1、实际问题与一元一次方程（一） （基础）知识讲解【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路【要点梳理】知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题 方程 解答由此可得解决此类 分 析抽 象 求 解检 验题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答 要点诠释：（1） “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2） “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数；（3） “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方
2、程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4） “解”就是解方程，求出未知数的值（5） “检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6） “答”就是写出答案，注意单位要写清楚知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）1和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量原有量增长率，现有量原有量+增长量，现有量原有量-降低量（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等2行程问题（1）三个基本量间的关系： 路程=速度时间 （2）基本类型有： 相遇问题（或相向问题）：基本量及关系：相遇路程=速度和相遇时间寻
3、找相等关系：甲走的路程+乙走的路程两地距离追及问题：基本量及关系：追及路程=速度差追及时间寻找相等关系：第一， 同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程；第二， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离追者走的路程航行问题：基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度水流速度，顺水速度逆水速度2水速；寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析3工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为 1基本关系式：（1）总工作量=工作效率工作时
4、间；（2）总工作量=各单位工作量之和4调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑【典型例题】类型一、和差倍分问题12011 年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为 5.8 亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的 3 倍还多 0.6 亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?【答案与解析】设生产运营用水 x 亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米依题意，得 5.8-x3x+0.6解得 x1.35.8-x5.8-1.34.5（亿立方米）答：生产运营用水 1.3 亿立方米，居民家庭用水 4.5 亿立方米【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设
5、其中一个未知数为 x，另外一个用含 x 的式子表示本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量5.8 亿立方米举一反三：【变式】(麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱 2800 台，第一个季度销售量是第二个季度的 2 倍第三个季度销售量是第一个季度的 2 倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱 x 台，则第一季度销售量为 2x 台，第三季度销售量为 4x 台，依题意可得：x+2x+4x2800，解得：x400答：麻商集团第二个季度销售冰箱 400 台类型二、行程问题1.一般问题2小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走 4 千米，那么走完预订时
6、间离县城还有 0.5 千米，如果他每小时走 5 千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城试问学校到县城的距离是多少千米?【答案与解析】 解：设小山娃预订的时间为 x 小时，由题意得：4x+0.55(x-0.5)，解得 x3所以 4x+0.543+0 .512.5(千米)答：学校到县城的距离是 12.5 千米【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量举一反三：【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为 10 千米/时，下坡的速度为 20 千米/时，求汽车的平均速度【答案】解：设这段坡路长为 a 千米，汽车的平均速度
7、为 x 千米/时，则上坡行驶的时间为 小时，10a下坡行驶的时间为 小时依题意，得： ，20210aa化简得： 34ax显然 a0，解得 1答：汽车的平均速度为 千米/时32.相遇问题（相向问题） 【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 相遇问题】3 A、B 两地相距 100km，甲、乙两人骑自行车分别从 A、B 两地出发相向而行，甲的速度是 23km/h，乙的速度是 21km/h，甲骑了 1h 后，乙从 B 地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？【答案与解析】解:设甲经过 x 小时与乙相遇.由题意得： 231(1)0x解得，x=2.75答：甲经过 2.75 小时与乙相遇【总结升华】等量关系：甲
8、走的路程+乙走的路程=100km举一反三：【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距 45km 的两地相向而行，2 小时相遇，每小时甲比乙多走 2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?【答案】解：设乙每小时行驶 x 千米，则甲每小时行驶( x+2.5)千米，根据题意，得：2(.5)4x解得： 10（千米）.2.5答：甲每小时行驶 12.5 千米，乙每小时行驶 10 千米3.追及问题（同向问题）4一队学生去校外进行军事野营训练，他们以 5 千米/时的速度行进，走了 18 分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以 14 千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生
9、队伍?【答案与解析】解：设通讯员 x 小时可以追上学生队伍，则根据题意，得 ，184560得： ， 小时=10 分钟16x答：通讯员用 10 分钟可以追上学生队伍【总结升华】追及问题：路程差=速度差时间，此外注意：方程中 x 表示小时，18 表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位4.航行问题（顺逆风问题） 5一艘船航行于 A、B 两个码头之间，轮船顺水航行需 3 小时，逆水航行需 5 小时，已知水流速度是 4 千米/时，求这两个码头之间的距离【答案与解析】解法 1：设船在静水中速度为 x 千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得
10、方程：3(x+4)5(x-4)，解得：x=16，（16+4）3=60（千米） 答：两码头之间的距离为 60 千米解法 2：设 A、B 两码头之间的距离为 x 千米，则船顺水航行时速度为 千米/时，逆水航3x行时速度为 千米/时，由船在静水中的速度不变得方程： ，解得：5x 4560答：两码头之间的距离为 60 千米【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程类型三、工程问题6一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10 小时可以注满水池；甲管单独开15 小时可以注满水池，现两管同时注水 7 小时，关掉甲管，单独开乙管
11、注水，还需要几小时能注满水池?【思路点拨】视水管的蓄水量为“1” ，设乙管还需 x 小时可以注满水池；那么甲乙合注 1小时注水池的 ，甲管单独注水每小时注水池的 ，合注 7 小时注水池的 ，乙管每01570小时注水池的 15【答案与解析】 解：设乙管还需 x 小时才能注满水池由题意得方程： 170510x解此方程得：x9答：单独开乙管，还需 9 小时可以注满水池【总结升华】工作效率工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1” 举一反三：【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需 14 天，乙单独完成需 18 天，丙单独完成需 12 天，前 7 天由甲、乙两人合作，但乙
12、中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?【答案】解：设乙中途离开 x 天，由题意得117(2)48解得： 3答：乙中途离开了 3 天类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）7星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每 3m 长的某种布料可做上衣 2 件或裤子 3 条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用 750m 长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?【思路点拨】每 3 米布料可做上衣 2 件或裤子 3 条，意思是每 1 米布料可做上衣 件，32或做裤子 1 条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量【答案与解析】
13、解：设做上衣需要 xm，则做裤子为 (750-x)m，做上衣的件数为 件，做裤子的件数为23x，则有：7503x23750x解得：x450， 750-x750-450300(m)， （套）4230答：用 450m 做上衣，300m 做裤子恰好配套，共能生产 300 套【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数裤子的总件数举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 调配问题】【变式】甲队有 72 人，乙队有 68 人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的 .34解：设从甲队调出 x 人到乙队.由题意得，7268x解得，x=12.答：需要从甲队调出 12 人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的 .34
