1、4.4 反证法教案 （浙教版八年级下） 教学目标：1、理解反证法的含义与原理，掌握反证法的一般步骤；2、会用反证法证明简单的代数命题和几何命题；3、使学生逐步树立“正难则反”和“转换思维”的意识。4、初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。5、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交” “在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行” 。重点与难点：本节教学的重点是反证法的含义和步骤及运用反证法的意识及反证中的“归谬” 。而课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点。教
2、学设想：课本用路边苦李的故事引入课题，让学生体会反证法就在生活中，数学就在生活中。而解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑。从反面考虑问题在中等数学中常用的有：逆推法、分析法、补集思想、反证法。因此本课的教学要注意：1、让学生总结反证法导出的矛盾有几种类型。2、利用合作学习让学生比较两种证明方法的特点。3、对证明的基本方法掌握和过程的体验，需要对一定数量的命题的证明来实现，但是教学中要注意避免一味的追求所证命题的数量、证明的技巧，应依据教材中的基本要求，控制好所证命题的难度
3、。 教学过程：一、情境导入1、故事引入“反证法”：路边苦李王戎 7 岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。 ”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。反证法是数学中常用的一种方法。人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。你能总结出以上这种证明方法的步骤吗?假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路
4、人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的。其思维过程的表述如下图：【学生模仿推理：迁移到数学中的反面，由学生独立完成】这就是反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。 在 证 明 一 个 命 题 时 ， 人 们有 时 先 假 设 命 题 不 成 立（ 即 结 论 不 成 立 ） ， 从 这样 的 假 设 出 发 ， 经 过 推 理得 出 和 已 知 条 件 矛 盾
5、， 或者 与 定 义 、 公 理 、 定 理 等矛 盾 ， 从 而 得 出 假 设 命 题不 成 立 是 错 误 的 ， 即 所 求证 的 命 题 正 确 .这 种 证 明 方 法 叫 做 反 证 法 .概 念 学 习 与 已 知 条 件 矛 盾 或 与 定义 、 定 理 、 公 理 矛 盾假 设 错 误 即 所 求证 的 命 题 正 确假 设 命 题 结 论 不 成 立推 理二、尝试应用已 知 ： 直 线 l1， l2， l3在 同 一 平 面 内 ， 且 l1 l2，l3与 l相 交 于 点 P.求 证 ： l3与 l2相 交 .l1l2l3P尝 试 应 用 l3 l3Pl1l22、根据上
6、述解答，归纳反证法证题的步骤。假定结论不成立（即结论的反面成立） ；从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；由矛盾判定假设不正确；肯定命题的结论成立。使学生再次明确：用反证法证题的基本思路及步骤。3、完成书本 P87 课内练习第 1 题.、:、60.这 与 _相 矛 盾 .所 以 不 成 立 ， 所 求 证 的 结 论 成 立 .已 知 : A， B， C是 ABC的 内 角 .求 证 ， ， 中 至 少 有 一 个 角 大 于 或 等 于 60.证 明 : 假 设 所 求 证 的 结 论 不 成 立 ， 则 A_60， B_60， C_60则 + B
7、C 18. 三 角 形 三 个 内 角 的 和 等 于 180假 设巩 固 应 用三、深化应用 、:、,、, .、1、?、2、?定 理已 知 ： 如 图 ， l1 l2， l2 l3求 证 ： l l ll l l , l l , 则 过 点 P就 有 两 条 直 线 l 、 都 与 平 行 ， 这 与 “经 过 直 线 外 一 点 ， 有且 只 有 一 条 直 线 平 行 于 已 知 直 线 ”矛 盾 、证 明 ： 假 设 l 不 平 行 l ， 则 l 与 l 相 交 ,设 交 点 为 P.P所 以 假 设 不 成 立 ， 所 求 证 的 结 论 成 立 ，即 l l .深 化 应 用教师
8、带领学生先进行一定的分析，预设问题：（1）你首选的是哪一种方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？（3）能不用反证法吗？你准备怎样证明？分类讨论的方法（三直线的位置） 。教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，并指出本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理。（平行线传递性）定理：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条平行，那么和另一条也平行数学符号语言：直线 a，b，c 在同一平面内，ab，ac，bc，abc在运用反证法的过程，往往要仔细分析结论的反面，特别要注意语句的转换及表达。方法总结：证明一个命题是真命题有哪些方法?四、学以致用1、完成书本 P87 课内练习第 2 题.五、学习小结： 、:2、:、1、;假设命题不成立 引出矛盾 假设不成立 求证的命题正确、
