1、高中数学选修 2-2函数与导数单元过关形成性测试卷 B 卷一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若函数 的单调递增区间是（ ）xfln)(A B C D(0,1) (0,e) (0,+ ) (1,+ )（2）已知函数 是奇函数，当 时， ，则曲线 在 处的切f(x) xax a）A B C D(1e,1 (,1e) 1,e1) (1e,+)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分.（7）已知函数 的导函数为 ，且 ，则 的解f(x)(x R) f (x) f(3)=7,f (x)0 f(x) x2+m m（12） （本小
2、题满分 15 分）设函数 ，其中 e 为自然对数的底数f(x)=ex-ax2-ex+b（）若曲线 在 y 轴上的截距为 ，且在点 处的切线垂直于 ，求实数 a，b 的值；f(x) -1 x=1 y=12x（）记 的导函数为 ，求 在区间 上的最小值 f(x) g(x)g(x) 0,1 h(a)（13） （本小题满分 15 分）已知函数 .f(x)=x3alnx(a R)（）讨论函数 的单调性；f(x)（）若函数 在区间 上存在两个不同零点，求实数 的取值范围.y=f(x) (1,e a高中数学选修 2-2函数与导数单元过关形成性测试卷参考答案一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，在每
3、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若函数 的单调递增区间是（ ）f(x)=xlnxA B C D(0,1) (0,e) (0,+ ) (1,+ )【答案】D【解析】 定义域是 ， ， y=xlnx x|x0 y=11x=x1x当 时， 或 （舍） ，x1x 0 x1 x0 -x0,f(x)=xlnx-x+1 ，则 ，f(x)=lnx k=f(e)=lne=1而 ，切点为 ， f(e)=1 (e,1)切线方程为 ，故选 D.y=xe+1（3）若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围是（ ）f(x)=lnx+ax22 (12,2) aA B C D(, 2 (2,+) (
4、2,18) 18,+)【答案】D【解析】 ， 在 内恒成立， ，f (x)=1x+2ax=2ax2+1x 2ax2+10 (12,2) a(12x2)max ， ， ， ，故选 Dx (12,2) x2 (14,4) （ 12x2） (2,18) a 18（4）已知函数 在 内有极小值，则 b 的取值范围是（ ）f(x)=x3-6bx+3b(0,1)A B C D(-,0) (0,12) (12,+ ) (0,1)【答案】B【解析】 的导数为 ，f(x)=x36bx+3b f(x)=3x26b函数 在 内有极小值，f(x)=x3-6bx+3b(0,1) 在 内有零点，则 ，即 ，且 ，f(x)
5、=3x26b(0,1) f(0)0 6b0， 实数 的取值范围是 ，故选 B. 00 时，xf(x)f(x)0.g(x)在(0，)上是减函数 ax a）A B C D(1e,1 (,1e) 1,e1) (1e,+)【答案】A【解析】函数 ,对任意 ， 恒成立，f(x)=x+1ex x R f(x)ax 恒成立，即 (a1)x 恒成立；x+1exax 1ex设 g(x)= ,h(x)=(a1)x，xR；1ex在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示；则满足不等式恒成立的是 h(x)的图象在 g(x)图象下方，g(x)= ，1ex过 g(x)图象上点(x 0,y0)的切线方程为 ，且该切线方程过
6、原点(0,0)，y-y0=-e-x0(x-x0)则 = x0，即 = x0，解得 x0=1；y0 -e-x0 e-x0 e-x0切线斜率为 k= =e，e-x0应满足 a1e，即 a1e；又 a10，a1，实数 a 的取值范围是(1 e,1，故选 A.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分.（7）已知函数 的导函数为 ，且 ，则 的解f(x)(x R) f (x) f(3)=7,f (x)3（8）已知 a0，若函数 f(x) 在1,1上的最大值为 2，则实数 a 的值为_x 12x2 a【答案】1【解析】求导数可得，f(x) ，2x 1a xx2 a2令 f(x)0，可得 x1 或 x
7、a，f(1)0，f(a)1 ，f(1) ，1a 41 a若 1 2，则有 a1；若 2，则也有 a1，1a 41 a综上 a1.（9）若直线 ykxb 是曲线 yln x2 的切线，也是曲线 yln(x1)的切线，则 b_【答案】1ln 2【解析】设 ykxb 与 yln x2 和 yln(x1)的切点分别为(x 1，kx 1b)，(x 2，kx 2b)，由导数的几何意义，可得 k ，得 x1x 21，1x1 1x2 1再由切点也在各自的曲线上，可得Error!联立上述式子，解得Error!从而由 kx1bln x 12，得出 b1ln 2.（10）已知直线 ya 分别与直线 ，曲线 交于点
8、A，B，则线段 AB 长度的最小y=2x2 y=2ex+x值为_【答案】3+ln22【解析】 ，设与 平行的 的切线的点为 ， y=2ex+x,y=2ex+1 y=2x2 y=2ex+x (x0,y0)则切线斜率为 ， 切线方程为2ex0+1 2ex0+1=2,x0=ln2,y0=1ln2,， ，y+ln21=2(x+ln2) y=2x+ln2+1则 与 ， 被直线与切线截得的线段长，就是 被直线y=2x2 y=2x+ln2+1 y=a y=a和曲线 截得线段 的最小值，y=2x-2 y=2ex+x AB因为 取任何值时， 被两平行线截得的线段长相等，所以令 ，可得a y=a a=0，线段 的
9、最小值 ，故答案为 .xA=1,xB=ln212 ,AB=xBxA=3+ln22 AB 3+ln22 3+ln22三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（11） （本小题满分 10 分）若函数 的图象在 处的切线方程为 .f(x)=xexax+b x=0 y=x+1（）求 和 的值；a b（）当 时， ，求实数 的取值范围.x0 f(x) x2+m m【解析】 （）由函数 的图象在 处的切线方程为： 知f(x) x=0 y=-x+1，解得 .f(0)=b=1f(0)=1-a=-1 a=2,b=1（2） ，f(x) x2+mm xex-x2-2x+1令 ， ，则 ，g(x)=xex
10、-x2-2x+1 x0 g(x)=(x+1)ex-2x-2 =(x+1)(ex-2)设 ， 则 ，从而 ，g(x)=0 x0 ex=2 x=ln2当 时， ；当 时， ；x (0,ln2)g(x)0函数 在 上单调递减，在 上单调递增， g(x)(0,ln2) (ln2,+)， g(x)min=g(ln2)=1-ln22恒成立 ，m g(x)min=1-ln22实数 的取值范围是： . m (- ,1-ln22（12） （本小题满分 15 分）设函数 ，其中 e 为自然对数的底数f(x)=ex-ax2-ex+b（）若曲线 在 y 轴上的截距为 ，且在点 处的切线垂直于 ，求实数 a，b 的值；
11、f(x) -1 x=1 y=12x（）记 的导函数为 ，求 在区间 上的最小值 f(x) g(x)g(x) 0,1 h(a)【解析】 （）曲线 在 y 轴上的截距为 ，则过点 ，f(x) -1 (0,-1)代入 ，f(x)=ex-ax2-ex+b则 ，则 ，求导 ，1+b=-1 b=-2 f(x)=ex-2ax-e由 ，即 ，则 ，f(1)=-2 e-2a-e=-2 a=1实数 a，b 的值分别为 1， ； -2 ， ， ，( )f(x)=ex-ax2-ex+b g(x)=f(x)=ex-2ax-e g(x)=ex-2a当 时， ， ， 恒成立，(1)a12 x 0,11 ex e 2a ex
12、即 ， 在 上单调递增，g(x)=ex-2a 0 g(x)0,1 g(x) g(0)=1-e当 时， ， ， 恒成立，(2)ae2 x 0,11 ex e 2aex即 ， 在 上单调递减，g(x)=ex-2ae2 （13） （本小题满分 15 分）已知函数 .f(x)=x3alnx(a R)（）讨论函数 的单调性；f(x)（）若函数 在区间 上存在两个不同零点，求实数 的取值范围.y=f(x) (1,e a【解析】（） ，f(x)=3x2-ax=3x3-ax (x0)若 时， ，此时函数在 上单调递增；a 0 f(x)0 (0,+)若 时，又 得： ，a0 f(x)=3x3-ax =0 x=3
13、a3时 ，此时函数在 上单调递减；x (0,3a3) f(x)0 3a3,+)（）由题意知： 在区间 上有两个不同实数解，a=x3lnx (1,e即函数 图像与函数 图像有两个不同的交点，y=a g(x)=x3lnx因为 ，令 得： ，g(x)=x2(3lnx-1)(lnx)2 g(x)=0 x=3e所以当 时， ，函数在 上单调递减，x (1,3e) g(x)0 (3e,e则 ，而 ，且 ，g(x)min=g(3e)=3eg(e127)= e327lne127=27e1927 g(e)=e327要使函数 图像与函数 图像有两个不同的交点，y=a g(x)=x3lnx所以 的取值范围为 .a (3e,e3
