1、第 13 课时 平面与平面的位置关系(2)教学过程一、 问题情境幻灯片展示人造卫星轨道平面及赤道平面的图片,让学生观察.二、 数学建构(一) 生成概念问题 1 缓慢打开教室的门,问“门面与墙面之间的角度有什么变动?”(引导学生用平面角来刻画)问题 2 “人造地球卫星绕地球旋转, 卫星的轨道平面和地球赤道平面的角度有什么变化?”(引导学生用平面角来刻画)问题 3 实际上在我们的日常生活中有许多问题与两个平面相交所成的角有关.比如修筑水坝时,为了使水坝坚固耐久 ,必须使水坝面和水平面成适当的角度 ,如何用数学语言刻画两个平面所形成的这种“角” 呢 ?(引导学生通过这几个例子归纳)通过讨论,给出二面
2、角的有关概念.1. 二面角的有关概念:(1) 二面角的概念 :平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱, 每个半平面叫做二面角的面.(2) 二面角的图形表示与符号表示:图形表示:(图 2)符号表示: 若棱为 l,两个面分别为 , 的二面角记为 -l-; 若棱为 AB,面为 , 的二面角, 记作二面角 -AB- 或者 P-AB-Q,其中 P, Q.(3) 二面角的平面角的定义及作法:(图 3)以二面角的棱上任意一点 O 为端点,在两个半平面内分别作棱的两条垂线 OA, OB,则AOB 叫做二面角 -l-
3、 的平面角.思考 二面角 -l- 的平面角AOB 的大小与点 O 的位置有关吗?根据“ 等角定理” ,二面角 -l- 的平面角AOB 的大小与点 O 在棱上的位置无关,而这一结论正是用平面角来度量二面角大小的理论基础.(二) 理解概念(1) 二面角的定义满足 :角的顶点在棱上 ;角的两边分别在两个半平面内; 角的两边分别垂直于棱.(2) 用二面角的平面角表示二面角的大小,二面角的平面角是多少度,二面角就是多少度.(3) 二面角的平面角的范围是0 , .(4) 二面角的平面角是 90时, 则称为直二面角,此时组成直二面角的两个平面互相垂直.2. 两个平面垂直的定义:如果两个平面所成的二面角是直二
4、面角,那么就说这两个平面互相垂直.(图 4)记作 .(三) 巩固概念问题 为什么教室的门转到任何位置时,门所在的平面都与地面垂直?通过观察可以发现,门在转动的过程中 ,门轴始终与地面垂直 .3. 两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.符号表示: .应用判定定理的关键是在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面.(图 5) (图 6)实例 建筑工地在砌墙时,常用铅垂线来检查所砌的墙是否和水平面垂直.三、 数学运用【例 1】 (教材 P47 例 1)如图 7,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中:(图 7)(1)求二面角 D1-AB-D 的大小.(2
5、)求二面角 A1-AB-D 的大小.处理建议 让学生口答,巩固二面角及二面角平面角的概念.规范板书 解 (1) 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB平面 A ABAD1, ABAD. D1AD 为二面角 D1-AB-D 的平面角.在 RtD1AD 中, D1AD=45, 二面角 D1-AB-D 的大小为 45.(2) 同理,A 1AD 为二面角 A1-AB-D 的平面角, 二面角 A1-AB-D 的大小为 90.1变式 在正四面体 A-BCD 中,求相邻两个平面所成的二面角的平面角的余弦值.(图 8)解 取 BC 的中点 E,连结 AE, DE. 正四面体 A-BCD, BCAE,
6、 BCED 于 E, AED 为二面角 A-BC-D 的平面角 .设正四面体的棱长为 1,则 AE= , DE= , AD=1,由余弦定理得 cosAED=.题后反思 求二面角的步骤:作 证指 算.【例 2】 (教材 P48 例 2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,(图 9)求证:平面 A1C1CA平面 B1D1DB.处理建议 先由学生讨论,尝试运用两个平面垂直的判定定理解决问题.提示 证平面 B1D1DB 内的直线 BD平面 A1C1CA. 题后反思 例 2 是平面与平面垂直的判定定理的一个运用,教学时应指出,运用判定定理的关键是创设定理成立的条件.通过分析让学生领会:证明面面垂直
7、,可以转化为证明线面垂直.变式 如图 10,已知 AB 是圆 O 的直径, PA 垂直于圆 O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A, B 的任一点 ,求证:平面 PAC平面 PBC.提示 证 BC平面 PAC.(图 10) (图 11)【例 3】 如图 11,PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面, E, F 分别为 AB, PC 的中点.(1) 求证:EF AB.(2) 若面 PDC 与面 ABCD 成 45角, 求证:面 EFD面 PDC.处理建议 先由学生讨论,尝试运用两个平面垂直的判定定理解决问题.简证 (1) 取 PD 的中点 M,并连结 AM, FM,证明 AEFM 是平行四边形,则
8、 EFAM,证 AB平面 PAD,得 ABAM,所以 EFAB.(第 1 题)(2) 易证 PDA 为二面角 P-CD-A 的平面角,由(1)知 AMPD,所以 EFPD,所以可证 EF面PDC,再由面面垂直的判定定理可证.题后反思 线线垂直、线面垂直、面面垂直之间常常相互转化.四、 课堂练习1. 如图, , 为平面,=l, =a, =b, l,若AOB=70 ,指出图中二面角 -l-, -a-, -b- 的大小,并说明理由.答 由二面角平面角的定义知,AOB 为 -l- 的平面角, 所以二面角 -l- 是 70;因为 l, l, l,所以 , ,即二面角 -a-, -b- 均为 90.2.
9、设 a, b 为两条直线 , 为两个平面,下列四个命题中, 正确的命题是 (D).A. 若 a, b 与 所成的角相等 ,则 abB. 若 a, b, ,则 abC. 若 a, b, ab,则 D. 若 a, b, ,则 ab3. 下列命题是否正确?如果正确,请作出证明; 如果不正确,请举出反例.(1) , .(2) , .(3) 1, 1, 11.简答 (1) 错误, 与 可能相交. (2) 错误, 与 可能平行 . (3) 正确, 证明略.4. 已知 ,且 ,求证:.提示 如图设 =l,过 内垂直于 l 的直线作平面 .(第 4 题)题后反思 此结论可作为面面垂直的判定方法.五、 课堂小结1. 二面角及其平面角的概念、二面角的求法.2. 两个平面垂直的定义及其判定定理.证明两个平面垂直,关键在于找线 ,找到的直线在一个平面内而与另一个平面垂直 .
