1、4.2 特殊平行四边形（第 5 课时）正方形一、教学目的1掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力 二、重点、难点1教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系 2教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用 三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例 1 是教材 P111 的例 4，例 2 与例 3 都是补充的题目其中例 1 与例 2 是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性
2、质例 3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习 1） ，为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？四、课堂引入1做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系问题：什么样的四边形
3、是正方形？正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： （1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）2 【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质五、例习题分析例 1（教材 P111 的例 4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形已知：四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O（如图）求证：ABO、BCO、CDO、
4、DAO 是全等的等腰直角三角形证明： 四边形 ABCD 是正方形， AC=BD， ACBD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分） ABO、BCO、CDO、DAO 都是等腰直角三角形，并且 ABO BCOCDODAO例 2 （补充）已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O，E 是 OB 上的一点，DGAE 于 G，DG 交 OA 于 F求证：OE=OF分析：要证明 OE=OF，只需证明AEODFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到 EAO=FDO，根据 ASA 可以得到这两个三角
5、形全等，故结论可得证明： 四边形 ABCD 是正方形， AOE=DOF=90，AO=DO （正方形的对角线垂直平分且相等） 又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF例 3 （补充）已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点作 l1l 2，作BMl 1 于 M， DNl 1 于 N，直线 MB、DN 分别交 l2 于 Q、P 点求证：四边形 PQMN 是正方形分析：由已知可以证出四边形 PQMN 是矩形，再证ABMDAN，证出 AM=DN，用同样的方法证 AN=DP即可证出 MN=NP从而得出结论证明： PNl 1，QM
6、l 1， PNQM， PNM=90 PQNM， 四边形 PQMN 是矩形 四边形 ABCD 是正方形 BAD=ADC=90，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 1+2=90又 3+2=90， 1=3 ABMDAN AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP即 MN=PN 四边形 PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形） 六、随堂练习1正方形的四条边_ _，四个角_ _，两条对角线_ _2下列说法是否正确，并说明理由对角线相等的菱形是正方形；（ ）对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）四条边都相等的四边形是正方形；（
7、 ）四个角相等的四边形是正方形 （ ）1 已知：如图，四边形 ABCD 为正方形，E、F 分别为 CD、CB 延长线上的点，且 DEBF求证：AFEAEF4如图，E 为正方形 ABCD 内一点，且EBC 是等边三角形，求EAD 与 ECD 的度数七、课后练习1 已 知 ： 如 图 ， 点 E 是 正 方 形 ABCD 的 边 CD 上 一 点 ， 点 F 是CB 的 延 长 线 上 一 点 ， 且 DE=BF求 证 ： EA AF2已 知 ： 如 图 ， ABC 中，C=90 ，CD 平分ACB ， DEBC于 E，DF AC 于 F求证：四边形 CFDE 是正方形3已 知 ： 如 图 ， 正 方 形 ABCD 中 ， E 为 BC 上 一 点 ， AF 平 分DAE 交 CD 于 F，求证：AE=BE+DFABC D EF
