1、第三章 线性系统的经典辨识方法,3.0 经典的辨识方法,常用的非参数模型 频率响应模型 以频率为自变量的实验曲线 脉冲响应模型 以单位脉冲信号作为激励信号的响应曲线，时间作为自变量 阶跃响应模型 以单位阶跃信号作为激励信号的响应曲线，时间作为自变量 常用的参数模型 输入输出模型 状态方程辨识方法的分类 非参数模型辨识方法经典辨识方法 参数模型辨识方法现代辨识方法,3.0 经典的辨识方法,非参数模型辨识方法即经典辨识方法 特点： 假定线性的前提下，不必事先确定模型结构，可适用于任意复杂的线性过程。 方法： 通过施加特定的实验信号，通过测定过程输出，可求得这些非参数模型。进而获得参数模型传递函数
2、参数模型辨识方法即现代辨识方法 特点： 形式简洁，辨识前一般需要有一定的先验知识 方法 它必须假定一种数学模型，通过极小化模型与过程之间的误差准则函数来确定模型的参数。若结构参数未知（阶次、纯延迟），则应用结构参数辨识方法先确定结构参数。(最小二乘类方法、梯度校正法、极大似然法),3.0 经典的辨识方法,主要有如下几种： 阶跃响应法 脉冲响应法 频率响应法 相关分析法 谱分析法,3.0.1 阶跃响应法,实验测取过程的阶跃响应 合理选择阶跃扰动信号的幅度。过小,测试结果不可靠，过大影响正常工作甚至危及生产安全。 试验开始前应处于稳定工况。并避免其它扰动。 考虑到实际系统的非线性，应在不同负荷、不
3、同设定值、不同极性下多次测定。至少有两条以上的曲线基本一致。,原理 u(t)=u1(t)+u2(t) 线性系统符合叠加原理 y(t)=y1(t)+y2(t)=y1(t)-y1(t-t) y1(t)=y(t)+ y1(t-t),3.0.2 矩形脉冲法,用逐段递推的作图法，即可得到阶跃响应 y1(0)=y(0) y1(1)=y(1) y1(2)=y(2)+y1(1) y1(3)=y(3)+y1(2) y1(4)=y(4)+y1(3),3.0.3 由阶跃响应确定近似传递函数,方法 近似法 半对数法 切线法 两点法 面积法 阶跃响应只能确定较简单的传递函数。 当阶跃响应曲线比较规则时，近似法，半对数法
4、、切线法、两点法都能比较有效地导出传递函数。,3.0.3 由阶跃响应确定近似传递函数,一阶惯性环节加纯延迟(切线法) K由输入输出稳态值直接确定，和T由拐点作切线确定。 切线法作切线时随意性很大，故精度很差，一般只用于粗略估计。,3.0.3 由阶跃响应确定近似传递函数,一阶或n阶惯性环节加纯延迟（两点法）K的确定同切线法 将y(t)转换成无量纲形式0 t=,给定t1、t2两点 得到两个方程，解出两个和T。 为方便可取y*(t1)=0.39，y*(t2)=0.63得T=2(t2-t1) ，=2*t1-t2 可再取两个点进行进行校验，以提供数据的可靠性。,3.0.3 由阶跃响应确定近似传递函数,无
5、延时二阶系统 G(s)=1/(T1s+1)(T2s+1) 阶跃响应：y2*(t)=1 - T1/(T1-T2) * exp(-t/T1) - T2/(T2-T1) * exp(-t/T2) 两个点确定两个方程，解两个变量T1、T2。,3.0.4 脉冲响应确定传递函数,由脉冲响应确定传递函数 一阶系统K G(s)=-Ts+1g(t)=K/T . e-t/Tlog(g(t)=log(K/T )-t/T,3.0.4 脉冲响应确定传递函数,由脉冲响应确定传递函数 二阶系统02 G(s)=-s2+20s+02,A(+)为正面积之和，A()为负面积之和,01,3.1用M序列辨识线性系统的脉冲响应(相关法）
6、相关法：根据维纳-霍夫积分方程，利用输入信号的自相关函数和输入与输出的互相关函数确定系统脉冲相应的方法。采用白噪声作为实验信号，利用相关法可以很容易地确定系统的脉冲响应。由于理想的白噪声难以获得，采用周期性的伪随机信号作为输入信号可以使计算变得简单.利用M序列，由维纳-霍夫积分方程可得,(3.1.1)两端进行积分可得,即,解出 为（3.1.7）或（3.1.8）式中（3.1.9）可近似计算（3.1.10）,计算：设系统的采样周期与M序列的时钟脉冲间隔 相同，为 的整数倍，则有(3.1.11)(3.1.12),可按式（3.1.12）计算Rxy() ，也可把x(i) 改写成式中sgn表示符号函数，于
7、是,为了提高计算互相关函数的准确度，可以多输入几个二电平M序列，利用较多的输出值计算互相关函数。一般地，输入r+1个周期二电平M序列，记录r+1个周期输出的采样值，则(3.1.15),对应于不同的 值，上面的算法每次只能计算出脉冲响应g()的1个离散值。要想获得g() 的N个离散值，则需要计算N次。下面给出能够1次计算g() 的N个离散值的计算公式。由连续的维纳-霍夫积分方程（3.1.16）可得离散的维纳-霍夫方程（3.1.17）式中= 。,则式（3.1.17）可写为设,则根据式（3.1.18）可得（3.1.21）在一般情况下，求逆阵很麻烦，但对于M序列来说，计算 R-1 比较容 易。二电平M
8、序列的自相关函数为(3.1.22),由式（3.1.22）和式（3.1.20）可得（3.1.23）这是一个N阶方阵，其逆阵为(3.1.24),把式（3.1.24）代入式（3.1.21）可得（3.1.25）可以表示为（3.1.26）式中 。,设（3.1.27）,则根据式（3.1.26）可得（3.1.28 ）于是有 （3.1.29）用M序列做实验时，利用式（3.1.29）在计算机上离线计算，一次可求出系统脉冲响应的N个离散值 。这种算法的缺点是数据的存储量大。为了减少数据的存储量，可采用递推算法。,设进行了m次观测， 。由m次观测值得到的 用 来表示，则 (3.1.30)上式为互相关函数的递推公式，
9、可根据m-1次观测所求得的 及新的观测数据 和 ,按式(3.1.30)递推地计算出 。由式(3.1.25)得,(3.1.31)考虑到式（3.1.30），则有（3.1.32）,（3.1.33）按递推公式（3.1.33），可从 gm-1 及新的观测数据得到gm ，随着观测数据的增加， gm 的精确度不断提高。所以可利用式（3.1.33）对脉冲响应进行在线辨识。,3.2用脉冲响应求传递函数利用脉冲响应可以求连续系统的传递函数和离散系统的脉冲传递函数。3.2.1 连续系统的传递函数G（s）任何一个单输入-单输出系统都可以用差分方程来表示。若系统的输入为 函数，则输出为脉冲响应函数g(t) 。因 函数只
10、作用于t=0时刻，而在其它时刻系统的输入为0，故系统的输出是从t=0开始的脉冲响应函数g(t)。如果采样间隔为 ，并设系统可用n阶差分方程表示,则,(3.2.1)式中 为待定的n个常数。根据式（3.2.1），将时间依次延迟 ，可写出n个方程，即 联立求解上述n个方程，可得差分方程的n个系数 。,任何一个线性定常系统，如果其传递函数G(s)的特征方程根为 ，则其传递函数可表示为（3.2.2）式中 和 为待定的2n个未知数，对式（3.2.2）求拉普拉斯反变换，可得系统的脉冲响应函数（3.2.3）则 时刻的脉冲响应函数分别为,（3.2.4）将式（3.2.1）中 的换成t,并将式(3.2.3)和式(3
11、.2.4)代入其中,可得(3.2.5)欲使式（3.2.5）成立，应令各方括号内的值为0，,即（3.2.6） 令 ，则式（3.2.6）可以写为（3.2.7） 解式（3.2.7）可得x的n个解 。设 (3.2.8) 则有（3.2.9）,至此，已将 求出，下面求 。根据式（3.2.3）、式（3.2.4）和式（3.2.8）可得（3.2.10）解上述方程组可得 。把求得的 和 代入所假定的传递函数式（3.2.2）中，即得所求的传递函数G(s)。,例3.1 设原系统具有二阶传递函数其脉冲响应为设采样间隔 ，g(t)的前4个值如表3.1所列，试用辨识方法求系统传递函数。表3.1 采样间隔时的g(t)值,解
12、根据已知条件得到解之得由式（3.2.7）得解之得由（3.2.9）相应的系统极点为,因此脉冲响应可写成令 ，可得方程组解之得因而所求的传递函数为所求得的传递函数与真实的传递函数非常接近。,3.2.2 离散系统传递函数脉冲传递函数 设系统脉冲传递函数形式为（3.2.11） 根据脉冲传递函数的定义可得（3.2.12） 式中 为采样间隔。因而有（3.2.13）,用上式左边的分母分别乘其等号两边得（3.2.14）令上式等号两边 同次项的系数相等，当 的次数从0到n时可得向量矩阵方程(3.2.15),当 的次数从n+1到2n时可得（3.2.16）上式等号左边的矩阵称为汉克(hankel)矩阵。因为式（3.2.16）中Hankel矩阵的秩为n，故方程有解，可求得脉冲传递函数中分母的各未知系数 。把求得的 代入式(3.2.15), 可求得脉冲传递函数中分子的各未知系数。,如果求得的脉冲响应序列g(i)不是很准确，则可用更多的g(i)序列，用最小二乘法来求 。例 3.2 设采样间隔 ，系统的脉冲响应g(i)如表3.2所列，求系统的脉冲传递函数。 表3.2 系统脉冲响应,解 设系统的脉冲传递函数为将g(1)，g(2)，g(6)代入式（3.2.16）得解上式得将g(0)至g(3)及 代入式（3.2.15）并解之，,可得于是得脉冲传递函数,
