1、(时间：120 分钟；满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1化简 等于( )AB BD AC CD A. B0AD C. D.BC DA 解析：选 B. ( ) 0.AB BD AC CD AD AC CD AD AD 2下列说法中，正确的是( )A若向量|a| |b|，则 ab 或 abB若 ab，bc ，则 acC长度不相等，而方向相反的两个向量一定是平行向量D若|a |b|，则 ab解析：选 C.如 a(1,1)，b( ，0)，|a| b|，但是 ab，ab，故 A 错；当 b0 时，2a 与 c 不一定平行，故 B 错；
2、由平行向量的定义知，C 正确；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故 D 错3已知 (2,4)， (2,6) ，则 ( )MA MB 12AB A(0,5) B(0,1)C(2,5) D(2,1)解析：选 D. (4,2)， (2,1)AB MB MA 12AB 4设非零向量 a、b、c 满足| a|b| |c|，abc ，则 a，b( )A150 B120C60 D30解析：选 B.由题意可得，c 为 a，b 的和向量，如图所示， a， b， cab，OA OB OC 由|a |b| c|得，OAC 为等边三角形，a，bAOCBOC6060120.5下列说法正确的是( )
3、A(ab)ca(bc )Bacbc 且 c0，则 a bC若 a0，ab0，则 b0D|ab|a|b |解析：选 D.对于 A，向量的数量积不满足结合律；对于 B，向量的数量积不满足消去律；对于 C，只要 a 与 b 垂直时就有 ab0；对于 D，由数量积定义有|ab|a| b|cos| a|b|，这里 是 a 与 b 的夹角，只有 0 或 时，等号成立6设向量 a(1,0)，b( ， )，则下列结论中正确的是( )12 12A|a| |b| Bab22Cab 与 b 垂直 Dab解析：选 C.a(1,0)，b( ， )，| a|1，|b| ，A 错误；ab1 012 12 14 14 22
4、12 ，12 12B 错误；ab( ， )，( ab)b 0，C 正确；12 12 12 12 12 121 0 0，D 错误12 12 127已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，2) ，C(3,1)，且 2 ，则顶点 DBC AD 的坐标为( )A. B.(2，72) (2， 12)C(3,2) D(1,3)解析：选 A.设点 D 的坐标为(x，y)，由 2 可得，(4,3)2(x，y2)，BC AD Error!，解之得Error!，点 D 的坐标为 .(2，72)8a，b 为平面向量，已知 a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b 夹角的余弦值等于( )A. B8
5、65 865C. D1665 1665解析：选 C.a(4,3)，2a(8,6)又 2ab(3,18)，b(5,12)，ab203616.又|a |5 ，|b| 13，cosa，b .16513 16659若 | |20，则ABC 为( )AB BC AB A直角三角形 B钝角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形解析：选 A.0 | |2 ( )AB BC AB AB BC AB ， ，BAC90.故选 A.AB AC AB AC 10已知平面上不共线的四点 O、A、B、C，若 4 3 0，则 ( )OA OB OC |AB |AC |A. B.43 12C2 D.34解析：选 D. 4 3
6、( )3( )0，得 OA OB OC OA OB OC OB BA 3 ，如图所示， .CB |AB |AC | 3411点 P 在平面上做匀速直线运动，速度向量 v(4，3)( 即点 P 的运动方向与 v 相同，且每秒移动的距离为|v| 个单位 )，设开始时 P 的坐标为(10,10)，则 5 秒后 P 的坐标为( )A(2,4) B(30,25)C(10，5) D(5，10)解析：选 C.设 5 秒后 P 的坐标为 (x，y )，则由已知得Error!P(10，5) 12设 A1，A 2，A 3，A 4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)，A1A3 A1A2 (R)，且 2，则
7、称 A3，A 4 调和分割 A1，A 2，已知点 C(c,0)，D(d,0) ，A1A4 A1A2 1 1(c，d R)调和分割点 A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是( )AC 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点CC，D 可能同时在线段 AB 上DC，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上解析：选 D.依题意，若点 C，D 调和分割点 A，B，则有 ， ，且 2.AC AB AD AB 1 1若 C 是线段 AB 的中点，则有 ，此时 .又 2，所以 0，不可能成AC 12AB 12 1 1 1立因此 A 不对，同理 B 不对当 C，D 同时在线段 AB 上时，
8、由 ， 知 02，与AC AB AD AB 1 1已知条件 2 矛盾，因此 C 不对1 1若 C，D 同时在线段 AB 的延长线上，则 时，1， 时，1，此时AC AB AD AB 2，与已知 2 矛盾，故 C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上1 1 1 1二、填空题(本大题共 4 小题把答案填在题中横线上 )13与向量 a(1,1)平行的单位向量为_解析：与 a 平行的单位向量为 .a|a| ( 22，22)答案： 或(22，22) ( 22， 22)14已知向量 a，b 满足(a 2b)(ab)6，且|a|1，| b|2，则 a 与 b 的夹角为_解析：由(a2b)(ab)6 得 a
9、22b 2a b6.|a |1 ，|b| 2，1 222 212cosa，b6，cosa，b .a，b 0，a，b .12 3答案：315在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 ABDC，ADBC，已知点 A(2,0) ，B(6,8)， C(8,6)，则 D 点的坐标为_解析：因为四边形 ABCD 的边 ABDC，ADBC，所以四边形 ABCD 为平行四边形， ，AB DC 设 D(x， y)，又 (8,8)， (8x,6y)，AB DC Error!，Error!，所以 D 点的坐标为(0 ，2)答案：(0，2)16关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题：若 aba c，则
10、bc ；若 a(1 ，k )，b(2,6) ，ab，则 k3；非零向量 a 和b 满足|a |b| |ab|，则 a 与 ab 的夹角为 60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)解析：当 a0 时，不成立；对于，若 ab，则2k6，k3，成立；对于，由于|a|b| | ab|，则以|a| ，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图易知BAD60， ab，由菱形的性质可知，a 与 ab 的夹角为DAC30，不AC 成立答案：三、解答题(本大题共 6 小题解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17已知 O，A，B 是平面上不共线的三点，直线 AB 上有一点 C，满足 2 0，AC
11、CB (1)用 ， 表示 ；OA OB OC (2)若点 D 是 OB 的中点，证明四边形 OCAD 是梯形解：(1)2 0，AC CB 2( ) ( ) 0.OC OA OB OC 2 2 0.OC OA OB OC 2 .OC OA OB (2)证明：如图， (2 )DA DO OA 12OB OA 12 OA OB 故 ，DAOC 且 DAOC，故四边形 OCAD 为梯形DA 12OC 18已知 A( 2,4)，B(3，1)，C(3，4) ，且 3 ， 2 ，求点 M，N 及CM CA CN CB 的坐标MN 解：因为 A( 2,4)，B(3，1)，C(3，4) 所以 (1,8)， (6
12、,3) ，CA CB 所以 3 (3,24)， 2 (12,6)CM CA CN CB 设 M(x，y)，则有 (x3，y4)，CM 所以Error!所以Error!即 M(0,20)同理可求得 N(9,2)，因此 (9，18) ，故所求点 M，N 的坐标分别为(0,20)，(9,2)，MN 的坐标为(9，18). MN 19已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90 ，AD2，BC 1，P 是腰 DC 上的动点，求| 3 |的最小值PA PB 解：法一：以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，
13、C(0，a)， B(1，a)，P(0，x)，(2 ，x) ， (1，ax )，PA PB 3 (5,3a4x) ，PA PB | 3 |225(3a4x) 225，PA PB | 3 |的最小值为 5.PA PB 法二：设 x (0x1)， (1x) ，DP DC PC DC x ，PA DA DP DA DC (1 x) ，PB PC CB DC 12DA 3 (34x) ，PA PB 52DA DC | 3 |2 | |22 (34x) (3 4x )2| |225(34x) 2| |225，PA PB 254DA 52 DA DC DC DC | 3 |的最小值为 5.PA PB 20已
14、知向量 a，b 不共线，ckab，dab，(1)若 cd，求 k 的值，并判断 c，d 是否同向；(2)若|a|b|，a 与 b 夹角为 60，当 k 为何值时，cd?解：(1)cd，故可设 cd ，即 kab(ab) 又 a，b 不共线，Error!得Error!即 cd，故 c 与 d 反向(2)cd( kab)(ab)ka 2kababb 2(k1)a 2(1k )|a|2cos60，又 cd，故(k1)a 2 a20.1 k2即(k1) 0，解得 k1.即 k1 时，cd.1 k221已知|F 1| F2|F 3|a(a0) ，且两两向量的夹角相等，求 |F1F 2F 3|的值解：向量
15、 F1，F 2，F 3 两两向量的夹角相等，当三个向量共线且同向时，两两向量的夹角均为 0，于是有 F1F 2F 3，故|F1 F2F 3|3|F 1|3a.设三个向量两两的夹角为 ，则 2， .23又|F 1|F 2|F 3|a0，F F F a 2，且三个向量均非零21 2 23F 1F2F 2F3F 1F3a 2cos a2.23 12|F 1F 2F 3|2F F F 2(F 1F2F 1F3F 2F3) 3a223 0.21 2 23 ( 12a2)|F 1F 2F 3|0.综上所述，所求值为 3a 或 0.22在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满足( t ) 0，求 t 的值AB OC OC 解：(1)由题设知 (3,5) ， (1,1) ，AB AC 则 (2,6)， (4,4)AB AC AB AC 所以| | 2 ，| |4 .AB AC 10 AB AC 2故所求的两条对角线的长分别为 4 ，2 .2 10(2)由题设知 ( 2，1)，则 t (32t,5t)OC AB OC 由( t ) 0，AB OC OC 得(32t,5t)(2，1)0，从而 5t11，所以 t .115
