1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 必修3,算法初步,第一章,13中国古代数学中的算法案例,第一章,我国古代数学有着辉煌的成就，如祖冲之、刘徽、秦九韶等，他们对我国古代数学的发展作出了很大贡献，本节我们学习计算求两个正整数的最大公约数和求多项式值的简便算法更相减损之术和秦九韶算法.,1求两个正整数最大公约数的算法(1)更相减损之术(等值算法)用两数中较大的数减去较小的数，再用_和_构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生_，这个数就是最大公约数,差数,较小的数,一对相等的数,(2)用“等值算法”求最大公约数的程序,while,aab,bba,end
2、,2割圆术用圆内接正多边形面积逐渐逼近_的算法是计算圆周率的一种方法,圆的面积,v0anvkvk1xank,(2)计算P(x0)的方法先计算_，然后_逐层计算，直到_，然后加上_,最内层的括号,由内向外,最外层括号,常数项,1秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是()A秦九韶算法与直接计算相比，大大节省乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单B秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度C秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度D秦九韶算法避免对自变量x单独做幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度,答案C,2用圆内接正多边形逼近圆，因
3、而得到的圆周率总是_的实际值()A大于等于B小于等于C等于 D小于答案D解析用割圆术法求出的是的不足近似值，故选D.,3用更相减损之术求88与24的最大公约数为()A2 B7C8 D12答案C解析(88,24)(64,24)(40,24)(24,16)(16,8) (8,8)，故88与24的最大公约数为8.,4三个数72,120,168的最大公约数是_答案24解析(72,120,168)(72,120,168120)(72,120,48) (72,12072,48)(72,48,48) (7248,48,48) (24,48,48) (24,4824,48)(24,24,48)(24,24,4
4、824)(24,24,24),5用秦九韶算法计算f(x)9x63x54x46x3x28x1，当x3时的值，需要进行_次乘法和_次加法运算答案66解析f(x)(9x3)x4)x6)x1)x8)x1，乘法及加法运算都是6次,6已知f(x)x5x3x2x1，求f(3)的值解析f(x)(x0)x1)x1)x1)x1，v11303，v233110，v3103131，v4313194，v59431283，f(3)(30)31)31)31)31283.,解析803644，44368，36828，28820，20812，1284，844.80和36的最大公约数是4.,用更相减损术求两个正整数的最大公约数,点评
5、当大数减小数的差等于小数时停止减法，较小的数就是两数的最大公约数,用更相减损之术分别求下列两组数的最大公约数：(1)78与36；(2)1 515与600.解析(1)(78,36)(42,36)(6,36)(6,30)(6,24)(6,18) (6,12)(6,6)，故78与36的最大公约数为6.(2)1 515600915,915600315,600315285,31528530,28530255,25530225,22530195,19530165,16530135,13530105,1053075,753045,453015,301515，故1 515与600的最大公约数是15.,解析54
6、61429117，429311778，11717839，78239，故546与429的最大公约数为39.点评用辗转相除法求最大公约数步骤较少，而更相减损术虽然步骤较长，但运算简单,用辗转相除法求两个正整数的最大公约数,用辗转相除法求288和123的最大公约数解析288212342，12324239，421393，39133，故3就是288和123的最大公约数.,解析将f(x)写为：f(x)x50x40.11x30x20.15x0.04.由秦九韶算法的递推公式，得,用秦九韶算法求多项式的值,v01，v1v00.300.3，v2v10.30.110.2，v3v20.300.06，v4v30.30.
7、150.132，v5v40.30.040.079 6，所以当x0.3时，多项式的值为0.079 6.,点评(1)用秦九韶算法求多项式的值，首先要将多项式改写，然后由内向外逐次计算. 由于下一次计算要用到上一次的结果，故应认真、细心，确保每个中间结果的准确性(2)当多项式中有几项不存在时，可将这几项的系数看成是0，即0xn.,已知函数f(x)x32x25x6，用秦九韶算法求f(10)的值解析由秦九韶法，得f(x)x32x25x6(x22x5)x6(x2)x5)x6，,当x10时，f(10)(102)105)106(8105)10675106756.,解析324243181,2438130，则32
8、4与243的最大公约数为a81.又27081327,812730，则324,243,270的最大公约数为27.点评求三个数的最大公约数，可先求两数的最大公约数a，然后求a与第三个数的最大公约数b，则b为所求的三数的最大公约数该题解法可推广到求多个数的最大公约数,求三个正整数的最大公约数,求324,243和135的最大公约数解析(324,243)(81,243)(81,162)(81,81)则324与243最大公约数为81.又(81,135)(81,54)(27,54)(27,27)，则81与135的最大公约数为27，324、243、135的最大公约数为27.,解析先求最大公约数，3758543
9、5,8535215,351525,15530.375与85的最大公约数是5，375与85的最小公倍数是(37585)56 375.点评求两个正整数的最小公倍数，即利用它们的积除以它们的最大公约数本题求法可推广到求多个数的情况,求两个正整数的最小公倍数,求80与36的最小公倍数解析先求最大公约数80362836844842080与36的最大公约数为4.80与36的最小公倍数是(8036)4720.,错解38f(x)(3x2)x5)x3)x1)x，v03；v13224，v24253，v33239，v492119，v519238.当x2时，多项式的值为38.,辨析错解中对多项式f(x)的改写不正确，没有将f(x)按x的降幂排列以后再进行改写，导致结果错误正解34f(x)3x52x25x43x3x3x55x43x32x2x(3x5)x3)x2)x1)x，,v03，v13251，v21235，v35228，v482117，v517234.当x2时，多项式的值为34.,相应的程序为：,
