1、第 1 章 解三角形第 1 课时 正弦定理(1) 教学过程一、 问题情境1. 对于“即时体验 ”中的第 2 题:“在 ABC 中,若 C=75,A=60,b= ,则这个三角形能确定吗? B,a,c 能求出来吗?”这个三角形虽然可以确定,但根据我们目前所掌握的知识还不能够求出 a,c,这说明了什么呢?这只能说明我们对三角形中的边角之间的关系还缺乏足够的了解,还没有发现它们之间所隐含的规律 .2. 三角形中的边角之间究竟隐含着什么样的规律呢?还是让我们从特殊情况来考察:在 RtABC 中, C=90,试判定 , 与 之间的大小关系 .二、 数学建构问题 1 对任意三角形, = = 也成立吗?用几何
2、画板演示,如果不具备条件的话,也可以通过纸笔或计算器来计算任意三角形中三边长与其对角的正弦值之比,让学生通过验证感受到:对任意三角形,都有 = =问题 2 验证能代替证明吗?(验证不能代替证明,验证只是表明个别情形或特殊情形成立 ,还不能说明一般情形或任意情形都成立)问题 3 如何证明对任意三角形都有 = = 成立呢?(根据教材 P5 中的途径提示,组织学生进行讨论 ,最好能由学生给出证明思路)对于 = = 这一关系的证明,我们一起来看下面的证法 .(图 1)证法一:在 ABC 中,有 = + .不妨设 C 为最大角,过点 A 作 ADBC 于 D(如图 1),于是 =( + ) = + ,即
3、 0=| | |cos(90+B)+| | |cos,其中,当 C 为锐角或直角时, =90-C;当 C 为钝角时, =C-90.故可得 csinB-bsinC=0,即 = .同理可得 = ,所以 = = .上述等式表明,三角形的各边和它所对角的正弦之比相等 .这样,我们得到正弦定理: = = .问题 4 对于正弦定理: = = ,你还能尝试用其他方法证明吗?(图 2)(图 3)证法二 2:设 O 是 ABC 的外接圆,直径 BD=2R.(1) 当 A 为锐角时,如图 2,连结 CD,则 BCD=90,a=2RsinD.又 D=A,所以 a=2RsinA.(2) 当 A 为钝角时,如图 3,连
4、结 CD,则 BCD=90,a=2RsinD.又 D+A=180,可得 sinD=sin(180-A)=sinA,所以 a=2RsinA.(3) 当 A 为直角时, a=2R,显然有 a=2RsinA.综上所述,所以不论 A 是锐角、钝角或直角,总有 a=2RsinA.同理可证 b=2RsinB,c=2RsinC.所以 = = =2R.这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,即三角形的各边和它所对角的正弦之比相等,因此,我们得到正弦定理: = = =2R.正弦定理的变形: a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2R 是 ABC 外接圆的直径); abc=sinAsinBs
5、inC.问题 5 在课前预习时,“即时体验” 中的第 2 题你解决了吗?三、 数学运用【例 1】 (教材 P7 例 1)在 ABC 中, A=30,C=100,a=10,求 b,c.(精确到 0.01)3(见学生用书课堂本 P1)(例 1)处理建议 (1) 先让学生自己动手作图,看看此三角形是否确定,然后再考虑如何求 B,b,c.(2) 理清解题思路:如图,直接应用正弦定理可求出边 c;若求边 b,则需通过三角形内角和为 180先求出角 B,再利用正弦定理求出边 b.规范板书 解 B=180-(A+C)=180-(30+100)=50.因为 = = ,所以 b= = 15.32,c= = 19
6、.70.因此, b,c 分别为 15.32 和 19.70.题后反思 (1) 此类问题结果为唯一解,学生较易掌握;如果已知两角和两角所夹的边去求其他边角,也是先利用内角和为 180求出第三角,再利用正弦定理求出其他边 .(2) 因此,对“已知两角与任一边,求其他两边和一角”的问题都能够用正弦定理彻底解决,且解唯一 .变式 在 ABC 中,已知 A=60,B=45,c=3,求 C,a,b.规范板书 解 C=180-(A+B)=180-(60+45)=75.因为 = = ,所以a= = = ,b= = =3 -3.因此, C,a,b 分别为 75, 和 3 -3.【例 2】 根据下列条件解三角形:
7、(1) a=14,b=7 ,B=60;(2) c= ,b= ,B=45.4(见学生用书课堂本 P2)处理建议 (1) 解三角形是指由六个元素中的三个元素(至少有一个是边),求其余三个未知元素的过程;(2) 对于本题,先让学生讨论,尝试解答;然后教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的求解过程,并纠正出现的错误 .规范板书 解 (1) ac,故角 C 有一解;(2) 当 a=5 时, csinA=5 sin45=5, a=csinA,故角 C 有一解;(3) 当 a= 时,有 cacsinA=5 sin45=5,故角 C 有两解;(4) 当 a=时,有 aBsinAsinB.处理建议 先
8、让学生分析得出条件与三角形的角有关,结论与三角形的角的正弦值有关 .但是如何实现条件与结论的转化呢?自然联想到正弦定理 .规范板书 证明 因为 a=2RsinA,b=2RsinB,所以 ABab2RsinA2RsinBsinAsinB,即ABsinAsinB.题后反思 (1) 不能利用正弦函数的单调性进行证明,因为正弦函数在(0,)内不具有单调性;(2) 在ABC 中,有 ABabsinAsinBcosA180,故 A2=150应舍去( 或者由 ac2;当 C 为钝角时, a2+b20,由余弦定理得 cosC= 0,即 a2+b2-c20,所以 a2+b2c2.同理可证,当 C 为钝角时 ,a
9、2+b2b, AB=60, A 有两解, A181.8,A298.2. C1=38.2,C2=21.8.由 = ,得 c1=5,c2=3. SABC=ac1sinB=10 或 SABC=ac2sinB=6 .解法二 由余弦定理得 72=c2+82-28ccos60,整理得 c2-8c+15=0,解得 c1=5,c2=3. SABC=ac1sinB=10或 SABC=ac2sinB=6 .题后反思 (1) 在解法一中,注意利用正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决问题,故解法二应引起学生的注意 .(2) 通过上述例题,可要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围(已知三边求任意角或已知两边及夹角解三角形),同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法 .变式 在 ABC 中,已知 a=7,c=5,A=120,求 的值 .规范板书 解 由余弦定理得 72=b2+52-25bcos120,整理得 b2+5b-24=0,解得 b1=3,b2=-8(舍去) .所以=.
