1、第二篇 核心知识回扣篇一 三角函数及解三角形【 必用必记公式 】 1.诱导公式(1)sin(2k+)=sin (kZ),cos(2k+)=cos (kZ),tan(2k+)=tan (kZ).(2)sin(+)=-sin ,cos(+)=-cos ,tan(+)=tan .(3)sin(-)=-sin ,cos(-)=cos ,tan(-)=-tan .(4)sin(-)=sin ,cos(-)=-cos ,tan(-)=-tan .(5)sin =cos ,cos =sin ,sin =cos ,cos =-sin .2.基本关系sin2x+cos2x=1,tan x= .3.两角和与差的正
2、弦、余弦、正切公式(1)sin()=sin cos cos sin .(2)cos()=cos cos sin sin .(3)tan()= .4.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2=2sin cos .(2)cos 2=cos 2-sin 2=2cos 2-1=1-2sin 2.(3)tan 2= .5.辅助角公式asin x+bcos x= sin(x+ )(其中 tan = ).6.正弦定理及其变形在 ABC中 , =2R(R为 ABC的外接圆半径 ).变形 :a=2Rsin A,sin A= ,abc=sin Asin Bsin C 等 .7.余弦定理及其变形在 ABC中 ,
3、a2=b2+c2-2bccos A;变形 :b2+c2-a2=2bccos A,cos A= .【 重要性质结论 】三角函数图象的两种变换途径【 易错易混提醒 】1.应用诱导公式时 ,记错了公式的符号导致错误 ,应该使用口诀 “ 奇变偶不变 ,符号看象限 ” ,熟记诱导公式 .2.利用同角关系的平方关系式 sin2+cos 2=1 时 ,忽视角的范围 ,导致函数值的符号错误 ,应该先根据角的范围判断三角函数的符号 .3.在含有 sin ,cos 的函数求值域或最值时 ,忽视sin ,cos 自身的取值范围即 |sin |1,|cos |1, 导致范围扩大的错误 ,应该注意到换元后新变量的取值范
4、围 .4.在求函数 y=Asin(x+ )的单调区间时 ,忽视 A, 的符号而出现错误 ,应该先应用诱导公式把 A, 都变为正数 ,再由 2k- x+ 2k+ 求增区间 ,由2k+ x+ 2k+ 求减区间 .5.在三角函数的图象变换中 ,由 sin(x) 到 sin(x+ ),容易出现平移 个单位的错误 ,应该是平移 个单位 .6.已知三角形的两边及一边的对角 ,利用正弦定理求解时 ,忽视对解的个数的讨论或讨论错误 ,应该按照一解、两解、无解进行讨论 .7.解三角形时 ,忽视角的范围的讨论 ,或者讨论错误等 ,应该按照三个角的范围讨论 .【 易错诊断 】1.已知 ABC中 ,AB=12,C=6
5、0, 若满足条件的三角形有且仅有一个 ,则边 BC的取值范围是 ( )A.BC=8 或 00,所以 =k ,或2k - 2k + ,kZ, 所以角 的取值集合为答案 : 4.已知 sin = , 在第二象限 ,则 sin 的值为 _. 【 解析 】 因为 sin = , 在第二象限 ,所以 cos =- ,所以 sin =sin = (-sin +cos )=- .答案 :- 5.函数 f(x)=sin x+cos 2x,x 的值域为 _. 【 解析 】 设 t=sin x,因为 x , 所以 t0,1, 所以所以函数的值域为 .答案 : 6.函数 f(x)=19sin 的单调增区间为 _.
6、【 解析 】 因为 f(x)=19sin =19sin ,所以由 2k - 2x+ 2k + ,得 k - xk + ,所以函数 f(x)=19sin 的单调增区间为kZ.答案 : kZ二 数 列必用必记公式1.an与 Sn的关系 :an= 2.数列 an是等差数列 an-an-1=d(n2) an=a1+(n-1)d an+1+an-1=2an(n2) Sn= =na1+ d3.数列 an是等比数列 =q(n2) an=a1qn-1 an+1a n-1= (n2) Sn= 重要性质结论1.等差数列的性质(1)若 m+n=p+q(m,n,p,qN +),则 am+an=ap+aq.(2)数列
7、Sm,S2m-Sm,S3m-S2m, 也是等差数列 .(3)an=am+(n-m)d(m,nN +).2.等比数列的性质(1)若 k+l=m+n(k,l,m,nN +),则 aka l=ama n.(2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列 ,其公比为 qn.(3)an=amqn-m.3.常见的裂项公式(1) (2) (3) 【 易错易混提醒 】1.已知数列的前 n项和求 an,容易忽视 n=1的情形 ,而直接用 an=Sn-Sn-1,造成错误的原因是忽略了定义域 n2,正确的是 :an= 2.求两个正数的等比中项时 ,容易与两个正数的几何平均数混淆 ,正确的是 :正数 a,b的等比
8、中项为 ,几何平均数是 .3.容易忽视等比数列中公比 q0 的隐藏条件 .4.容易忽视等比数列求和公式中对 q的分类讨论 :当 q=1时 ,Sn=na1,当 q1 时 ,Sn= .5.判断几个数是否成等比数列时 ,忽略有零的情形 ,a,b,c成等比数列的必要不充分条件为 ac=b2.6.容易忽视 an,Sn中的 n的取值范围是正整数集合 .7.应用等差数列、等比数列的求和公式时 ,没有分清楚数列的项数 ,或者记错了公式 .8.利用错位相减法求和时 ,漏掉第一项和最后一项 ,中间的项数误以为是 n项 ,应该是 n-1项 .9.利用裂项相消法求和时 ,分裂后的结果与分裂前的值不相等 .应该把分裂后
9、的式子运算后与原来分裂前对照验证 .10.利用分组求和时 ,不能分成等差数列、等比数列的求和问题 ,比如遇到 (-1)n时 ,要分成奇数、偶数分别讨论求和 .11.遇到含有 Sn,an的关系式子中 ,要把 n换成 n-1时 ,只更换了一个或部分的 n,应该更换所有的 n.【 易错诊断 】1.已知数列 an中 ,a1+2a2+3a3+na n=(n+1)(n+2),则数列的通项公式为 _. 【 解析 】 当 n=1时 ,a1=6,当 n2 时 ,a1+2a2+3a3+ +nan=(n+1)(n+2),a1+2a2+3a3+ +(n-1)an-1=n(n+1),两个式子相减得 nan=(n+1)(
10、n+2-n)=2(n+1)所以 an=2+ ,所以数列的通项公式为 an= 答案 :an= 2.设数列 an的通项公式为 an=n2+tn,若 an是递增数列 ,则实数 t的取值范围是 _. 【 解析 】 由 得 t-3,所以 t的取值范围是t-3.答案 :t-33.已知等比数列 an中相邻的三项为 a,2a+2,3a+3,则实数 a的值为 _. 【 解析 】 因为 a,2a+2,3a+3成等比数列 ,所以(2a+2)2=a(3a+3),所以 a=-1,或 a=-4,但是当 a=-1时,2a+2=3a+3=0,矛盾 ,当 a=-4时 ,这三项为 -4,-6,-9,合乎题意 ,所以实数 a的值为
11、 -4.答案 :-44.已知等比数列 an中 ,a2=20,a6=19,则 a4的值为_. 【 解析 】 因为 (a4)2=a2a6=380,所以 a4= ,又因为 a4=a2q20,所以 a4=2 .答案 :2 5.已知数列 an中 ,an=n+2n则前 10项和S10=_. 【 解析 】 因为 Sn=(1+2)+(2+22)+ +(n+2n)=(1+2+ +n)+(2+22+ +2n)= +2n+1-2,所以 S10=2101.答案 :21016.已知数列 an中 ,2a1+22a2+23a3+2 nan=n,则数列的前 n项和为 _. 【 解析 】 当 n=1时 ,2a1=1,a1= ,
12、当 n2 时 ,2a1+22a2+23a3+ +2nan=n,2a1+22a2+23a3+ +2n-1an-1=n-1,两个式子相减得 2nan=1,所以 an= ,所以数列 an是等比数列 ,所以数列的前 n项和为Sn= =1- .答案 :1- 7.已知等差数列 an中 a9=19,a8=17,数列 an的前 n项和为 Sn,则 + 的值为_. 【 解析 】 因为等差数列 an中 a9=19,a8=17,所以 d=19-17=2,所以 an=a9+(n-9)2=2n+1, 所以 Sn= =n(n+2),所以 ,所以 + + 答案 : 8.求和 1+x+x2+x n.三 立 体 几 何【 必用
13、必记公式 】柱、锥、台、球的表面积与体积(1)柱体 : 表面积 :S=S侧 +2S底 ; 体积 :V=S底 h.(2)锥体 : 表面积 :S=S侧 +S底 ; 侧面积 :S侧 =r l; 体积 :V= S底 h.(3)台体 : 表面积 :S=S侧 +S上底 +S下底 ; 侧面积 :S侧 =(r+r) l; 体积 :V= (S+ +S)h.(4)球体 : 表面积 :S=4R 2; 体积 :V= R 3.【 重要性质结论 】1.直线与平面平行的判定及性质(1)线面平行的判定定理 :a,b ,ab a.(2)线面平行的性质定理 :a,a ,=b ab.2.平面与平面平行的判定及性质(1)面面平行的判
14、定定理 :a ,b ,ab=P,a,b .(2)面面平行的性质定理 :,=a,=b ab.3.直线与平面垂直的判定及性质(1)线面垂直的判定定理 :m ,n ,mn=P, lm, ln l.(2)线面垂直的性质定理 :a,b ab.4.平面与平面垂直的判定及性质(1)面面垂直的判定定理 :a ,a .(2)面面垂直的性质定理 :,= l,a ,a l a.【 易错易混提醒 】1.混淆 “ 点 A在直线 a上 ” 与 “ 直线 a在平面 内 ” 的数学符号关系 ,应表示为 Aa,a .2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时 ,根据三视图的规则 ,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线 ,不可
15、见轮廓线为虚线 .在还原空间几何体实际形状时一般是以正 (主 )视图和俯视图为主 .3.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别 ,几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和 ,不能漏掉几何体的底面积 ;求锥体体积时 ,易漏掉体积公式中的系数 .4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理 ,忽视判定定理和性质定理中的条件 ,导致判断出错 .如由 ,= l,m l,易误得出 m 的结论 ,就是因为忽视面面垂直的性质定理中 m 的限制条件 .5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系 .对照前后图形 ,弄清楚变与不变的元素后 ,再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化
16、后的元素在空间中的位置与数量关系 .【 易错诊断 】1.某几何体的三视图如图所示 ,其中圆的半径均为 1,则该几何体的体积为 ( )A.208+ B.216+ C.208+ D.216+ 【 解析 】 选 A.该几何体为一棱长为 6的正方体掏掉一个棱长为 2的小正方体 ,再放置进去一个半径为 1的球 ,所以体积为 63-23+ 13=208+ .2.正四棱锥的顶点都在同一球面上 ,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为 ( )A. B.16 C.9 D. 【 解析 】 选 A.设球的半径为 R,棱锥的高为 4,底面边长为 2,所以 R2=(4-R)2+( )2,所以 R= ,所以
17、球的表面积为 4 3.正四面体 A-BCD的所有棱长均为 12,球 O是其外接球 ,M,N分别是 ABC与 ACD的重心 ,则球 O截直线 MN所得的弦长为 ( )【 解析 】 选 C.正四面体 A-BCD可补全为棱长为 6 的正方体 ,所以球 O是正方体的外接球 ,其半径 R=3 ,设正四面体的高为 h,则 故 OM=ON= ,又 MN= BD=4,所以 O到直线 MN的距离为因此球 O截直线 MN所得的弦长为 4.如图为一正方体的平面展开图 ,在这个正方体中 ,有下列四个命题 :AFGC;BD 与 GC成异面直线且夹角为 60;BDMN;BG 与平面 ABCD所成的角为 45.其中正确的个
18、数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【 解析 】 选 B.将正方体纸盒展开图还原成正方体 , 如图知 AF与 GC异面垂直 ,故 正确 ; 显然 BD与 GC成异面直线 ,连接 MB,MD.则 BMGC, 在等边 BDM中 ,BD与 BM所成的 60 角就是异面直线 BD与 GC所成的角 ,故 正确 ; 显然 BD与 MN异面垂直 ,故 错误 ; 显然 GD 平面ABCD,所以在 RtBDG 中 ,GBD 是 BG与平面 ABCD所成的角 ,RtBDG 不是等腰直角三角形 .所以 BG与平面 ABCD所成的角不是为 45 ,故 错误 .5.如图 ,在四棱锥 P-ABCD中 ,底面 ABC
19、D为平行四边形 ,AB=2AD=2,PD=BD= AD,且 PD 底面 ABCD.若 Q为 PC的中点 ,则三棱锥 A-PBQ的体积为 _. 【 解析 】 三棱锥 A-PBQ的体积 VA-PBQ与三棱锥 A-QBC的体积相等 ,而 VA-QBC=VQ-ABC= VP-ABC= VP-ABCD= 所以三棱锥 A-PBQ的体积 VA-PBQ= .答案 : 四 概率与统计【 必用必记公式 】1.概率公式(1)互斥事件概率的加法公式 :P(AB)=P(A)+P(B)( 其中 A,B互斥 ).(2)对立事件的概率 :P( )=1-P(A).(3)古典概型概率公式 :P(A)= (4)几何概型的概率公式
20、:P(A)= 2.统计中的数字特征(1)平均数 :样本数据的算术平均数 ,即(x1+x2+x n).(2)样本方差、标准差 :方差 :s2= (x1- )2+(x2- )2+(x n- )2.标准差 :3.回归直线方程方程 称为线性回归方程 ,其中( )称为样本点的中心 .4.独立性检验K2= (其中 n=a+b+c+d为样本容量 )(或 2= ).【 重要性质结论 】概率的几个基本性质(1)概率的取值范围 :0P(A)1.(2)必然事件的概率 :P(E)=1.(3)不可能事件的概率 :P(F)=0.【 易错易混提醒 】1.混淆 “ 互斥事件 ” 、 “ 对立事件 ” 而出现错误 ,互斥是对立
21、的必要不充分条件 ,若两个事件不可能同时发生,则两个事件称为互斥事件 .2.解答古典概型问题时计算基本事件空间中的元素个数出现错误 .3.解答几何概型问题时度量 (长度、弧长、面积、体积等 )出现错误 .4.混淆概率的加法公式与一般加法公式而出现错误 ,P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),当 A,B互斥时 ,P(AB)=P(A)+P(B).【 易错诊断 】1.奥林匹克会旗中央有 5个互相套连的圆环 ,颜色自左至右 ,上方依次为蓝、黑、红 ,下方依次为黄、绿 ,象征着五大洲 .在手工课上 ,老师将这 5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作 ,每人分得 1个 ,则事件 “ 甲分得红色
22、” 与 “ 乙分得红色 ” 是 ( )A.对立事件 B.不可能事件C.互斥但不对立事件 D.不是互斥事件【 解析 】 选 C.甲、乙不能同时得到红色 ,因而这两个事件是互斥事件 ;又甲、乙可能都得不到红色 ,即 “ 甲或乙分得红色 ” 的事件不是必然事件 ,故这两个事件不是对立事件 .所以事件 “ 甲分得红色 ” 与 “ 乙分得红色 ”是互斥但不对立事件 .2.由经验得知 ,在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率如下 :则至多 2个人排队的概率为 ( )A.0.56 B.0.44 C.0.26 D.0.14【 解析 】 选 A.由在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率表知 :至多
23、2个人排队的概率为 :P=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) =0.1+0.16+0.3=0.56.3.政府部门为节约能源出台了 购置新能源汽车补贴方案 ,该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定 ,根据续航里程的不同 ,将补贴金额划分为三类 ,A类 :每车补贴 1万元 ,B类 :每车补贴 2.5万元 ,C类 :每车补贴3.4万元 .某出租车公司对该公司 60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计 ,结果如下表 :类型 A类 B类 C类车辆数目 10 20 30为了制定更合理的补贴方案 ,政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况 ,在该出租车公司的 60辆车中抽取 6
24、辆车作为样本 ,再从 6辆车中抽取 2辆车进一步跟踪调查 .则抽取的 2辆车享受的补贴金额之和记为 5万元的概率为 _. 【 解析 】 根据分层抽样可知 A类 ,B类 ,C类抽取辆数分别为 1辆 , 2辆 ,3辆 ,从这 6辆车中抽取 2辆车进一步跟踪调查 ,有 15种方法 ,因为抽取的 2辆车享受的补贴金额之和记为 5万元 ,所以只能从 B类中抽 2辆 ,有 1种方法 ,所以所求的概率为 P= .答案 : 4.甲地下雨的概率为 0.3,乙地下雨的概率为 0.6,甲、乙两地同时下雨的概率为 0.2,求甲、乙两地至少有一个下雨的概率 .【 解析 】 设甲地下雨记为事件 A,乙地下雨记为事件 B,
25、则甲、乙两地至少有一个下雨就是 AB, 因为 P(AB) =P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.6-0.2=0.7,所以甲、乙两地至少有一个下雨的概率是 0.7.五 解 析 几 何必用必记公式1.直线方程的五种形式(1)点斜式 :y-y1=k(x-x1).(2)斜截式 :y=kx+b.(3)两点式 : (x1x 2,y1y 2).(4)截距式 : =1(a0,b0).(5)一般式 :Ax+By+C=0(A,B不同时为 0). 2.三种距离公式(1)A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离 :|AB|=(2)点到直线的距离 :d= (其中点 P(x0,y0),直线方程 :Ax+By
26、+C=0).(3)两平行线间的距离 :d= (其中两平行线方程分别为 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0).3.当不重合的两条直线 l1和 l2的斜率存在时(1)两直线平行 l1 l2 k1=k2.(2)两直线垂直 l1 l2 k1k 2=-1. 4.圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为 (a,b),半径为 r时 ,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地 ,当圆心在原点时 ,方程为 x2+y2=r2.(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中 D2+E2-4F0,表示以为圆心 , 为半径的圆 . 5.圆锥曲线的定义(1)椭圆 :|PF1|+|PF2|
27、=2a(2a|F1F2|).(2)双曲线 :|PF1|-|PF2|=2a(2a0,b0)的渐近线方程为 y= x.注意离心率 e与渐近线的斜率的关系 . 【 易错易混提醒 】1.易忽视直线方程的几种形式的限制条件 ,如根据直线在两轴上的截距相等设方程时 ,忽视截距为 0的情况 ,直接设为 =1;再如 ,过定点 P(x0,y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为 y-y0=k(x-x0)等 .2.易误认为两圆相切为两圆外切 ,忽视两圆内切的情况导致漏解 .3.满足 |PF1|+|PF2|=2a的点 P的轨迹不一定是椭圆 .当2a|F1F2|时 ,点 P的轨迹是椭圆 ;当 2a=|F1F2|时
28、 ,点 P的轨迹是线段 F1F2;当 2a0” 下进行 .【 易错诊断 】1.已知直线 l:ax+y-2-a=0在 x轴和 y轴上的截距相等 ,则实数 a的值是 ( )A.1 B.-1C.-2或 -1 D.-2或 1【 解析 】 选 D.由题意得 a+2= ,解得 a=-2或 a=1.2.圆 O1:x2+y2-2x=0和圆 O2:x2+y2-4y=0的位置关系是 ( )A.相离 B.相交 C.外切 D.内切【 解析 】 选 B.由题意知圆 O1的圆心 O1(1,0),半径 r1=1,圆 O2的圆心 O2(0,2),半径 r2=2,故两圆圆心距 |O1O2| = ,而 r2-r1=1,r1+r2
29、=3,则有 r2-r13 B.11 D.k0,b0)的两个焦点 ,若 F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点 ,则双曲线的离心率为 ( )A. B.2 C. D.3【 解析 】 选 B.依题意得 tan 60 = ,则 ,因此该双曲线的离心率 e= =2.5.已知双曲线的渐近线方程为 y= x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为 ( )【 解析 】 选 D.双曲线的渐近线方程为 y= x,焦点在 x轴上 .设双曲线方程为 x2- = ( 0), 即=1,则 a2= ,b2=3 ,因为焦点坐标为 (-4,0),(4,0),所以 c=4,所以 c2=a2+b2=4 =16,
30、解得 =4,所以双曲线方程为 =1.6.已知 A,B为抛物线 C:y2=4x上的不同两点 ,F为抛物线 C的焦点 ,若 =-4 ,则直线 AB的斜率为 ( )【 解析 】 选 D.因为 =-4 ,所以 | |=4| |.设|BF|=t,则 |AF|=4t,如图所示 ,点 A,B在抛物线 C的准线上的射影分别为 A1,B1,过 A作 BB1的垂线 ,交线段 B1B的延长线于点 M,则 |BM|=|AA1|-|BB1|=|AF|-|BF|=3t.又|AB|=|AF|+|BF|=5t,所以 |AM|= =4t,所以tanABM= . 由对称性可知 ,这样的直线 AB有两条 ,其斜率为 .六 函数与导
31、数必用必记公式1.对数的有关运算公式(1)对数的四则运算法则 :若 a0,a1,M0,N0, 则 loga(MN)=logaM+logaN;log a =logaM-logaN;log aMn=nlogaM.(2)对数的换底公式 :logaN= .2.常见函数的导数(1)C=0(C 为常数 ).(2)(xn)=nx n-1(nQ).(3)(sin x)=cos x.(4)(cos x)=-sin x.(5)(ln x)= ;(logax)= (a0且 a1).(6)(ex)=e x;(ax)=a xln a. 3.导数的运算法则(1)(uv)=uv.(2)(uv)=uv+uv.(3) = (v
32、0).(4)f(g(x)=fggx.重要性质结论1.函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同 ;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 .(2)若 f(x)为偶函数 ,则 f(-x)=f(x)=f(|x|).(3)若奇函数 f(x)的定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. 2.函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x:(1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a.(2)若 f(x+a)= ,则 T=2a.(3)若 f(x+a)=- ,则 T=2a.(a0)3.函数图象的几种常见变换(1)平移变换 :左右平移 “ 左加右减 ” (注意是针对x而言 );上
33、下平移 “ 上加下减 ” .(2)翻折变换 :f(x)|f(x)|;f(x)f(|x|).(3)对称变换 : 函数 y=f(x)与 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称 ; 函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于直线 x=0 (y轴 )对称 ;函数 y=f(x)与函数 y=-f(x)的图象关于直线 y=0(x轴)对称 ; 函数 y=f(x)与 y=2b-f(2a-x)的图象关于点 (a,b)成中心对称 ; 函数 y=f(x)与 y=f(2ax)关于 x=a对称 .4.函数与方程的有关结论(1)对于函数 y=f(x),使 f(x)=0的实数 x叫做函数 y=f(x)的零点 .事实上
34、,函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0的实数根 .(2)如果函数 y=f(x)在区间 a,b上的图象是一条连续曲线 ,且有 f(a)f(b)0, 那么 f(x)在该区间内为增函数 .(2)如果 f(x)f(2x-1)成立的 x的取值范围是 ( )A. B. (1,+)C. D. 【 解析 】 选 A.因为 f(-x)=ln(1+|-x|)- =f(x),所以函数 f(x)为偶函数 .因为当 x0 时 ,f(x)=ln(1+x)- ,在 (0,+) 上 y=ln(1+x)递增 ,y=- 也递增 ,根据单调性的性质知 ,f(x)在 (0,+) 上单调递增 .综上可知 :f(x)f(2x-
35、1)f(|x|)f(|2x-1|) |x|2x-1|x2(2x-1)23x2-4x+10 x1.3.函数 f(x)= x4- x3的极值点是 _. 【 解析 】 f(x)=x 3-x2,由 f(x)=0 得 x=0或 x=1.显然 f(x)在 (-,0),(0,1) 上为减函数 ,在 (1,+) 上为增函数 ,所以 f(x)存在极小值点 x=1.答案 :x=14.抛物线 f(x)=x2过点 P 的切线方程为_. 【 解析 】 显然点 P不在抛物线上 ,设此切线过抛物线上的点 (x0, ).由 f (x)=2x知 ,此切线的斜率为 2x0.又因为此切线过点 P 和点 (x0, ),所以 =2x0
36、,即 -5x0+6=0,解得 x0=2或 x0=3,即切线过抛物线 y=x2上的点 (2,4)或点 (3,9),所以切线方程为 y-4=4(x-2)和y-9=6(x-3),即 4x-y-4=0和 6x-y-9=0.答案 :4x-y-4=0和 6x-y-9=0七 集合、复数、平面向量、逻辑推理、程序框图、不等式(一 )集合【 核心知识必记 】(1)集合的表示方法 :列举法 ,描述法 x|p(x).(2)集合的基本运算 :AB=x|xA, 且 xB,AB=x|xA, 或 xB,UA=x|xU, 且 xA.(3)集合的基本关系 :A B 任意 xA,xB,AB 存在 xA, 使得 xB.【 易错易混
37、提醒 】1.不能识别集合的代表元素导致错误 ,如 x|y=lg(2x-3)表示函数的定义域 ,y|y=2x表示函数的值域 ,表示椭圆 .2.忽视空集的情形导致错误 ,如 AB= ,A B时 ,忽视A= 的情况 .【 易错诊断 】1.集合 A=(x,y)|y=x+2,B= ,则 AB中的元素个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4【 解析 】 选 B.因为直线 y=x+2经过椭圆 =1的顶点 (0,2),所以有两个交点 ,所以 AB 中的元素个数为 2.2.设集合 A=1,2,4,B=x|x2-4x+m=0.若 AB=1, 则B= ( )A.1,-3 B.1,0C.1,3 D.1,5【 解
38、析 】 选 C.因为 AB=1, 所以 1B, 所以 1是方程 x2-4x+m=0的根 ,所以 1-4+m=0,m=3,方程为 x2-4x+3=0,解得 x=1或 x=3,所以 B=1,3.(二 )复数【 核心知识必记 】1.复数的相关概念及运算的技巧(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时 ,应注意复数和实数的区别与联系 ,把复数问题实数化是解决复数问题的关键 .(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解 .(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则 ,但可以通过对代数式结构特征的分析 ,灵活运用 i的幂的性质、运算法则来优化运算过程 .2.与复数几何意义、模有关
39、问题的解题技巧(1)只要把复数 z=a+bi(a,bR) 与向量 一一对应起来 ,就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义 ,并根据这些几何意义解决问题 .(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质 .【 易错易混提醒 】1.易混 “ 复数 ”“ 虚数 ”“ 纯虚数 ” 的概念形如 z=a+bi,a,bR 的数称为复数 ;当 a0 且 b0 时,z=a+bi,a,bR 称为虚数 ;当 a=0且 b0 时 ,bi称为纯虚线 .2.有关复数问题的两个注意点(1)两个虚数不能比较大小 .(2)利用复数相等 a+bi=c+di列方程时 ,注意 a,b,c,dR的前提条件 .【 易错
40、诊断 】1.设 (1+i)x=1+yi,其中 x,y是实数 ,则 |x+yi|= ( )A.1 B. C. D.2【 解析 】 选 B.因为 (1+i)x=1+yi,所以 x+xi=1+yi.又因为 x,yR, 所以 x=1,y=x=1.所以 |x+yi|=|1+i|= .2.若复数 z1=a+i(aR),z 2=1-i,且 为纯虚数 ,则 z1在复平面内对应的点位于 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【 解析 】 选 A. 为纯虚数 ,则 a=1,所以 z1=1+i,z1在复平面内对应的点为 (1,1),在第一象限 .3.已知 i是虚数单位 ,复数 =_.【 解析 】
41、 由复数的运算法则得 : = .答案 :4-i (三 )平面向量【 核心知识必记 】1.平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a b a= b(b0) x1y2-x2y1=0.(2)a b a b=0 x1x2+y1y2=0.2.平面向量的性质(1)若 a=(x,y),则 |a|= .(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 .(3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 为 a与 b的夹角 ,则cos = (4)|a b| a| b|.3.三点共线的判定(1)A,B,C三点共线 共线 .(2)向量 中三终点 A,B,C共线 存在实
42、数 , 使得 ,且 +=1.4.中点坐标和三角形的重心坐标(1)设 P1,P2的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2),则线段 P1P2的中点 P的坐标为 .(2)三角形的重心坐标公式 :设 ABC的三个顶点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则 ABC的重心坐标是 G .5.三角形 “ 四心 ” 向量形式的充要条件设 O为 ABC所在平面上一点 ,角 A,B,C所对的边长分别为 a,b,c,则(1)O为 ABC的外心 .(2)O为 ABC的重心 =0.(3)O为 ABC的垂心 .(4)O为 ABC的内心 .【 易错易混提醒 】1.要特别注意零向量带来的问题
43、 :0的模是 0,方向任意 ,并不是没有方向 ;0与任意向量平行 ; 0=0(R), 而不是等于 0;0与任意向量的数量积等于 0,即 0 a=0;但不说 0与任意非零向量垂直 .2.当 a b=0时 ,不一定得到 a b,当 a b时 ,a b=0;a b=c b,不能得到 a=c,即消去律不成立 ;(a b) c与 a( b c)不一定相等 ,(a b) c与 c平行 ,而a( b c)与 a平行 .3.两向量夹角的范围为 0, 向量的夹角为锐角与向量的数量积大于 0不等价 .八 坐标系与参数方程【 核心知识必记 】1.极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点 ,x轴正半轴作为极轴
44、 ,且在两坐标系中取相同的长度单位 .如图 ,设 M是平面内的任意一点 ,它的直角坐标、极坐标分别为 (x,y)和 (,)(0), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表 :2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地 ,可以通过消去参数从参数方程得到普通方程 .(2)如果知道变数 x,y中的一个与参数 t的关系 ,例如x=f(t),把它代入普通方程 ,求出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么 就是曲线的参数方程 .3.直线的极坐标方程若直线过点 M( a, a),且极轴逆时针旋转直线的角为, 则它的方程为 sin(-)= asin( a-).几个
45、特殊位置的直线的极坐标方程 :(1)直线过极点 :=.(2)直线过点 M(a,0)(a0)且垂直于极轴 :cos =a.(3)直线过 M 且平行于极轴 :sin =b.4.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程 :(1)当圆心位于极点 ,半径为 r:=r.(2)当圆心位于 M(r,0),半径为 r:=2rcos .(3)当圆心位于 M ,半径为 r:=2rsin .5.直线的参数方程经过点 Pa(x0,y0),倾斜角为 的直线的参数方程为(t为参数 ).6.圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点 M(x0,y0),半径为 r的圆的参数方程为( 为参数 ,02).(2)椭圆 =1的参数方程为 (
46、为参数 ).【 易错易混提醒 】1.参数方程与普通方程的互化中容易出现错误 .2.点的极坐标与平面直角坐标的互化中出现错误 .3.识别参数方程或极坐标方程表示的曲线时出现错误 .4.讨论参数方程或极坐标方程表示的曲线间的关系时出现错误 .【 易错诊断 】1.极坐标方程 =cos 和参数方程 (t为参数 )所表示的图形分别是 ( )A.直线、直线 B.圆、圆C.直线、圆 D.圆、直线【 解析 】 选 D.极坐标方程 =cos 化为直角坐标方程为 x2+y2-x=0,表示圆 ,参数方程 ,化为普通方程为 3x+y+1=0,表示直线 .2.已知点 P(1,- ),则它的极坐标是 ( )【 解析 】
47、选 C.因为点 P的直角坐标为 (1,- ),所以 = =2.再由 1=cos ,- =sin , 可得 结合所给的选项 ,可取 =- , 即点 P的极坐标为 3.已知直线 l的参数方程为 (t为参数 ),圆 C的极坐标方程为 =2cos , 则圆 C的圆心到直线 l的距离等于 _. 【 解析 】 已知直线 l的参数方程为 (t为参数 ),转化成直角坐标方程为 :4x-3y+1=0.圆 C的极坐标方程为 =2cos ,整理得 : 2=2cos 转化成直角坐标方程为 :x2+y2-2x=0,转化成标准形式为 :(x-1)2+y2=1.所以 :圆心坐标为 (1,0),半径为 1.则 :圆 C的圆心
48、到直线 l的距离为 d= =1.答案 :14.已知曲线 C1,C2的极坐标方程分别为 =-2cos ,cos +1=0,则曲线 C1上的点与曲线 C2上的点的最远距离为 _. 【 解析 】 曲线 C1的极坐标方程为 =-2cos 即 =2sin , 两边同乘以 , 得 2=2sin ,化为普通方程为 x2+y2=2y,即 x2+(y-1)2=1.表示以 C(0,1)为圆心 ,半径为 1 的圆 .C2的极坐标方程为 cos +1=0,即 sin +cos +1=0,化为普通方程为 x+y+1=0,表示一条直线 .如图 ,圆心到直线距离 d=|CQ|= 曲线 C1上的点与曲线 C2上的点的最远距离为 |PQ|=d+r= +1.答案 : +15.在平面直角坐标系 xOy中 ,直线 y=x与曲线 (t为参数 )相交于 A,B两点 ,求线段 AB的长 .【 解析 】 曲线 的普通方程为 y=x2+2x.联立 所以可取 A(0,0),B(-1,-1),所以 AB=
