1、高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 12 第一学期 第十二周 课程内容 2.1 曲线与方程2014-2015学年 高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 12 本阶段知识要点：了解曲线的方程和方程的曲线的概念，解决曲线方程和曲线交点的 问题.能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质. 解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科. 由于解析几何的特性这一点就决定了我们必须首先解决几何图形的“代数化”的问题.这 样才能使代数方法的使用有了可能.当然，一个
2、问题的两个方面是还要解决用代数方法研究 出来的各种结论如何“几何化”的问题. 曲线的方程及方程的曲线这两个概念就是解决这两个问题的依据. 曲线和方程是解析几何中最重要的也是最基础的概念. 我们在初中代数中已经学过了一次函数和它的图象之间的关系.必修 2 中也讨论了直线 与关于 x，y 的二元一次方程之间的关系.但是这些并没有真正解决用方程的代数方法研究 就可以准确无误地得到相应的曲线的几何性质. 曲线与方程之间的关系到底应该有什么样的 关系和要求这是作为一门学科的基础理论所必须解决的.也就是方程和曲线的概念提出的背 景. （一）曲线与方程的概念 数和形是两种不同的数学研究对象.建立怎样的联系才
3、能使它们更好的结合呢？解析几 何的创始人笛卡儿和费马提出了坐标系的工具. 在确定的平面直角坐标系中，平面上的点和一对有序实数对之间可以建立起一一对应 关系. 点 P 坐标（x，y） 建立平面直角坐标系高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 12 点 P 与（x，y）形成一一对应之后.点依某种条件运动形成曲线.那么对应于点的坐标 是应当接受什么样的制约呢？即是应当如何变化呢？对于点横坐标与纵坐标之间受到的某 种条件的约束将会使两个变量 x，y 的方程 f（x，y）=0 标志着横坐标 x 与纵坐标 y 之间 所受的约束，这时曲线与方程之间形成
4、了一一对应关系，它们之间应当满足以下的关系. （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解. （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 从而我们可以由上面的图表得到下面的新的图表. 点 P 坐标（x，y） 曲线 方程 f（x，y）=0. 为什么对曲线和方程之间的关系做如此之高的要求和规定呢，是为了保证曲线作为点 的集合与以方程的解作为坐标的点的集合是相等的，即保证曲线作为点的集合和方程的实 数解集之间存在一一对应关系.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的性质又反映在 它的曲线上.因此，才能达到通过方程研究曲线，利用曲线研究方程.这实际上
5、所反映的就是 解析几何的基本思想. 说明：曲线和方程概念中（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”阐明曲线上没有 坐标不满足方程的点.也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.这就是所谓的数 学的纯粹性.（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符合条件的所有的点都在 曲线上而毫无遗漏.这就是所谓的数学完备性.因此，我们可以认为只有同时具备了上述两个 性质，才能称为“曲线的方程”和“方程的曲线”. 建立直角坐标系高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 12 例如：过点 A（2，0）平行于 y 轴的直线 l 与方程|x|=2
6、之间的关系，只具备了“曲线 上的点的坐标都是这个方程的解”.而不具备“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”.因此 |x|=2 不是直线 l 的方程，l 也不是|x|=2 的直线. 例如：到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程 y=x 之间的关系.也只是具备了“以这个方程的 解为坐标的点都在曲线上”.而不具备“曲线上的点的坐标都是方程的解”这个条件. 事实上，到坐标轴距离相等的点的轨迹有两条是直线 l1 与 l2，直线 l1 上的点的坐标都 是 y=x 的解.但 l2 上的点（除坐标原点外）的坐标不是方程 y=x 的解. （二）求曲线的方程的方法和步骤 平面解析几何研究的主要问题是： （1）根据已知条
7、件求出表示平面曲线的方程. （2）通过方程研究平面曲线的性质，并画出曲线的图形. 对于曲线和方程而言我们主要研究的是第一个方面即根据已知条件求出表示平面曲线 的方程. A高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 12 求曲线方程就是把构成曲线的几何条件转化为动点的坐标（x，y）所适合的方程.具体 的步骤如下： （1）建立坐标系. 在求方程之前，必须建立坐标系.而在具体问题中有两种情况：一是所研究的问题已给 定了坐标系.实际上，是指题目中已经使用了坐标的表示了.这个时候我们只需在给定的坐标 系中来求方程即可.二是所研究的问题中没有确定坐标系而
8、研究具体的几何命题.实际上，是 指题目中没有使用坐标这个量.因此，这一类题目必须首先选取适当的坐标系.一般地采用把 定点选在坐标轴上，尽量使用对称等方法.坐标系选择的适当，可使运算过程简单，所得到 的方程的表示也较为简单. （2）设点 用（x，y）表示曲线上任意一点 M 的坐标，这样做的目的是用运动变化的观点把曲线 看作动点轨迹的体现. （3）列式 即把曲线适合的几何条件“转化”为代数条件，并用含 x，y 的等式表示出来，这是求曲 线方程中的各个步骤中最关键的一步.要仔细审题充分利用已知条件和曲线特征.抓住曲线上 动点坐标与定点坐标之间有关的相等的关系列出等式. （4）化简 把由列式过程中得到
9、的方程进行变换以取得较为简单的形式，在变换过程中平方或开 方等运算，当然要注意问题的等价性.高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 12 （5）证明 证明所得方程就是所求的曲线方程.实际上因为方程的推导过程中已经证明了点的坐标 是方程的解，所以只要证明以方程的解为坐标的点在曲线上即可.在多数的情况下，化简前 后方程的解集相同.因而所得的方程就是曲线方程.这一步可以省略.但是，若化简前后方程 的解集不相同，则应删去或增加丢失的解.使方程与曲线之间具备方程与曲线的完备性和纯 粹性. （三）曲线的交点 在解析几何中，曲线与方程相对应.求两条曲线
10、交点的几何问题.就可以转化为求相应两 个方程所组成的方程组的实数解的代数问题.这是因为两条曲线的公共点同时在两条曲线上, 所以公共点的坐标一定同时适合于两个曲线方程.也就是两个方程的公共解.反之，两个方程 的公共解，一定适合于两个方程.所以以这个解为坐标的点一定在这两条曲线上，也就是这 两条曲线的公共点. 因此，要知道两曲线有没有交点，或者求交点坐标，只要看方程组有没有实数解，实 数解是多少个，实数解的个数就是曲线的交点个数. 例 1：已知曲线 C：平面直角坐标系中第一三象限的平分线. 求证：曲线 C 的方程是 y=x. 证明： （1）设 P（x0，y0）是曲线 C 上任一点. 由角平分线的性
11、质，可知 P 点到两坐标轴的距离相等. |x0|=|y0|.高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 12 P 点在第一，三象限. 则 x0y00. 即 x0 与 y0 同号 x0=y0 即 P（x0，y0）的坐标是方程 y=x 的解. （2）方程 y=x 的任何一组解为： x=t y=t 而以（t，t）为坐标的点显然在曲线 C 上. 例 2：证明圆心为坐标原点，半径等于 5 的圆的方程是 x 2 +y 2 =25，并判断点 M1（3， . ) 2 , 5 2 ( , ) 4 2 是否在圆上 - - M 证明： . 25 , 5 . 5 .
12、 ) , ( ) 1 ( 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 = + = + y x y x M y x M 即 到原点的距离为 点 是圆上任意一点 设 Q . 5 : . 25 : . 25 ) 2 ( 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 2 2 = + = + = = = + y x y x y y x x y x 即为 即为 满足方程 的任意一组解为 设方程 即点 M（x0，y0）到原点距离等于 5，M 点在此圆上. 由（1）（2）可知，x 2 +y 2 =25 表示圆心在原点，半径为 5 的圆的方程. . , . , . ) 2 , 5 2 ( ), 4 , 3 ( 2 1 2
13、 1 2 1 不在圆上 在圆上 则知 不满足方程 满足方程 易知 分别代入方程 我们把 M M M M M M - - tR.高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 12 例 3：设两个定点 A、B 之间的距离为 4 求到 A，B 两点的距离的平方和是 16 的动点的轨 迹方程. 分析：题目没有出现点的坐标问题，因此，需要我们自己建立坐标系.而且应把 A，B 两点 设在坐标上且关于 y 轴对称. 解：以 A，B 的连线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立坐标系. . ) , ( , . 4 ) , ( : . 4 : , 16 )
14、 ) 2 ( ( ) ) 2 ( ( 16 | | | | ) , ( ) 0 , 2 ( ) 0 , 2 ( 4 | | 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 是方程的解 若 反之 的解 都是方程 的坐标 已得曲线上任一点 由以上证明过程可知 得到 再行化简 得 为轨迹上一点由已知可 设 y x Q y x y x P y x y x y x PB PA y x P B A AB = + = + = + - + + + = + - = Q . 4 : . ) , ( . 16 8 4 2 8 ) ( 2 ) 4 4 ( ) 4 4 ( ) ) 2 ( ( ) ) 2 ( ( | |
15、 | | 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + = + = + + = + + - + + + + = + - + + + = + = + y x y x Q y x y x x y x x y x y x QB QA y x 轨迹方程为 综合以上两点可知所求 也在轨迹上 即点 则有 Q 说明：（1）建立坐标系的方法不唯一，不同的坐标系可求得不同形式的方程.但这些方程 都是在相应的坐标系下的轨迹方程、证明方法是相同的.高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 12 （2）对于这个题目的反之部分
16、的证明过程可以省略.因为在推导过程中每一步的化简 都是使方程成为同解方程的. 例 4： . . 5 2 | | | | ). 0 , 3 ( ), 0 , 3 ( 点轨迹方程 求 是动点且 设 已知两定点 P PA PB P B A = - - 分析：这个题目与前面的例 1 不相同，它已经给出了点的坐标.实际上是必须在给定的坐标 系下进行对问题的讨论. 解：设 P 点的坐标为（x，y） ? . . ) 3 5 ( . 20 5 4 : , , 3 5 0 5 3 . 5 3 ) 3 ( 5 : ) 3 ( 5 2 ) 3 ( . 5 2 ) 3 ( ) 3 ( . 5 2 | | | | 2
17、2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 想一想为什么可省略 证明过程可略 以上所求就是轨迹方程 整理得 两边再平方继续化简 的条件下 即 在 两边平方并整理得 - - - - - = + + + + + = + - = + + - + - = - x y x x x x y x y x y x y x y x PA PB Q高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 12 例 5： . 2 1 2 3 2 所截得的线段的长 被曲线 求直线 x y x y = + = 解： 方法 1 0 ： . 2 4 )2 1 2 9( ) 1 3 (
18、 | | )2 9, 3 ( ). 2 1, 1 ( 2 9 3 2 1 1 2 3 3 , 1 2 1 2 3 2 2 2 2 1 1 2 1 2 = - + + = - = = = - = + = = - = = + = AB B A y x y x x y x x x y x y 直线与抛物线相交于点 再代入 代入化简解 方法 2 0 ： . 2 4 ) ( ) ( | | | | | | . 1 2 3 . 4 ) 3 ( 4 2 4 ) ( | | 3 2 : . 0 3 2 : 2 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 = - + - = - = - + = = - - = - + = - - = = + = - - = + = y y x x AB x x y y x y x x x x x x x x x x x x x y x y 的斜率为 直线 又 得 应用韦达定理 代入化简得 Q
