1、高考新动向 数学文化面面观（一）三角函数及解三角形中的数学文化三角函数是三角学的重要组成部分 ,是刻画周期现象的一种非常重要的数学模型 ,是高中数学中很重要的一类函数 ,解三角形也是非常重要的数学内容 ,这些内容在高考中都占有很大的比例 ,常常出现数学文化的背影 .1.(2017 浙江高考 )我国古代数学家刘徽创立的 “ 割圆术 ” 可以估算圆周率 , 理论上能把 的值计算到任意精度 .祖冲之继承并发展了 “ 割圆术 ” ,将 的值精确到小数点后七位 ,其结果领先世界一千多年 ,“ 割圆术 ” 的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S内 ,S内 =_. 【 解析 】 如图 ,因为是单位圆 ,
2、所以 OA=1,因为六边形ABCDEF是正六边形 ,所以 OAB是正三角形 ,所以 AB=1,过点 O作 OGAB 于点 G,所以 OG=OAsin 60= , 所以正六边形的面积为 6SOAB =6 AB OG= .答案 : 【 名师点睛 】 本题粗略看起来文字量大 ,其本质为将正六边形分割为 6个等边三角形 ,确定 6个等边三角形的面积 ,其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要 ,考生面对这方面题目时应多加耐心 ,仔细分析题目中所描述问题的本质 ,结合所学进行有目的的求解 .2.(2015 陕西高考 )如图 ,某港口一天 6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin +k
3、,据此函数可知 ,这段时间水深 (单位 :m)的最大值为 ( )A.5 B.6 C.8 D.10【 解题指南 】 本题考查由 y=Asin(x+ )+k的部分图象确定函数的最大值 ,可得 ymax=3+k,ymin=k-3,整理可求最大值 .【 解析 】 选 C.不妨设水深的最大值为 M,由题意结合函数图象可得 3+k=M k-3=2 解之得 M=8.3.(2018 西安八校联考 )三世纪中期 ,魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术 ,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法 .所谓割术 ,就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法 .按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一
4、直算到了正3 072边形 ,如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图 ,若输出的 n=24,则 p的值可以是 ( )(参考数据 :sin 150.258 8,sin 7.50.130 5,sin 3.750.065 4)A.2.6 B.3 C.3.1 D.3.14【 解析 】 选 C.模拟执行程序 ,可得 :n=6,S=3sin 60=,不满足条件 Sp,n=12,S=6sin 30=3, 不满足条件 Sp,n=24,S=12sin 15120.258 8=3.105 6,满足条件 Sp, 退出循环 ,输出 n的值为 24.故p=3.1.4.(2018 江苏高考 )某农场有一块农田 ,如图所示
5、 ,它的边界由圆 O的一段圆弧 MPN(P为此圆弧的中点 )和线段 MN构成 .已知圆 O的半径为 40米 ,点 P到 MN的距离为 50米 .现规划在此农田上修建两个温室大棚 ,大棚 内的地块形状为矩形 ABCD,大棚 内的地块形状为 CDP,要求 A,B均在线段 MN上 ,C,D均在圆弧上 .设 OC与 MN所成的角为 .(1)用 分别表示矩形 ABCD和 CDP的面积 ,并确定sin 的取值范围 .(2)若大棚 内种植甲种蔬菜 ,大棚 内种植乙种蔬菜 ,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43. 求当 为何值时 ,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 .【 解析 】 (1)设 PO的延长
6、线交 MN于 H,则 PHMN, 所以OH=10.过 O作 OEBC 于 E,则 OEMN, 所以 COE=,故 OE=40cos ,EC=40sin ,则矩形 ABCD的面积为 240cos (40sin +10)=800(4sin cos+cos ),CDP 的面积为 2 40cos (40-40sin )=1 600(cos -sin cos ).过 N作 GNMN, 分别交圆弧和 OE的延长线于 G和 K,则GK=KN=10.令 GOK= 0,则 sin 0= , 0 .当 时 ,才能作出满足条件的矩形 ABCD,所以 sin 的取值范围是 .答 :矩形 ABCD的面积为 800(4s
7、in cos +cos ) 平方米 ,CDP 的面积为 1 600(cos -sin cos ),sin 的取值范围是 .(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43,设甲的单位面积的年产值为 4k,乙的单位面积的年产值为 3k(k0),则年总产值为 4k800(4sin cos +cos )+3k1 600(cos -sin cos )=8 000k(sin cos +cos ), .设 f()=sin cos +cos , ,则 f()=cos 2-sin 2-sin =-(2sin 2+sin-1)=-(2sin -1)(sin +1).令 f()=0, 得 = ,当 时 ,f(
8、)0, 所以 f() 为增函数 ;当 时 ,f()0, 所以 f() 为减函数 ,因此 ,当 = 时 ,f() 取到最大值 .答 :当 = 时 ,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 .5.如图 ,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内 ,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶 .测量船于水面 A处测得B点和 D点的仰角分别为 75,30, 于水面 C处测得 B点和 D点的仰角均为 60,AC=0.1 km. 试探究图中 B,D间距离与另外哪两点距离相等 ,然后求 B,D的距离 .(计算结果精确到 0.01 km, 1.414, 2.449)【 解析 】 在 ACD中 ,DAC=30,ADC=60-
9、DAC=30,所以 CD=AC=0.1,又 BCD=180-60-60=60,故 CB是 CAD底边 AD的中垂线 ,所以 BD=BA.在 ABC中 , ,即 AB= ,因此 ,BD= 0.33 km.故 B,D的距离约为 0.33 km.高考新动向 数学文化面面观（三）立体几何中的数学文化立体几何中蕴含着很多的数学文化 ,中国古典书籍 九章算术 数书九章 等都有许多经典题目 .在历年的高考题中 ,也有考查立体几何中的数学文化的题目.1. 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 ,书中有如下问题 :“ 今有委米依垣内角 ,下周八尺 ,高五尺 .问 :积及为米几何 ?” 其意思为 :“ 在屋
10、内墙角处堆放米 (如图 ,米堆为一个圆锥的四分之一 ),米堆底部的弧长为 8尺 ,米堆的高为 5尺 ,问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?” 已知 1斛米的体积约为 1.62立方尺 ,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有 ( )A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【 解析 】 选 B.设圆锥底面半径为 r,则 2 3r=8,所以 r= ,所以米堆的体积为 故堆放的米约为 1.6222( 斛 ).2.我国古代数学名著 九章算术 中 “ 开立圆术 ” 曰 :置积尺数 ,以十六乘之 ,九而一 ,所得开立方除之 ,即立圆径 .“ 开立圆术 ” 相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d的一个近似
11、公式 d .人们还用过一些类似的近似公式 .根据 =3.141 59 判断 ,下列近似公式中最精确的一个是 ( )【 解析 】 选 D.因为 V= 所以 d= A. B.2V= .C. D. 且 3.142 857-3.141 59=0.001 267.综上可知 ,选项 D最精确 .3.我国古代数学名著 数书九章 中有 “ 天池盆测雨” 题 :在下雨时 ,用一个圆台形的天池盆接雨水 .天池盆盆口直径为二尺八寸 ,盆底直径为一尺二寸 ,盆深一尺八寸 .若盆中积水深九寸 ,则平地降雨量是_寸 . (注 : 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积; 一尺等于十寸 )【 解析 】 S上 =,S 下 =
12、0.36,V= 0.9(+ 0.36+ )=0.31.96.平地降雨量 h= =0.3(尺 )=3(寸 ).答案 :34. 九章算术 是我国古代数学名著 ,它在几何学中的研究比西方早 1千多年 .例如堑堵指底面为直角三角形 ,且侧棱垂直于底面的三棱柱 ,阳马指底面为矩形 ,一侧棱垂直于底面的四棱锥 ,鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体 .如图 ,在堑堵 ABC-A1B1C1中 ,ACBC.(1)求证 :四棱锥 B-A1ACC1为阳马 ,并判断四面体 A1CBC1是否为鳖臑 ,若是写出各个面的直角 (只写出结论 ).(2)若 A1A=AB=2,当阳马 B-A1ACC1体积最大时 .求堑堵 ABC
13、-A1B1C1的体积 .【 解析 】 (1)由堑堵 ABC-A1B1C1的性质知 :四边形 A1ACC1为矩形 .因为 A1A 底面 ABC,BC 平面 ABC,所以 BCA 1A,又 BCAC,A 1AAC=A.A1A,AC 平面 A1ACC1.所以 BC 平面 A1ACC1,所以四棱锥 B-A1ACC1为阳马 ,且四面体 A1CBC1为鳖臑 ,四个面的直角分别是 A1CB,A 1C1C,BCC 1,A 1C1B.(2)因为 A1A=AB=2.由 (1)知阳马 B-A1ACC1的体积 V= BC= A 1AACBC= ACBC (AC 2+BC2)= AB 2= .当且仅当 AC=BC= 时
14、 ,Vmax= ,此时堑堵 ABC-A1B1C1的体积V=S ABC AA1= 5.现需要设计一个仓库 ,它由上下两部分组成 ,上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1(如图所示 ),并要求正四棱柱的高 OO1是正四棱锥的高 PO1的 4倍 .(1)若 AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少 ?(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当 PO1为多少时 ,仓库的容积最大 ? 【 解题指南 】 根据正四棱锥和正四棱柱的体积公式以及导数求解 .【 解析 】 (1)由 PO1=2 m OO1=8 m,则=SABCDOO 1=628=288
15、(m 3),V= =312 m3,故仓库的容积为 312 m3.(2)设 PO1=x m,仓库的容积为 V(x),连接 A1O1,则 OO1=4x m,A1O1= m,A1B1= m,=(288x-8x3)m3.V(x)= m3+(288x-8x3)m3= m3(00,V(x) 单调递增 ,当 x(2 ,6) 时 .V(x)0,V(x) 单调递减 ,因此 ,当 x=2 时 ,V(x)取到最大值 ,即 PO1=2 m时 ,仓库的容积最大 . 高考新动向 数学文化面面观（二）数列中的数学文化 数列中蕴含着多种数学思想及方法 ,如函数思想、方程思想等 ,而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数
16、学方法 .掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的理解 ,而且运用数学思想方法解决问题的过程 ,往往能诱发知识的迁移 ,举一反三、融会贯通的解决多种数列问题 .1.南北朝时期的数学古籍 张邱建算经 有如下一道题 :“ 今有十等人 ,每等一人 ,宫赐金以等次差 (即等差 )降之 ,上三人 ,得金四斤 ,持出 :下四人后入得三斤 ,持出:中间三人未到者 ,亦依等次更给 ,问 :每等人比下等人多得几斤 ?” ( )A. B. C. D. 【 解析 】 选 B.设得金最多的一等人得金数为数列首项a1,公差为 d,则 即 解得 因此每等人比下等人多得 斤 .2. 张邱建算经 卷上第 23题 :今有
17、女善织 ,日益功疾 ,初日织五尺 ,今一月日织九匹三丈 ,问日益几何 ?意思是:现有一女子善于织布 ,若第 1天织 5尺布 ,从第 2天起 ,每天比前一天多织相同量的布 ,现在一月 (按 30天计 )共织390尺布 (注 :按古代 1匹 =4丈 ,1丈 =10尺计算 ),则每天比前一天多织 ( )A. 尺布 B. 尺布 C. 尺布 D. 尺布【 解析 】 选 B.设公差为 d,则由 a1=5,S30=30 5+ d=390,解得 d= .3. 莱茵德纸草书 是世界上最古老的数学著作之一 .书中有一道这样的题 :把 100个面包分给 5个人 ,使每个人的所得成等差数列 ,且使较大的三份之和的 是
18、较小的两份之和 ,则最小一份的量为 ( )A. B. C. D. 【 解析 】 选 C.易得中间的那份为 20个面包 ,设最小的一份为 a1,公差为 d,根据题意 ,于是有 20+(a1+3d)+(a1+4d) =a1+(a1+d),解得 a1= .4.(2015 全国卷 ) 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 九章算术 中的 “ 更相减损术 ” .执行该程序框图 ,若输入的 a,b分别为 14,18,则输出的 a为( )A.0 B.2 C.4 D.14【 解析 】 选 B.程序在执行过程中 ,a,b的值依次为 a=14,b=18;b=4;a=10;a=6;a=2;b=2,此时 a=b
19、=2程序结束 ,输出 a的值为 2.5.(2017 全国卷 ) 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 :“ 远望巍巍塔七层 ,红光点点倍加增 ,共灯三百八十一 ,请问尖头几盏灯 ?” 意思是 :一座 7层塔共挂了 381盏灯 ,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍 ,则塔的顶层共有灯 ( )A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏【 解析 】 选 B.塔的顶层共有灯 x盏 ,则各层的灯数构成一个公比为 2的等比数列 ,由 =381可得 x=3.【 名师点睛 】 用数列知识解相关的实际问题 ,关键是列出相关信息 ,合理建立数学模型 数列模型 ,判断是等差数列还是等比数列模型 ;求解时
20、,要明确目标 ,即明白是求和、求通项、还是解递推关系问题 ,所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题 ,然后经过数学推理与计算得出的结果 ,放回到实际问题中进行检验 ,最终得出结论 .6.观察下列各式 :a+b=1;a2+b2=3;a3+b3=4;a4+b4=7;a5+b5=11;则 a10+b10= ( )A.28 B.76 C.123 D.10【 解析 】 选 C.记 an+bn=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(nN *,n
21、3),从而 f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123,故 a10+b10=123.【 点评 】 本题考查了归纳推理的有关知识 ,在归纳方法中考查了斐波那契数列通项的特点 (即从第 2项起 ,每一项都是前两项之和 .)7. 九章算术 “ 竹九节 ” 问题 :现有一根 9节的竹子 ,自上而下各节的容积成等差数列 ,上面 4节的容积共为 3升 ,下面 3节的容积共 4升 ,则第 5节的容积为 _升 . 【 解析 】 设自上而下各节的容积构成的等差数列为a1,a
22、2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9.则 解得 故 a5=a1+4d= .答案 : 8.(角谷猜想 )已知数列 an满足 :a1=m(m为正整数 ),an+1= 若 a6=1,则 m所有可能的取值为 _. 【 解析 】 由题意知 an中任何一项均为正整数 ,因为a6=1,若 a5为奇数 ,则 3a5+1=1,得 a5=0,不满足条件 .若 a5为偶数 ,则 a5=2a6=2,满足条件 .所以 a5=2.若 a4为奇数 ,则 3a4+1=2,得 a4= ,不满足条件 .若 a4为偶数 ,则 a4=2a5=4,满足条件 .所以 a4=4.(1)若 a3为奇数 ,则 3a3+1=4,得 a3
23、=1,满足条件 .若 a2为奇数 ,则 3a2+1=1,得 a2=0,不满足条件 .若 a2为偶数 ,则 a2=2a3=2,满足条件 .若 a1为奇数 ,则 3a1+1=2,得 a1= ,不满足条件 .若 a1为偶数 ,则 a1=2a2=4,满足条件 .高考新动向 数学文化面面观 (五 )解析几何中的数学文化解析几何具有丰富的文化价值和教育价值 ,是提高学生科学素养和整体文化认知水平的一个典型范例 .其中对称、旋转、轨迹问题、函数与方程的思想、数形结合思想等都是高考中的重点内容 .1.一条光线从点 (-2,-3)射出 ,经 y轴反射后与圆 (x+3)2+(y-2)2=1相切则反射光线所在直线的
24、斜率为 ( ) 【 解题指南 】 本题考查光的反射 (对称性 )及点到直线的距离公式 .【 解析 】 选 D.反射光线过点 (2,-3),设反射光线所在直线方程为 y+3=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0,反射光线与圆相切 ,圆心 (-3,2)到直线的距离等于半径 1,即解得 2.设到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆 ,简称阿氏圆 .若两个定点 AB间的距离为 9,动点 P到两个点 A,B的距离之比为 21, 则阿氏圆的面积为 ( )A.9 B.16 C.36 D.81【 解析 】 选 C.以线段 AB所在直线为 x轴 ,AB的垂直平分线为 y轴 ,建立平面直角坐标系
25、 ,如图 ,设点 P(x,y)是阿氏圆上任意点 ,则 即 所以 化简得 x2+y2-15x+4.52=0,配方得 (x-7.5)2+y2=36,所以点 P的轨迹是以 (7.5,0)为圆心 ,以 6为半径的圆 ,所以阿氏圆的面积为 36.3.如图 ,AB是平面 的斜线段 ,A为斜足 ,若点 P在平面 内运动 ,使得 ABP的面积为定值 ,则动点 P的轨迹是( )A.圆 B.椭圆C.一条直线 D.两条平行直线【 解析 】 选 B.因为 SABP = AB(dAP)是定值 ,所以在空间中点 P的轨迹是以直线 AB为轴 ,半径为 (也是常数 )的圆柱的侧面 ,又因为 AB是平面 的斜线段 ,所以平面
26、截圆柱侧面所得曲线为椭圆 .4.如图所示 ,“ 嫦娥一号 ” 探月卫星沿地月转移轨道飞向月球 ,在月球附近一点 P变轨进入以月球球心 F为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行 ,之后卫星在 P点第二次变轨进入仍然以 F为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行 ,最终卫星在 P点第三次变轨进入以 F为圆心的圆形轨道 绕月飞行 ,若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道 和 的焦距 ,用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道 和 的长轴的长 ,给出下列式子 :a 1+c1=a2+c2; a1-c1=a2-c2; c1a2a1c2; 其中正确式子的序号是 ( )A. B. C. D. 【 解析 】 选 B.对于 ,因为椭圆
27、中的 a+c是椭圆上的点到焦点的最大距离 ,所以 a1+c1a2+c2,所以 错误 ;对于 ,因为椭圆中的 a-c是椭圆上的点到焦点的最小距离 ,所以 a1-c1=a2-c2,所以 正确 ;对于 , ,因为所以由图可以看出椭圆 比 的离心率大 ,所以 是错误的 , 正确 .5.如图 ,B地在 A地的正东方向 4 km处 ,C地在 B地的北偏东 30 方向 2 km处 ,河流的沿岸 PQ(曲线 )上任意一点到A的距离比到 B的距离远 2 km.现要在曲线 PQ上选一处 M建一座码头 ,向 B,C两地转运货物 .经测算 ,从 M到 B,M到 C修建公路的费用分别是 a万元 /km,2a万元 /km
28、,那么修建这两条公路的总费用最低是 ( )A.(2 -2)a万元 B.5a万元C.(2 +1) a万元 D.(2 +3) a万元【 解析 】 选 B.因为河流的沿岸 PQ(曲线 )上任意一点到 A的距离比到 B的距离远 2 km,所以曲线 PQ是以 A,B为左、右焦点 ,实轴长为 2的双曲线的右支 ,所以以 AB为 x轴 ,AB的中垂线为 y轴 ,建立平面直角坐标系 ,则双曲线的方程为 右准线方程为 x= ,点 C的坐标为 (3, ),如图 ,所以修建这两条公路的总费用为 a(|MB|+2|MC|)=a(2d+2|MC|)=2a(d+|MC|) 6.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验
29、 .设计方案如图 :航天器运行 (按顺时针方向 )的轨迹方程为 变轨 (即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线 )后返回的轨迹是以 y轴为对称轴 , 为顶点的抛物线的实线部分 ,降落点为 D(8,0),观测点 A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器 .(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程 .(2)试问 :当航天器在 x轴上方时 ,观测点 A,B测得离航天器的距离分别为多少时 ,应向航天器发出变轨指令 ?【 解析 】 (1)设曲线方程为 y=ax2+ ,由题意可知 ,0=a 64+ .所以 a=- .所以曲线方程为 y=- x2+ .(2)设变轨点为 C(x,y),根据题意可知得 4y2-7
30、y-36=0,解得 y=4或 y=- (不合题意 ,舍去 ).所以 y=4.得 x=6或 x=-6(不合题意 ,舍去 ).所以 C点的坐标为 (6,4),|AC|=2 ,|BC|=4.答 :观测点 A,B测得 AC,BC的距离分别为 2 ,4时 ,应向航天器发出变轨指令 .高考新动向 数学文化面面观（六）函数与导数中的数学文化函数与导数是高考中的最重要的内容 ,其中蕴含的数学文化方面的题目很多 ,例如映射与函数、函数与方程思想、数形结合思想、函数模型的应用等 .1.计算机中常用的十六进制是逢 16进 1的计数制 ,采用数字 0 9和字母 A F共 16个计数符号 ,这些符号与十进制的数的对应关
31、系如下表 :16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1510进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F例如 ,用十六进制表示 :E+D=1B,则 AB= ( )A.6E B.72 C.5F D.B0【 解析 】 选 A.由表可得 10 11=110,110 16,商是 6余数是 14.故 A B=6E.2.(2017 北京高考 )根据有关资料 ,围棋状态空间复杂度的上限 M约为 3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N约为 1080.则下列各数中与 最接近的是 (参考数据 :lg 30.48) ( )A.1033 B.10
32、53 C.1073 D.1093【 解题指南 】 本题主要考查对数运算 .意在培养学生数学建模能力 ,及计算能力 .【 解析 】 选 D.因为 因为 lg 30.48, 所以 361lg 3173,所以 【 名师点睛 】 本题考查了转化与化归能力 .本题以实际问题的形式给出 ,但本质是对数的运算关系 ,以及指数与对数运算的关系 ,难点是 时 ,化简运算 .对数运算公式包含 loga M+loga N=loga MN,loga M-loga N =loga ,loga Mn=nloga M.3.某公司为激励创新 ,计划逐年加大研发资金投入 ,若该公司 2015年全年投入研发资金 130万元 ,在
33、此基础上 ,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是 ( )(参考数据 :lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年【 解题指南 】 根据题知找出方程 ,结合对数的运算求解 .【 解析 】 选 B.设 x年后该公司全年投入的研发资金为200万元 ,由题可知 ,130(1+12%)x=200,解得 x=log1.12 3.80, 因资金需超过 200万 ,则 x取 4,即 2019年 .4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况 ,绘制了一年中各月平均最高气温和
34、平均最低气温的雷达图 .图中 A点表示十月的平均最高气温约为 15 ,B 点表示四月的平均最低气温约为 5 . 下面叙述不正确的是 ( )A.各月的平均最低气温都在 0 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于 20 的月份有 5个【 解题指南 】 看准雷达图的表达情况是关键 .【 解析 】 选 D.根据雷达图可知全年最低气温都在0 以上 ,故 A正确 ;一月平均最高气温是 6 左右 ,平均最低气温 2 左右 ,七月平均最高气温 22 左右 ,平均最低气温 13 左右 ,所以七月的平均温差比一月的平均温差大 ,B正确 ;三月和十一月的平
35、均最高气温都是 10 ,三月和十一月的平均最高气温基本相同 ,C正确 ;平均最高气温高于 20 的有七月和八月 ,故 D错误 .5.(2017 北京高考 )三名工人加工同一种零件 ,他们在一天中的工作情况如图所示 ,其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i名工人上午的工作时间和加工的零件数 ,点 Bi的横、纵坐标分别为第 i名工人下午的工作时间和加工的零件数 ,i=1,2,3. 记 Q1为第 i名工人在这一天中加工的零件总数 ,则Q1,Q2,Q3中最大的是 _. 记 pi为第 i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数 ,则 p1,p2,p3中最大的是 _. 【 解析 】 作图可得 A1B1中点纵坐
36、标比 A2B2,A3B3中点纵坐标大 ,所以第一问选 Q1,pi表示 Ai与 Bi的纵坐标之和比上横坐标之和 ,作图将 Ai和 Bi的横纵坐标分别相加得到 C1,C2,C3三点 ,分别连接OCi,可知 OC2的斜率最大 ,故选 p2.答案 :Q1 p2【 名师点睛 】 考查了根据实际问题分析和解决问题的能力 ,以及转化与化归的能力 ,因为第 i名工人加工总的零件数是 Ai+Bi,比较总的零件数的大小 ,即可转化为比较 的大小 ,而 表示 AiBi中点连线的纵坐标 ,而第二问也可转化为 AiBi中点与原点连线的斜率 .6.如图 ,一横截面为等腰梯形的水渠 ,因泥沙沉积 ,导致水渠截面边界呈抛物线
37、型 (图中虚线表示 ),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 _. 【 解题指南 】 建立直角坐标系 ,求出抛物线方程 ,然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积 ,求出梯形面积,即可推出结果 .【 解析 】 如图 :建立平面直角坐标系 ,设抛物线方程为 :y=ax2,因为抛物线经过 (5,2),可得 a= ,所以抛物线方程 :y= x2,横截面为等腰梯形的水渠 ,泥沙沉积的横截面的面积为 :等腰梯形的面积为 : 2=16, 当前最大流量的横截面的面积为 16- ,原始的最大流量与当前最大流量的比值为 : =1.2.答案 :1.27. 某公司一年购买某种货物 600吨 ,每次购买 x吨 ,运费
38、为 6万元 /次 ,一年的总存储费用为 4x万元 ,要使一年的总运费与总存储之和最小 ,则 x的值是 _. 【 解题指南 】 以实际问题为命题背景 ,考查基本不等式求最值 .【 解析 】 总费用 4x+ 6=4 4 2=240,当且仅当 x= ,即 x=30时等号成立 .答案 :30高考新动向 数学文化面面观 (四 ) 概率与统计中的数学文化概率与统计起源于收集、处理与分析数据的活动 ,小至个人的事情 ,大至治理一个国家 ,都有必要收集有关的数据并进行处理 .在我国古代典籍中 ,就有不少关于户口、钱粮、兵役、地震、水灾和旱灾等的记载 .现代生活中 ,更是需要对日常收集到的数据进行加工、处理、分
39、析 ,以及进行定量定性估计进而为决策服务 ,从而构成一门学问 .1.(2017 全国卷 ) 如图 ,正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图 .正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .在正方形内随机取一点 ,则此点取自黑色部分的概率是 ( )A. B. C. D. 【 解题指南 】 对于几何概型的计算 ,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域 (长度、面积、体积或时间 ),其次计算基本事件区域的几何度量和事件 A区域的几何度量 ,最后计算 P(A).【 解析 】 选 B.设正方形边长为 2,则圆半径为 1,则正方形的面积为 2 2=4,圆的面积为 12= ,图中
40、黑色部分的面积为 ,则此点取自黑色部分的概率为 = .2.血药浓度 (Plasma Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度 . 药物在人体内发挥治疗作用时 ,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间 .已知成人单次服用 1单位某药物后 ,体内血药浓度及相关信息如图所示 :根据图中提供的信息 ,下列关于成人使用该药物的说法中 ,不正确的个数是 ( ) 首次服用该药物 1单位约 10分钟后 ,药物发挥治疗作用 每次服用该药物 1单位 ,两次服药间隔小于 2小时 ,一定会产生药物中毒 每间隔 5.5小时服用该药物 1单位 ,可使药物持续发挥治疗作用 首次服用该药物 1
41、单位 3小时后 ,再次服用该药物 1单位 ,不会发生药物中毒A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【 解析 】 选 A.由图知 ,只有 不正确 .3.AQI是表示空气质量的指数 ,AQI指数值越小 ,表明空气质量越好 ,当 AQI指数值不大于 100时称空气质量为 “优良 ” .如图是某地 4月 1日到 12日 AQI指数值的统计数据 ,图中点 A表示 4月 1日的 AQI指数值为 201.则下列叙述不正确的是 ( )A.这 12天中有 6天空气质量为 “ 优良 ”B.这 12天中空气质量最好的是 4月 9日C.这 12天的 AQI指数值的中位数是 90D.从 4日到 9日 ,空气质量越来越好
42、【 解析 】 选 C.由题图看到 6,7,8,9,10,11六天空气质量为 “ 优良 ” ,所以 A正确 ;4月 9日的 AQI指数值为 67是最小值 ,所以 B正确 ;4日到 9日的 AQI指数值为从 144依次递减到 67,所以 D正确 ;将各数从大到小排列是 201,144,138,135,111,104,95,92,85,77,72,67,所以中位数是 =99.5,所以 C错误 .4.某快递公司收取快递费用的标准是 :重量不超过 1 kg的包裹收费 10元 ;重量超过 1 kg的包裹 ,除 1 kg收费 10元之外 ,超过 1 kg的部分 ,每超出 1 kg(不足 1 kg,按 1 k
43、g计算 )需再收 5元 .该公司对近 60天 ,每天揽件数量统计如表 :包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数 (近似处理 ) 50 150 250 350 450天数 6 6 30 12 6(1)某人打算将 A(0.3 kg),B(1.8 kg),C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出 ,求该人支付的快递费不超过 30元的概率 .(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取 5元作为前台工作人员的工资和公司利润 ,剩余的作为其他费用 .前台工作人员每人每天揽件不超过 150件 ,工资 100元 ,目前前台有工作人员 3人 ,那么 ,公司将前台工作人员
44、裁员 1人对提高公司利润是否更有利 ?【 解析 】 (1)由题意 ,寄出方式有以下三种可能 :情况第一个包裹 第二个包裹 甲支付的总快递费礼物重量(kg)快递费(元 )礼物重量(kg)快递费(元 )1 A 0.3 10 B,C 3.3 25 352 B 1.8 15 A,C 1.8 15 303 C 1.5 15 A,B 2.1 20 35所有 3种可能中 ,有 1种可能快递费未超过 30元 ,根据古典概型概率计算公式 ,所求概率为 .(2)将题目中的天数转化为频率 ,得包裹件数范围 0 100101200201300301400401500包裹件数 (近似处理 ) 50 150 250 35
45、0 450天数 6 6 30 12 6频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1若不裁员 ,则每天可揽件的上限为 450件 ,公司每日揽件情况如下 :包裹件数 (近似处理 ) 50 150 250 350 450实际揽件数 50 150 250 350 450频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1平均揽件数 500.1+1500.1+2500.5+3500.2+4500.1=260故公司平均每日利润的期望值为 2605-3100=1 000(元 ).若裁员 1人 ,则每天可揽件的上限为 300件 ,公司每日揽件情况如下 :包裹件数 (近似处理 ) 50 150 250 350 450实
46、际揽件数 50 150 250 300 300频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1平均揽件数 500.1+1500.1+2500.5+3000.2+3000.1=235故公司平均每日利润的期望值为 2355-2100=975(元 )故公司将前台工作人员裁员 1人对提高公司利润不利 .【 提分备选 】交强险是车主必须为机动车购买的险种 ,若普通 6座以下私家车投保交强险第一年的费用 (基准保费 )统一为 a元 ,在下一年续保时 ,实行的是费率浮动机制 ,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系 ,发生交通事故的次数越多 ,费率也就越高 ,具体浮动情况如表 :交强险浮动因素和浮动费率
47、比率表浮动因素 浮动比率A1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 10%A2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 20%A3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 30%交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素 浮动比率A4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0%A5 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 10%A6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 30%某机构为了研究某一品牌普通 6座以下私家车的投保情况 ,随机抽取了 60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况 ,统计得到了下面的表格 :类型 A1 A2 A3 A4 A5 A6数量 10 5 5 20 15 5以这 60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率 ,完成下列问题 :(1)求一辆普通 6座以下私家车 (车险已满三年 )在下一年续保时保费高于基本保费的频率 .(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车 ,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车 .假设购进一辆事故车亏损 5 000元 ,一辆非事故车盈利10 000元 .且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致 ,完成下列问题 :
