1、含有绝对值的不等式一、本讲进度6.5 含有绝对值的不等式课本第 20 页至第 23 页二、本讲主要内容含有绝对值的不等式证明三、学习指导1、绝对值的性质（1）基本性质：xR 时，|x|x，|x|-x；|x|a，或 xa2。（2）运算性质：|ab|=|a|b|， ，|a|-|ba|b|ab|a|+|b|，|a 1a2+an|a 1|+|a2|+|an|。（3）几何意义：|x-a|表示数轴上数 x，a 对应的两点之间的距离。2、与绝对值有关的不等式的证明，其方法仍是证明一般不等式的方法，如比较法、综合法、分析法等，但它除了涉及一般不等式的性质外，还经常用到刚才所介绍的绝对值的性质，特别是|a|-|
2、b|a|b|这一条性质。在利用绝对值的性质时，应根据不等号的方向进行合理的选择。3、含绝对值不等式的证明与解法有较大的差异，在解不等式中，主要是考虑如何去掉绝对值符号；而在证明中，一般不提倡去掉绝对值符号，当然，少数题目例外。四、典型例题【例 1】 设|a|0 知， 0)x( |xb|ax|ab2|b|2【例 5】 已知 f(x)=x2+ax+b， （1）求 f(1)-2f(2)+f(3)；（2）证明|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 。解思路分析：（1）f(1)-f(2)+f(3)=2；问题（2）的求解想办法利用（1）的结论。这是一个存在性的命题，因正面情形较多，难以
3、确定有几个，故采用反证法。假设|f(x)|1，|b|1，且 ab，求证： 1。|ba1|解题思路分析：本题用分析法较为方便。0)b1(a 0a1)ba(|ba1| 22 2222 |a|1，|b|1 a 21，b 21 1-a 20 原不等式成立【例 7】 设 x，yR，x 2+y21，求证：|x 2+2xy-y2| 。解题思路分析：也许有同学会这样解：|x2+2xy-y2|x 2|+|2xy|+|-y|2=x2+y2+2|xy|x 2+y2+x2+y2=2(x2+y2)2但放缩过度，不能满足本题要求。根据条件“平方和”的特征，考虑用三角换元法：令 x=rcos，y=rsin， |r|1则 |
4、x 2+2xy-y2|= r2|sin(2+ )| r24五、同步练习（一）选择题1、已知函数 f(x)=-2x+1 对任意正数 ，使得|f(x 1)-f(x2)|42、a，b 是实数，则使|a|+|b|1 成立的充分不必要条件是A、|a+b|1 B、|a| 且|b| C、a1 D、b|a-b| C、|a-b|0，命题甲；两个实数 a,b 满足|a-b|0 D、aba+b 的A、充分非必要条件 B、必要非充分条件C、充要条件 D、既非充分又非必要条件8、已知函数 f(x)=-2x+1，对于任意正数 ，使得|f(x 1)-f(x2)|33（二）填空题9、若|x+y|=4，则 xy 最大值是_。1
5、0、若 ab，a0，b0，则 _ （填、0，b0，c0）的两个实根 x1，x 2，求证：， 。ab|xc1ab|xc15、已知 f(x)在0。1上有意义，且 f(0)=f(1)，对于任意不同的 x1，x 20，1，都有|f(x 1)-f(x2)|1，求证：|1+ab|0， ，|x 1-x2|a+b|，|a-b|a+b|。4、D。 当 a，b 中有一个为零时，|a+b|=|a|+|b|，当 ab0 时，|a+b|=|a|+|b|。5、B。 |a-b|=|a-1-(b-1)|a-1|+|b-1|a|-1，|a-1|a+b ab-a-b+10 (a-1)(b-1)0 或 ，1ba，条件 结论。1ba
6、1|ba8、C。 类似于 1。（二）填空题9、 9 |x+y|=4 (x+y)2=16 x2+y2+2xy=16 x 2+y22xy x 2+y2+2xy4xy 164xy ，xy4 当且仅当 x=y=2 时，取得等号。10、 用比差法0)|b|a()|b|a(|b1| )|ab|)(|b|a( |)|a(|)|(|a|b|b|a| )|()|(|b|a|ba| 211、 |a+b|-|a-b|2|b| |a-b|a|-|b| -|a-b|b|-|a|又 |a+b|b|+|a|同向相加得：|a+b|-|a-b|2|b|12、 a3 欲使| x+2|+|x-1| b同理，|x 1| c ，a|x
7、bab|x215、证明：（1）当|x 1+x2| 时，|f(x 1)-f(x2) 时，不妨设 x1 ，x 2-x1则 |f(x 1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)|f(x 1)-f(0)|+f(1)-f(x2)|= (x1-0)+(1-x2)=1-(x2-x1)1 a 21 1-a 20，1-b 20 (a 2b2-1)(1-c2)0 a+b0 ab+cabc+1 +得：a+b+cabc+219、证明：用反证法设方程两根分别为 x1、x 2假设|x 1|1 x 12+ax1+b=0 x 1=-a- b |x 1|=|-a- |a|+ |a|+|b|1|xba|11|1与假设矛盾 |x 1|1同理，|x 2|1 原命题为真20、解：设选在第 x 号小朋友家，相连的两个门牌号码的房子间距离为 1，则所有小朋友所走的路程为d=|x-3|+|x-6|+|x-15|+|x-19|+|x-20|+|x-30|+|x-39|d|(x-3)+(x-6)+(x-15)+(x-19)+(x-20)+(x-30)+(x-39)|=|7x-132|x 取值应尽量使得|7x-132|=0由 7x-132=0，x= ，接近 19761832 x=19 选在第 19 位小朋友家，才能使得大家所走的路程和最短。
