1、1,Ch9 弯曲内力,9-1 概 述,外力特点：垂直于杆轴线外力，或作用在包含轴线平面内的外力偶。,变形特点：杆的轴线弯成曲线，且杆的横截面相对转动一角度。,2,以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。,工程中绝大多数梁都有一纵向对称面，且外力均作用在此面内，此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线，梁发生平面弯曲。平面弯曲是杆件的一种基本变形。,3,按梁的支承情况，梁有三种基本形式。,梁的分类：,1.简支梁：一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁。,2.外伸梁：简支但一端或两端具有外伸部分的梁。,3.悬臂梁：一端固定，另一端为自由的梁。,超静定梁：仅用静力平衡方程不能求出全部支座反力的梁。,梁两
2、支座间的距离称为跨度，其长度称为跨长。,4,16.5,5,9-2 弯曲内力,1.剪力用FQ表示,单位N, kN。弯矩用M表示,单位Nm, kNm。,2.符号规定:,剪力:作用于横截面上的剪力使研究对象有顺时针转动趋势的为正,反之为负。,+,-,剪力和弯矩,6,弯矩:作用于横截面上的弯矩使研究对象产生下凸趋势的为正,反之为负。,+,-,7,1). 梁上任一横截面上的剪力，在数值上等于该截面一侧所有外力沿横截面方向投影的代数和。,2). 梁上任一横截面上的弯矩，在数值上等于该截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和。,截面法,8,剪力:作用于横截面上的剪力使研究对象有顺时针转动趋势的为正,反之为负
3、。,+,-,弯矩:作用于横截面上的弯矩使研究对象产生下凸趋势的为正,反之为负。,+,-,9,例1 求解图示梁指定截面的内力。,2m,A,B,q = 2kN/m,1m,1m,1,1,2,2,3,3,x,y,解：,1.求支座反力,2.求截面内力,10,解：,1.求支座反力,2.求截面内力,1-1截面,2-2截面,3-3截面,此题可否不求解约束力?,11,例2 求解图示梁指定截面的内力。,解：,1.求支座反力,2.求截面内力,12,A,B,l,F,a,b,C,q,作业题：求A截面右侧、C截面左侧和右侧的内力。,第十七次课结束处,13,5-3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,FQ=FQ(x) 剪力
4、方程,以平行于梁轴线的坐标轴为x轴,表示横截面的位置；以垂直于梁轴线的坐标轴为FQ轴或M轴,FQ以向上为正，M以向下为正，画出的图形称为剪力图或弯矩图。,M=M(x) 弯矩方程,将各截面的剪力和弯矩表示为截面位置的函数,二、剪力图和弯矩图：,一、剪力方程和弯矩方程,14,例3简支梁受均布荷载作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。,解：,1.求支座反力,2.列剪力方程、弯矩方程,x截面,15,3.画剪力图、弯矩图,16,例4 一简支梁受集中荷载作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。,解：,1.求支座反力,2.列剪力方程、弯矩方程,3.画剪力图、弯矩
5、图,17,18,例5 一简支梁受均布荷载及集中荷载作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。,19,例6 一简支梁受集中力偶作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。,分段点：集中力、集中力偶、分布荷载起止，剪力方程、弯矩方程要分段；剪力图、弯矩图有突变，为控制截面处。由此可见剪力图、弯矩图与荷载图之间存在一定的关系。,17.5,20,9-4 弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系,设一段梁受力如图,x处取微段dx，微段受力如图,由该微段的平衡方程,Fiy=0 即,FQ(x)-FQ(x)+dFQ(x)+q(x)dx=0,21,得,dFQ(x)=q(x)dx,M
6、C=0,得,dM(x)=FQ(x)dx,从而,22,1. q(x)=0,讨论：,该梁段内FQ(x)=常数。故剪力图是平行于x轴的直线；,弯矩是x的一次函数，弯矩图是斜直线。,2. q(x)=常数,该梁段内FQ(x)为线性函数。故剪力图是斜直线；,弯矩是x的二次函数，弯矩图是二次抛物线。,剪力为正，弯矩图向下倾斜；剪力为负，弯矩图向上倾斜。,q(x)为正，剪力图向上倾斜，弯矩图为上凸曲线；q(x)为负，剪力图向下倾斜，弯矩图为下凸曲线。,23,例7 作如图所示外伸梁的剪力图和弯矩图。,解：,1.求支座反力,2. 画剪力图、弯矩图,找控制截面，计算控制截面上剪力、弯矩,24,FQ,72,88,60
7、,20,(kN),M,(kNm),80,113.6,144,16,25,q(x)=0,剪力图是平行于x轴的直线；,弯矩图是斜直线。,q(x)=常数,剪力图是斜直线；,弯矩图是二次抛物线。,第十八次课结束处,26,例8 作如图所示联合梁的剪力图和弯矩图。,解：,1.求支座反力,2. 画剪力图、弯矩图,找控制截面，计算控制截面上剪力、弯矩,27,40,80,10,240,10,75,28,9-5 按叠加原理作弯矩图,故可先分别画出各个荷载单独作用的弯矩图，然后将各图对应处的纵坐标叠加，得所有荷载共同作用的弯矩图。,这是一个普遍性的原理，即叠加原理；凡是作用因素（如荷载，温度等）和所引起的结果（支座反力、内力、应力、变形等）之间成线性关系，叠加原理都适用。,当梁在荷载作用下为微小变形时，梁的支座反力、剪力和弯矩与梁上荷载成线性关系。这时，在多个荷载作用下，梁的弯矩为各个荷载单独作用时的弯矩的代数和。,29,如图,按叠加原理作其弯矩图,30,Me单独作用下弯矩图,q单独作用下弯矩图,共同作用下弯矩图,
