1、2.4 二次函数的应用（2）目标指引1运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义2体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题3经历把实际问题的解决转化为 数学问题的解决的过程，学会运用这种“转化”的数学思想方法要点讲解1在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型2运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题来源:学_科_网学法指导来源:Z&xx&k.Com1当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取合适的变量，建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应注意两点：（1
2、）变量的取值范围；（2）求最值时，宜用配方法2有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，再利用函数最值的知识求函数值，并根据问题的实际情况作答例题 分析【例 1】如图，在ABC 中，B=90 ，AB=6cm ，BC=12cm，点 P 从点 A 开始，沿着 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动；点 Q 从点B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，设 P，Q 同时出发，问：（1）经过几秒后 P，Q 的距离最短？（2）经过几秒后PBQ 的面积最大？最大面积是多少？【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过 ts，显然 AP 和 BQ 的长度分别为 AP=t，
3、BQ=2t （0t6） PQ 的距离 PQ= = 因此，2BPQ25136t只 需求出被开方式 5t212t+36 的最小值，就可以求 P，Q 的最短距离【解】 （1）设经过 ts 后 P，Q 的距离最短，则：PQ= = = =2BPQ2(6)(t25136t2145()t经过 s 后，P ，Q 的距离最短65（2）设PBQ 的面积为 S，则 S= BPBQ= （ 6t）2t=6t t 2=9（t3） 212当 t=3 时， S 取得最大值，最大值为 9即经过 3s 后，PBQ 的面积最大，最大面积为 9cm2【注意】对于动点问题，一般采用“以静制动”的方法，抓 住某个静止状态，寻找等量关系在
4、求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围来源:Z&xx&k.Com【例 2】某高科技发展公司投资 1500 万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品，并投入资金 500 万元进行批量生产已知生产每件产品的成本为 40 元，在销售过程中发现：当销售单价定为 100 元时，年销售量为 20 万件；销售单价若增加 10 元，年销售量将减少 1 万件设销售单价为 x（元） ，年销售量为 y（万件） ，年 获利额（年获利额=年销售额生产成本投资）为 z（万元） 来源:学科网（1）试写 出 y 与 x 之间的函数关系式（不必写 出 x 的取值范围） ； 来源:Z,xx,k.C
5、om（2）试写出 z 与 x 之间的函数关系式（不必写出 x 的取值范围） ；（3）计算销售单价为 160 元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，销售单价还可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？（4）公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；第二年的年获利额不低于 1130 万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价 x（元）应确定在什么范 围？【分析】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设计成数学应用题，引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动，把实际问题抽象成数学问题，运用函数性质和方程知识来解题【解】 （1）依题意知：当销售单价定为 x
6、 元时，年销量减少 （x100）万件10y=20 （x100）= x+30010即 y 与 x 之间的函数关系式是 y= x+30（2）由题意可得：z=（30 x） （ x40）5001500= x2+34x32001010即 z 与 x 之间的函数关系式为 z= x2+34x3200（3）当 x=160 时，z= 1602+341603200=320，10320= x2+34x3200，即 x2340x+28800=0由 x1+x2= 得，160+x=340，x=180ba即得到同样的年获利额，销售单价还可以定为 180 元当 x=160 时，y= 160+30=14，10当 x=180 时
7、，y= 180+30=12所以相应的年销售量分别为 14 万件和 12 万件（4）z= x2+34x3200= （x170） 2310，1010当 x=170 时，z 取得最大值为310即当销售单价为 170 元时，年获利额最大，并且到第一年底公司还差 310 万元就可以收回全部投 资来源:学科网 ZXXK第二年的销售单价定为 x 元时，则年获利额为：来源:学科网 ZXXKz=（30 x） （x40 ）310= x2+34x1510 来源:学#科#网 Z#X#X#K1010当 z=1130 时，即 1130= x2+34x1510，解得 x1=120，x 2=220函数 z= x2+34x1510 的大致图象如图所示来源:学科网0来源:学科网 ZX XK由图象可看出：当 120x220 时，z1130第二年的销售单价应确定在不低于 120 元且不高于 220 元的范围内
