1、3.1.1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点1、教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.让学生了解函数的零点与方程根的联系3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用4培养学生动手操作的能力二、教学重点、难点重点 零点的概念及存在性的判定 难点 零点的确定三、学法与教学用具学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。教学用具：投影仪。教学过程：(一)创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根与二次函数 y=ax2+b
2、x+c(a0)的图象有什么关系？2先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：（用投影仪给出）方程 与函数032x32y方程 与函数11x方程 与函数2x2y1师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和 轴交点坐标的关系x要求学生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？(二) 互动交流 研讨新知通过上述问题引出函数零点的概念：定义：对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点（zero ()yfx()0fxx()yfxpoint） .指出函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数
3、 的图象与 轴交点的)(xfy)(xf )(xfy横坐标即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点0)(f)(fyx)(f想一想，怎样求函数的零点呢？师：引导学生认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：代数法；求方程 的实数根；0)(xf几何法将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。fy下面我们来探索研究二次函数的零点情况：1、用代数法探究结论：二次函数 )0(2acbxy（），方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，a x二次函数有两个零点（），方程 有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与 轴有02cbx一个交点，二次函数有一个二
4、重零点或二阶零点（），方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数2a x无零点2、数形结合法探究（）(以二次函数 为例)观察二次函数 的图象：32)(xf 32)(xf 在区间 上有零点_； _， _,1,(f1 _0（或） )2(f(f 在区间 上有零点_； _0（或） 4, )2(f4f（）观察下面函数 的图象)(xfy 在区间 上_(有/无)零点； _0（或） ,ba)(afbf 在区间 上_(有/无)零点； _0（或） c c 在区间 上_(有/无)零点； _0（或） ,d)(fdf思考：由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？定理：如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是
5、连续不断的一条曲线，并且有 f(a).f(b)0,那么，函数 y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在 c (a,b),使得 f(c)=0，这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 想一想：怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用（三）巩固深化，发展思维学生在教师指导下完成下列例题例 1 求函数 f(x)=x2x 6 的零点个数。分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：（1）利用计算器或计算机作 的对应值表；,()xf（2）作出函数 的图象；()yf（3）确定 的单调性
6、；x（4）若在区间 上连续，并且有 ，那么函数 在区间,ab()0fab()yfx内有一个实数根；(,)ab（5）结合单调性确定其定义域内零点个数，即实数根个数。结合计算机利用几何画板作出函数的图象观察。要求学生阅读理解 P88 的解答过程。例 2函数 的零点所在的大致区间是（ ）2()lnfxA （1，2） B （2，3） C 和（3，4） D1(,)e(,)e分析：从已知的区间 ，求 和 ，判断是否有 。(,)ab()ffb()0fab解：因为 ，故在（1，2）内没有零点，非 A。()0ln0f又 ，所以 ，所以 在（2，3）内有一个零点，选 B。23ln()3f()fx例 3若方程 在（
7、0，1）内恰有一解，求实数 的取值范围。ax a分析：令 ，因为方程 在（0，1）内恰有一解，则2()f2ax，解出 。(0)1f解：令 ，因为方程在（0，1）内恰有一解，所以 ，即2xa ()10f，解得 。() 例 4二次函数 中， ，则函数的零点个数是（ ）2()yxbca0cA1 个 B2 个 C0 个 D无法确定分析：分析条件 ， 是二次项系数，确定抛物线的开口方向， ，所以0a (0)cf，由此得解。(0)acf解：因为 ，所以，即 与 异号，即 或fa(0)f0()af()0f所以函数必有两个零点，故选 B。（4） 、归纳整理，整体认识零点概念；零点、与 x 轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理（五） 、布置作业作业：P92, 2 题；P93： 3 题
