1、课时训练 1 平面直角坐标系1.平面直角坐标系中,到 x,y 轴的距离之积等于 1 的动点 P(x,y)的轨迹方程是( )A.xy=1 B.xy=-1C.|xy|=1 D.以上都不对答案:C解析:点 P(x,y)到 x,y 轴的距离分别是|y|,|x|,故选 C.2.两个定点间的距离为 4,点 M 到这两个定点的距离的平方和为 16,则点 M 的轨迹是( )A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线答案:A解析:设两定点分别为 A,B,以过 A,B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(-2,0),B(2,0),设动点 M(x,y),则由|MA| 2+|
2、MB|2=16,可得(x+2) 2+y2+(x-2)2+y2=16,化简得轨迹方程为x2+y2=4.故选 A.3.有相距 1 400 m 的 A,B 两个观察站,在 A 站听到爆炸声的时间比在 B 站听到的时间早 4 s,已知当时声音的传播速度为 340 m/s,则爆炸点所在的曲线为 ( )A.双曲线的一支 B.直线C.椭圆 D.抛物线答案:A解析:设爆炸点为 P,由已知得|PB|-|PA|=4340=1 360,又|AB|=1 400,1 4001 360,故 P 点的轨迹是双曲线的一支.4.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 后,曲线 C 变为曲线 x2+y2=1,则曲线 C 的方程为(
3、 )A.25x2+9y2=1B.9x2+25y2=1C.25x+9y=1D. =1答案:A解析:将伸缩变换 代入 x2+y2=1,得 25x2+9y2=1.5.在同一平面直角坐标系中,将正弦曲线 y=sin x 作如下变换: 得到的曲线方程为( )A.y=3sin x B.y= sin 2xC.y= sin 2x D.y=3sin 2x答案:D解析:由代入 y=sin x 得 y=sin 2x,即 y=3sin 2x.6.在平面直角坐标系 xOy 中,方程(x-1)(x+1)=0 表示的图形是 ( )A.圆 B.抛物线C.两条平行直线 D.两条相交直线答案:C解析:方程(x-1)(x+1)=0
4、 表示直线 x=1 或者直线 x=-1,为两条平行直线.7.已知平面上两定点 A,B,且 A(-1,0),B(1,0),动点 P 与两定点连线的斜率之积为-1,则动点 P 的轨迹是( )A.直线B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分答案:B解析:设点 P 的坐标为(x,y),因为 kPAkPB=-1,所以 =-1,整理得 x2+y2=1(x1).8.将曲线 C 按伸缩变换公式 变换得曲线方程 x2+y2=1,则曲线 C 的方程为( )A. =1B. =1C.4x2+9y2=36D.4x2+9y2=1答案:D解析:将伸缩变换 代入 x2+y2=1,得 4x2+9y2=1.9.若点 P(
5、-2 014,2 015)在伸缩变换 后所得的点在曲线 y= 上,则 k=( )A.1 B.-1C.2 015 D.-2 015答案:B解析:因为 P(-2 014,2 015),所以 代入 y= ,得 k=xy=-1.10.平面内有一固定线段 AB,|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,O 为 AB 的中点,则|OP|的最小值是 .答案:解析:以 AB 的中点 O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,如图,则点 P 的轨迹是以 A,B为焦点的双曲线的一部分. 2c=4,2a=3, c=2,a= . b2=c2-a2=4- . 点 P 的轨迹方程为 =1 .由
6、图可知,点 P 为双曲线的右顶点时,|OP|最小,且|OP| min= .11.已知函数 f(x)= ,则 f(x)的最小值为 . 答案:2解析:f(x) 可看作是平面直角坐标系下 x 轴上一点(x,0) 到两定点 A(-1,1)和 B(1,1)的距离之和,结合图形可得所求最小值为|AB|=2 .12.在ABC 中,B(-2,0),C(2,0),ABC 的周长为 10,则点 A 的轨迹方程为 . 答案: =1(y0)解析: ABC 的周长为 10, |AB|+|AC|+|BC|=10,其中|BC|=4,则有|AB|+|AC|=64, 点 A 的轨迹为椭圆除去与 B,C 共线的两点,且 2a=6
7、,2c=4. a=3,c=2,b2=5, 点 A 的轨迹方程为 =1(y0).13.已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),四边形 ABCD 在伸缩变换 (a0)的作用下变成正方形,则 a 的值为 . 答案:解析:如图,由矩形 ABCD 变为正方形 ABCD,已知 y=y, 正方形边长为 1. AB 长由 2 缩为原来的一半. x= x. a= .14.为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距 8 km 的 A,B 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面,以过 A,B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面
8、直角坐标系( 如图).在直线x=2 的右侧,考察范围为到点 B 的距离不超过 km 的区域; 在直线 x=2 的左侧,考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过 4 km 的区域 .求考察区域边界曲线的方程.解:设考察区域边界曲线上点 P 的坐标为(x,y).当 x2 时,由题意知(x-4) 2+y2= .当 x8 知,点 P 在以 A,B 为焦点,长轴长为 2a=4 的椭圆上,此时短半轴长 b=2.因而其方程为 =1.故考察区域边界曲线(如图)的方程为 C1:(x-4)2+y2= (x2)和 C2: =1(x0). A(4,-5)在抛物线上 , 42=-2p(-5),p=1.6. x2=-3.2y.设当水面上涨到与抛物线拱顶相距 h m 时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽 BB的端点 B 的坐标为(2,y 1),由 22=-3.2y1,得|y 1|= ,h=|y1|+ =2(m),所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距 2 m 时,船开始不能通航.
