1、实际问题与一元一次方程（二） （提高）知识讲解【学习目标】(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；(2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题 方程 解答由此可得解决此类 分 析抽 象 求 解检 验问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答 要点诠释：（1） “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系（2） “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数（3） “列”就是列方程，即列代数式
2、表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一（4） “解”就是解方程，求出未知数的值（5） “检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可（6） “答”就是写出答案，注意单位要写清楚要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）1利润问题 （1） =10%利 润利 润 率 进 价(2) 标价成本(或进价)(1利润率) (3) 实际售价标价 打折率(4) 利润售价成本(或进价 )成本利润率注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售2存贷款问题 （1）利息=本金利率期
3、数（2）本息和（本利和）本金利息本金本金利率期数本金(1利率期数)（3）实得利息=利息-利息税（4）利息税=利息利息税率（5）年利率月利率12（6）月利率年利率 123.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为 a，十位数字为 b， 则这个两位数可以表示为 10b+a4方案问题 选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论【典型例题】类型一、利润问题1文星商店以每支 4 元的价格进 100 支钢笔，
4、卖出时每支的标价 6 元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打 9 折出售，卖完时商店赢利 188 元，其中打 9 折的钢笔有几支?【答案与解析】解：设打折的钢笔有 x 支，则有：6(100-x)+690%x1004+188解得 x20答：打 9 折的钢笔有 20 支【总结升华】本题可以采用列表法分析问题：售价 数量 售出总价按标价出售 6 100-x 6(100-x)剩余的打折出售 690% x 690%x此外本题还可以这样列方程：(6-4)(100-x)+(60.9-4)x188，这是以利润作为相等关系来构建方程的，其结果一样举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 思考与研究 1】【变
5、式】某种商品的标价为 900 元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返 100 元现金.这样他仍可获得 10%的利润率（相对于进货价） ，问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）【答案】解：设此商品的进货价为 x 元，依题意，得：(9000.9-100)-x=10%x， 得： x= x645.5641答：此商品的进价约为 645 元.类型二、存贷款问题2某公司从银行贷款 20 万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为 15%(不计复利)，每个产品成本是 3.2 元，售价是 5 元，应纳税款为销售款的 10%如果每年生产 10 万个，并把所得利润(利润售价成本应纳税
6、款)用来偿还贷款，问几年后能一次性还清?【答案与解析】 解：设 x 年后能一次性还清贷款，根据题意，得(5-3.2-510%)10x 20+20 15%x解之，得 x2答：所以 2 年后能一次性还清贷款【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法，把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润售价成本应纳税款，产品的总利润等于本息和举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 贷款问题】【变式】小华父母为了准备她上大学时的 16000 元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为 2.88
7、%） ，上大学贷款的部分打算用 8 年时间还清（年贷款利息率为 6.21%） ，贷款利息的 50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？【答案】解：设小华父母用 x 元参加教育储蓄，依题意，x2.88%6=(16000-x)6.21%850%,解得, x 9436(元) 16000-9436=6564(元).答：小华父母用 9436 元参加教育储蓄，还准备贷 6564 元.类型三、数字问题3一个两位数，十位数字比个位数字的 4 倍多 1，将这两个数字调换顺序所得的数比原数小 63，求原数【答案与解析】 解：设这个两位
8、数的个位数字为 x，则十位数字为 4x+1根据题意得：10(4x+1)+x10x+ (4x+1)+63，解得 x2， 4x+142+1 9，故这个两位数为 92答： 这个两位数是 92【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个两位数，而不是两个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出 x 就答；（3）两位数的表示方法是 10 位上的数字乘以 10，把所得的结果和个位数字相加类型四、方案设计问题4某牛奶加工厂有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润 500 元，制成酸奶销售，每吨可获取利润 1200 元；制成奶片销售，每吨可获利润 2000 元，该工厂的生产能力是：如
9、制成酸奶，每天可加工 3 吨；制成奶片每天可加工 1 吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完毕为此，该厂某领导提出了两种可行方案：方案 1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案 2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好 4 天完成你认为选择哪种方案获利最多，为什么?【答案与解析】解：（1）若选择方案 1，依题意，总利润=2000 元4+500 元(9-4)=10500 元（2）若选择方案 2设将 x 吨鲜奶制成奶片，则用(9- x)吨鲜奶制成酸奶销售，依题意得， ，9413x解得 .5当 时， 1.5x97.5x总利润=
10、2000 元1.5+1200 元7.5=12000 元 1200010500， 选择方案 2 较好答：选择方案 2 获利最多，只要在四天内用 7.5 吨鲜奶加工成酸奶，用 1.5 吨的鲜奶加工成奶片【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程例如本题方案 2 中，设将 x 吨鲜奶制成奶片，则列表如下：每吨利润 吨数 工效 天数酸奶 1200 9x3 9x奶片 2000 1合计 9 4从表中能一目了然条件之间的关系，从而，得到等量关系举一反三：【变式 1】商场出售的 A 型冰箱每台售价 2190 元，每日耗电量为 1 度，而 B
11、 型节能冰箱每台售价比 A 型冰箱高出 10%，但每日耗电量却为 0.55 度现将 A 型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的 )，问商场将 A 型冰箱打几折，消费者买 A 型冰箱 10 年的总费用与 B10型冰箱 10 年的总费用相当(每年 365 天，每度电按 0.40 元计算)【答案】解：设商场 A 型冰箱打 x 折，依题意，买 A 型冰箱需 2190 元，10 年的电费是10x3651010.4 元；买 B 型冰箱需 2190(1+10%)元， 10 年的电费是365100.550.4 元，依题意，得：2190 +3651010.42190(1+10%)+365100.550.4x解得
12、：x8答：商场将 A 型冰箱打 8 折出售，消费者买 A 型冰箱 10 年的总费用与 B 型冰箱 10 年的总费用相当【变式 2】某市居民生活用电的基本价格为每度 0.40 元，若每月用电量超过 a 度，超出部分按基本电价的 70%收费(1)某户五月份用电 84 度，共交电费 30.72 元，求 a；(2)若该户六月份的电费平均每度 0.36 元，求六月份共用电多少度?应交电费多少元?【答案】解： (1)根据题意，得 0.40a+0.4070%(84-a)30.72解得：a60(2)设该户六月份共用电 x 度，因 0.360.40，所以 x60，于是超出部分电量为(x-60)度，依题意，得：0.4060+0.470% (x-60)0.36x解得：x90所以 0.36x0.369032.40 元答：(1)a60；(2)该用户六月份共用电 90 度，应交电费 32.40 元
