1、1.1.1 正弦定理,1. 复习三角形中的边角关系,1、角的关系 2、边的关系 3、边角关系,大角对大边,（一）任意三角形中的边角关系,（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角）,1、角的关系 2、边的关系 3、边角关系,？,2. 正弦定理,在直角三角形ABC中的边角关系有：,所以AD=csinB=bsinC, 即,同理可得,过点A作ADBC于D,此时有,(1) 若三角形是锐角三角形, 如图,且,可得,(2) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角,此时也有,交BC延长线于D,过点A作ADBC，,正弦定理 在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等.,?,(3) 外接圆法,C/,作三角形外接圆O
2、,过B作直径BC/,连AC/,3. 正弦定理的应用,一般的，把三角形的三个角A,B,C和它们 的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。,每个等式可视为一个方程：知三求一,注：,例1 在 中，已知 ，求b，a,已知两角和任一边，求其他两边和一角,变式训练：,（1）,在ABC中，已知b= ，A= ，B= ，求a。,（2）,在ABC中，已知c= ，A= ，B= ，求b。,解：,=,=,解：,=,又,例2 在 中，已知 ，求,解：由, 在 中, A B, A为锐角,已知两边与其中一边的对角，求其它边和角.,例 3,已知 a=16， b= ， A=30 解三
3、角形,解：由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,当120时,变式: a= , b= 16 , A=120解三角形,由于1200 +15001800,故B只有一解 （如图）,C=300,变式: a= , b= 16 , A=120解三角形,C=300,a b A B ,三角形中大边对大角,300,变式：在例 3中，将已知条件改为以下几种情况，角B的结果有几种？,（1） b20，A60，a203,（2） b20，A60，a103,（3） b20，A60，a15.,（1）在ABC中,B=1350,a=2,b= ,求A,大边对大角，故本题无解。,（2）在ABC中,A=450,a=2
4、,b= ,求B,（3）在ABC中,b= ,a=2,B=450,求A,（4）在ABC中,b= ,a= ,B=450,求A,或120o,练习,(5)下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （ ）,D,1. 已知两角及一边解三角形一定只有一解。,2. 已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、一 解或两解。,知识归纳：,（2）在 中，若 ， 则 是( )A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D等边三角形,（1）在 中，一定成立的等式是（ ）,C,D,练习,（4）在任一 中，求证：,证明：由于正弦定理：令,左边,代入左边，得, 等式成立,=右边,4.小结,隐含条件：,定理,两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,大边对大角,边角互化,5.作业:,
