1、1若中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A. 1 B. 1x281 y272 x281 y29C. 1 D. 1x281 y245 x281 y236解析：由已知得 a9,2c 2a，c a3.13 13又焦点在 x 轴上，椭圆方程为 1.x281 y272答案：A2若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. B.45 35C. D.25 15解析：由题意有 2a2c4b，即 ac2b.又 c2a 2b 2，5c 23a 22ac ，即 5e22e30.解之得 e 或 e1(舍)35答案：B
2、3(2012新课标全国卷)设 F1，F 2 是椭圆 E： 1(ab0) 的左、右焦点，P 为x2a2 y2b2直线 x 上一点，F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为( )3a2A. B.12 23C. D.34 45解析：由题意可得|PF 2|F 1F2|，所以 2( ac)2c，所以 3a4c，所以 e .32 34答案：C4在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF 2 的周长为 16，那么 C 的方程为( )22A. 1 B. 1x216 y28 y2
3、16 x28C. 1 D. 1x224 y216 y224 x216解析：根据椭圆焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为 1(ab0) ，e ， x2a2 y2b2 22 ca.根据 ABF 2 的周长为 16 得 4a16，因此 a4，b2 ，22 2所以椭圆方程为 1.x216 y28答案：A5如果椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在 x 轴上，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，且 ac ，则椭圆的方程是 _3解析：如图所示，由三角形 AF1F2 为正三角形，可得 2ca，又 ac ，3a2 ，c ，3 3b 2(2 )2 ( )29.3 3椭圆的方程是 1.x212 y29答案： 1x212
4、 y296直线 x2y20 经过椭圆 1(ab0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的x2a2 y2b2离心率等于_解析：由题意知椭圆焦点在 x 轴上，在直线方程 x2y20 中令 y0 得 c2；令 x0 得 b1.a .e .b2 c2 5ca 255答案：2557如图所示，F 1、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的 ，求椭圆的离心率23解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a、b、c，则焦点为 F1(c,0) ，F2(c,0)， M 点的坐标为(c ， b)，23在 Rt MF1F2 中，|F1F2|2 |MF2|2|
5、MF 1|2，即 4c2 b2|MF 1|2.49而|MF 1|MF 2| b2a，4c2 49b2 23整理得 3c23a 22ab.又 c2a 2b 2，所以 3b2a.所以 .b2a2 49e 2 c2a2 a2 b2a21 ，b2a2 59e .53法二：设椭圆方程为 1(a b0)，x2a2 y2b2则 M(c， b)在椭圆上，23代入椭圆方程，得 1，所以 ，c2a2 4b29b2 c2a2 59所以 ，即 e .ca 53 538.如图，已知椭圆 1(ab0) ，F 1、F 2 分别为椭圆的左、x2a2 y2b2右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2 交椭圆于另一点 B.(1)
6、若F 1AB90 ，求椭圆的离心率；(2)若 2 ， ，求椭圆的方程AFB1A32解：(1)若F 1AB90 ，则AOF 2 为等腰直角三角形，所以有 OAOF 2，即 bc.所以 a c， e .2ca 22(2)由题知 A(0，b)，F 1(c, 0)，F 2(c,0)，其中，c ，设 B(x， y)a2 b2由 2 (c ，b)2(xc，y)，解得 x ，y ，即 B( ， )3c2 b2 3c2 b2将 B 点坐标代入 1，得 1，x2a2 y2b2 94c2a2 b24b2即 1，9c24a2 14解得 a23c 2.又由 (c，b)( ， )1AFB3c2 3b2 32b 2c 21，即有 a22c 21.由，解得 c21，a 23，从而有 b22.所以椭圆方程为 1.x23 y22
