1、1第 14 讲 函数的零点问题1.设 a 为实数,若函数 f(x)= - -a 存在零点,则实数 a 的取值范围是 . 3-x 1+x2.(2018 南京第一学期期末)若 m0,且关于 x 的方程(mx-1) 2-m= 在区间0,1上有且只有一个实数解,x则实数 m 的取值范围是 . 3.(2018 江苏泰州中学高三月考)若函数 f(x)=|2x-1|,则函数 g(x)=f(f(x)+lnx 在(0,1)上不同的零点个数为 . 4.(2018 江苏扬州中学模拟)已知函数 f(x)= 函数 g(x)=b-f(2-x),其中 bR,若函数2-|x|,x 2,(x-2)2,x2,y=f(x)-g(x
2、)恰有 4 个零点,则实数 b 的取值范围是 . 5.(2018 淮海中学模拟)已知函数 f(x)= g(x)=x2+1-2a,若函数 y=f(g(x)有x2-2ax-a+1,ln(-x), x 0,x0,任取 x1,x2t,t+2,若不等式|f(x 1)-f(x2)|1 对任意 t 恒成立,求 m 的取值范围.19,17.(2018 盐城伍佑中学期末考试)已知 g(x)=x2-2ax+1 在区间1,3上的值域是0,4.(1)求 a 的值;(2)若不等式 g(2x)-k4x0 在 x1,+)上恒成立,求实数 k 的取值范围;(3)若函数 y= +k -3k 有三个零点,求实数 k 的取值范围.
3、g(|2x-1|)|2x-1| 2|2x-1|2答案精解精析1.答案 -2,2解析 易知函数的定义域是-1,3,则 a= - 在-1,3上有解,且函数 y= -3-x 1+x 3-x,x-1,3递减,则 a-2,2.1+x2.答案 (0,13,+)解析 在同一坐标系中作出函数 y=(mx-1)2-m,y= 的图象,在区间0,1上有且只有一个交点,又 m0,x则 1-m0 或(m-1) 2-m1,解得 02,2,0 x 2,x2+x+2,x1 时,f(t)有两个零点 t1=-1,t21,要使函数 y=f(g(x)有 4 个零点,只要 1-2a1;当 1-a=0,a=1 时,f(t)有三个零点 t
4、1=-1,t2=0,t3=2,此时函数 y=f(g(x)有 5 个3零点,不符合题意,舍去;当 1-a0,a-1,要使函数 y=f(g(x)有 4 个零点,则 =4a 2+4a-40,且 a- 1-2a,解得 0,x20,mx2+2x-1=0当 m=0 时,x= ,符合题意;12当 m0 时,由 =4+4m=0,得 m=-1,符合题意.综上,m=0 或 m=-1.(2)当 x0 时,u=m+ 为减函数,2xm0,u0,y=lgu 为增函数,从而 f(x)在(0,+)上为减函数.任取 x1,x2t,t+2,|f(x 1)-f(x2)|1 对任意 t 恒成立,19,1f(t)-f(t+2)=lg
5、-lg 1 对任意 t 恒成立,(m+2t) (m+ 2t+2) 19,1m+ 10 对任意 t 恒成立,2t (m+ 2t+2) 19,1整理得,9mt 2+18(m+1)t-40 对任意 t 恒成立.19,1m0,y=9mt 2+18(m+1)t-4 在 t 上为增函数,19,1当 t= 时,y max= m+2(m+1)-40,解得 m .19 19 18197.解析 (1)g(x)=x 2-2ax+1=(x-a)2+1-a2在区间1,3上值域为0,4,若 1a3,则 g(x)的最小值为 g(a)=1-a2,令 g(a)=1-a2=0,得 a=1,a=1,此时 g(x)=(x-1)2,满足在区间1,3上值域为0,4;若 a3,则 g(x)在区间1,3上单调递减,g(x)的最小值为 g(3),令 g(3)=0,得到 10-6a=0,解得 a= ,舍去;534若 a-1,当 x1 时,t=|2 x-1|=2x-1,t 的范围为(1,+)且单调递增,t2-(3k+2)t+(2k+1)=0 有两个不同的实数解 t1,t2,函数有 3 个零点等价于 01,或 00,h(1)= -k0,h(1)= -k=0,00,而不等式组无实数解,所以实数 k 的取值范围是(0,+).
