1、奇偶性与单调性( 一)函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场() 设 a0,f(x)= xea是 R 上的偶函数，(1)求 a 的值；(2) 证明： f(x)在(0，+ )上是增函数.案例探究例 1已知函数 f(x)在(1，1) 上有定义，f ( 21)=1,当且仅当 00,1x 1x20， 120,又(x 2 x1)(1 x2x1)=(x21)(x 1+1)3a22a+1. 解之，得 01).(1)证明：函数 f(x)在( 1，+)上为增函数.(2)用反证法证明方程 f
2、(x)=0 没有负数根.6.()求证函数 f(x)= 23)1在区间(1 ，+)上是减函数 .7.() 设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x 1x 2)= )(1)(21xff；(ii)存在正常数 a 使 f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数 .(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是 4a.8.()已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、n R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f( 21)=0,当 x 21时，f(x )0.(1)求证：f(x) 是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切
3、xR,有 f(x)=f(x),即 xxaee1+aex.整理，得( a 1)(ex 1)=0.因此，有 a 1=0,即 a2=1,又 a0,a=1(2)证法一：设 0x 1x 2,则 f(x1)f (x2)= )1)(1212221 xxxeee21121)(xxee由 x10,x20,x2x1, 120,1e 21x0,f(x 1)f(x 2)0,即 f(x1)f(x 2)f(x)在(0,+)上是增函数证法二：由 f(x)=ex+e x，得 f(x)=e xe x=e x(e2x1).当 x(0,+) 时，e x0,e2x10.此时 f(x)0,所以 f(x)在0，+)上是增函数.歼灭难点训
4、练一、1.解析：f(x )= )0( )()0( 22 xxxx =f (x)，故 f(x)为奇函数.答案：C2.解析：f(x)= f(x ),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、3.解析：令 t=|x+1|,则 t 在 (,1 上递减，又 y=f(x)在 R 上单调递增，y= f(|x+1|)在(,1 上递减 .答案：(,14.解析：f(0)=f(x 1)=f(x2)=0, f(0)=d=0.f(x)=ax(xx 1)(x x2)=ax3a(x 1+x2)x2+ax1x2x，b=a( x1+x2),又 f(x)在x 2,+ )单调递增，故 a0.又知 0x 1x,得 x1+x20
5、,b=a( x1+x2)0.答案：(,0）三、5.证明：(1）设1x 1x 2+,则 x2x 10, 12xa1 且 1x0, )(212 xaa0,又 x1+10,x2+10 )1(3)1()(2)2(12 211 xxxx 0,于是 f(x2)f(x 1)= 12xa+ 12 0f(x)在(1，+）上为递增函数 .(2）证法一：设存在 x00(x 01) 满足 f(x0)=0,则 1200xa且由 0 0xa1 得0 12x 1,即 x 02 与 x00 矛盾，故 f(x)=0 没有负数根.证法二：设存在 x00( x01)使 f(x0)=0,若1x 00,则 120x2, 0xa1,f
6、(x0)1 与 f(x0)=0 矛盾，若 x0 1,则 200, 0xa0， f (x0)0 与 f(x0)=0 矛盾，故方程f(x)=0 没有负数根 .6.证明：x0,f( x)= 24232 )1()(1)( xx,设 1x 1x 2+,则 01,2122x. 21222122 )()(.0)()( xxx f(x 1)f(x2), 故函数 f(x)在(1，+）上是减函数.( 本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令 x=x1x 2,则 f(x)=f (x2x 1)= )(1)()(21212 xffxff =f(x 1 x2)= f(x).f(x )是奇函数.(2）要证 f(x+4
7、a)=f(x),可先计算 f(x+a),f(x+2a).f(x+ a)=fx(a)= )1()()1()1afxffff .).(1)(1)()()2( xfxfaxfxfxf f(x+4a)= f(x +2a)+2a= )2(1axf=f(x),故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数.8.(1）证明：设 x1x 2,则 x2 x1 ,由题意 f(x2x 1 )0,f(x 2)f(x 1)=f( x2x 1)+x1f(x 1)=f(x2x 1)+f(x1)1f(x 1)=f(x2x 1)1=f (x2x 1)+f( )1=f (x2x 1) 0,f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.
