 有 1 种涂法；若 5 与 3 同色，2A6 有 1 种涂法；5 与 3 不同色，6 有 2 种涂法（与 4，或 3 同色）共有 ）=18 种涂法；2(综上所述，由分步计数原理，共有 120 种涂法评析：分类讨论，种类繁多，要做到不重不漏，必须小必应对，任何方法都不是万能的，关键是要熟练掌握。变式：（2003 全国）一个行政区分为 5 个区域，用 4 种颜色给地图涂色，要求邻居空不同色的不同涂色方法
7、有 种。二、点涂色问题用等价转化思想把点涂色问题转化为区域涂色问题，是做题的关键。例 5、用 4 种颜色给四面体的四个顶点涂色，要求邻点不同色的涂法共有多少种？13 1 54PA BC41236解析；一脚把点 P 踩到 ABC 平面，问题等价转化为给下图涂色。共有 种，即 种涂法。24)13(2)(44A变式：用 5 种颜色给四面体的四个顶点涂色，要求邻点不同色的涂法共有多少种？答案： ，或 =120 种45CA)3(15三、线段涂色用等价转化思想把点涂色问题转化为区域涂色问题。例 5、 用 6 种颜色给四面体的 6 条棱涂色，要求邻棱不同色的涂法共有多少种？解析：把图转化为：1）恰用 3 色
8、，则 1、6；2、5；3、4 分别同色，有 种涂法；12036ACPA BCPA BC1 2345 645 1 23672）恰用 4 色，则 1、6；2、5；3、4 有两对分别同色，如1、6；2、5 同色，3、4 有 种涂法，两同色组有 种涂法，共有2A2A种涂法4C3A23）恰用 5 色，则 1、6；2、5；3、4 有 1 对分别同色，如 1、6；则3、4，2、5 有 种涂法，共有 种涂法446C3A4）恰用 6 色，有 种涂法；6A综上所述：共有 4080 种涂法。评析，若你很难转化为区域问题，就不要转化，按线段的相对性可做。四、面涂色问题同上面说过的方法类似，能转则转，否则用面的相对性求
9、解。例 7、用 6 种颜色（可选择）给正方体的 6 个面涂色，要求邻不同色，有多少种不同的涂法？解析：图转化为D CA BD CA B65 412 381）恰用 3 色，有 =24 种；34A2）恰用 4 色，有 =72 种23C共有 96 种。五、恰用色与可选色的联系设保底色为涂法数为 am，恰用色涂法数为 an，则可选色涂法数Bn=am+am+1+an例 8、用 4 种颜色给如下区域涂色，颜色必须用完，相邻区域不同色，有多少种涂法解析：按要求涂色，最少要 3 种颜色（保底色） ，用 3 色涂之，1 有3 种；2 有 2 种；3 有 1 种；4 与 1 同色时，5 有 2 种，4 与 2 同色时，5 有 2 种，共有 种涂法；96)2(3C4 色可选时，有 种；那么，恰用四色有 216-96=120 种。法 2：1、4 或 2、4 同色，有 种；4821341、4， （2、4）不同色，有 种7共有 120 种。总之，涂色问题比较复杂，做题时，分类要清楚，可用空分类，也可用色分类，在做题上掌握斯技巧；注意等价转化，末两空捆绑等1 3 4 529方法， ；注意颜色用完与可选的区别。
