1、数 学简单的线性规划及其实际应用【基础知识导引】1方程 x+y+1=0 在平面直角坐标系中，表示一条直线，那不等式 x+y+10 在平面直角坐标系中表示什么呢？2如何确定一个点在某条直线的右（或左）上方？3如何求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值？4如何用图解法可求几个变量的线性规划问题的最优解？5常见的线性规划问题有哪些？你能列举一些线性规划在生产生活中的实际应用的例子或模型吗？【重点难点解析】本两节介绍了二元一次不等式表示平面区域、简单的线性规划问题以及线性规划的实际应用，重点是二元一次不等式表示平面区域，而难点则是应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。1关于二元一次不等式表
2、示平面区域直线 1：y=kx+b 把平面上的点分成三类：在直线 1 上方的点；在直线 1 下方的点，其中 ykx+b 表示直线上方的半平面区域，y0 在直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧的所有点组成的平面区域，对于在直线 Ax+By+C=0 的同一侧的所有点（ x，y） ，实数 Ax+By+C 的符号都相同，故只需在此直线的某一侧任取一点 )(0x， （常取（0，0） ，将它的坐标代入Ax+By+C，由其值的符号可判定 Ax+By+C0 表示直线的那一侧，事实上，这就是所谓的“同侧同号，异侧异号”的符号法则，它闪现了数形结合思想方法的光芒。2关于线性规划问题求线性目标函数的线性约
3、束条件下的最值问题，便是线性规划问题。线性规划问题，一般条件比较繁，因此列出线性约束条件及目标函数往往较为困难。求线性目标函数在线性约束条件下的最值的一般步骤是：列出线性约束条件及写出目标函数；求出线性约束条件所表示的平面区域；通过平面区域求出满足线性条件下的可行解；用图形的直观性求最值；检验由求出的解是最优解或最优解的近似值或符合问题的实际意义。线性规划的实际问题，主要涉及以下常见类型；物资调运问题求怎样编制调运方案，能使总运费最少；产品安排问题求如何组织生产，能使利润最大；下料问题求如何下料，能使损耗最少，利用率最高。应用线性规划的图解方法，一般必须具备下列条件：能够将目标函数表示为最大化
4、或最小化的要求；要有不同选择的可能性存在，即所有可行解不止一个；所求的目标函数是约束条件的；约束条件应明确地表示为线性不等式或等式；约束条件中所涉及的变量不超过两个。【难题巧解点拨】例 1 画出不等式 2x3y+60 所表示的平面区域。解先画出直线 2x3y+6=0 （画成虚线）取原点（0，0） ，代入 2x3y+6=0 中，因为2030+60，所以，原点在不等式 2x3y+60 所表示的平面区域内，不等式 2x3y+60 所表示的平面区域如图 11 所示。点悟：教科书中有这样的一段叙述：“由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点（x，y）来说，把它的坐标（x，y）代入 Ax+By+C
5、 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 )(0yx， ，从 CByAx0的正负即可判断Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域，特殊地，当 C0 时，常把原点作为此特殊点。”这里强调了这样的一个重要的事实：在直线一侧所有的点都使 Ax+By+C 同号，另外，由于原点的代入，数值计算相对来说较简单，故当 C0 时，取原点作为特殊点来判断Ax+By+C 的符号，那应该是最方便的，当 C=0 时，因原点已在直线 Ax+By+C=0 上，故不能通过原点来判断 Ax+By+C 的符号，此时其值恒为 0。例 2 用不等式组表示图 12 中的阴影部分（含边界） 。解首先求出各条边所
6、在的直线方程。可以用两点式直接写出各边的方程。AB：6x+y+15=0；BC：x2y4=0；CD：2x+y8=0 ； DA：x+6y15=0。原点（0，0）在直线 AB 的右方，将（0，0）代入60+0+150，所以，直线 AB 的右半平面区域为：x+y+150，同理，直线 BC 的上半平面区域为：x2y40，直线 CD 的左半平面区域为：2x+y80，直线 DA 的下半平面区域为：x+6y150 。故所求的不等式组为.0156,82,yx点悟：必须注意这里用的是“” 、 “” ，而非“” 、 “” ，它们的唯一的区别就是前者表示的区域包括边界，后者表示的区域不包括边界。例 3 北京华欣公司计
7、划在今年内同时出售 “夜莺牌多功能 ”电子琴和“OK 智能型”洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就有销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力等）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品有关数据如下表：单位产品所需资金（百元）资金电子琴 洗衣机月资金供应量（百元）成本 30 20 300劳动力（工资） 5 10 110单位利润 6 8试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？解设电子琴和洗衣机月供应量分别为 x 架、y 台，总利润为 百元，根据题意，有.,10532,Nyxyx
8、=6x+8y，作出以上不等式组所表示的平面区域，即图 13 中的阴影部分，作动直线=6x+8y，如图中的虚线部分，显然当动直线过图中的 M 点时， 取最大值。解方程组 105032yx得 M（4，9）即当供应量为电子琴 4 架、洗衣机 9 台时，公司可获最大利润，最大利润是46+89=96（百元） 。【拓展延伸探究】例 1 预算有 2000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌椅的总数量尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子和椅子各购买多少？分析这是生活实际中的一个物资采购问题，可归结为线性规划问题，利用图解法进行求解。解设桌子和椅子各购买
9、x、y 张，则 x、y 必须满足线性约束条件.,205,Nyxyx其目标函数 z=x+y。由 ,205,yx解得 .720,yx故图 14 中点 A 的坐标为)720(，。由 205.1yx解得 275yx故图中点 B 的坐标为)275(，。满足以上条件的可行域为如图所示的阴影部分（包括边界和内部） ，以 A、B、O 为顶点三角形区域。动直线 z=x+y 表示斜率为1，在 y 轴上的截距为 z 的直线，如图所示的虚线，当动直线运动到如图所示的 B 点时， z 的取值最大，此时 x=25， 275y。但由于 x、y 的取值均为整数，故 y 应取 37，即购买 25 张桌子、椅子 37 张，是最优
10、选择。点悟：由于本题是一个实际问题，当求得最优解)5(，后，显然它不满足题意，故应取最优解的近似值，这便是实际问题与一般的非应用问题的最大区别。例 2 私人办学是教育发展的方向，某人准备投资 1200 万元举办一所中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）：市场调查表班级学生数配备教师数硬件建设费（万元）教师年薪（万元）初中 50 2.0 28 1.2高中 40 2.5 58 1.6根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费，初中每生每年可收取 600 元，高中每生每年可收取 1500 元。因生源和
11、环境等条件限制，办学规模以 20 至 30 个班为宜（含 20 个与 30 个） 。教师实行聘任制。初、高中的教育周期均为三年。请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？分析这是一道线性规划问题，可假设初中编制为 x 个班级，高中编制为 y 个班级，利用题设先列出不等式组，求出目标函数，然后画出它在直角坐标平面内所表示的区域，利用图形法加以求解。解设初中编制为 x 个班，高中编制为 y 个班。则依题意有Nyx,12058230（）又设年利润为 s 万元，那么s=（50600 10000）x（40150010000）y-2.4x-4y，即 s=0.6x+2y。现在直角
12、坐标系中作出（）所表示的可行域，如图 15 所示。问题转化为在如图 15 所示的阴影部分中，求直线 s =0.6x+2y 在 y 轴上的截距的最大值，如图，虚线所示的为一组斜率为0.3 的直线，显然当直线过图中的 A 点时，纵截距sy21取最大值。解联立方程组.058,3yx得.12,将 x=18，y=12 代入 s 中得， 8.34max。设经过 n 年可收回投资，则第 1 年利润为 65060010000621.244015001000042.51.6=11.6（万元） ；第 2 年利润为 211.6=23.2（万元） ，以后每年的利润均为 34.8 万元，故依题意应有 11.6+23.2
13、+34.8（n2）=1200 。解得 n35.5。故学校规模以初中 18 个班、高中 12 个班为宜，第一年初中招生 6 个班约 300 人，高中招生 4 个班约 160，从第三年开始年利润为 34.8 万元，约经过 36 年可以收回全部投资。点悟：读懂问题，正确理解“教育周期为三年”的含义（办学第三年，学校班级数才达到正常的办学规模；而刚开办的第一年和第二年中，都有班给空缺） ，正确理解表格所赋予的内含，是解题的关键，另外，这是一个实际问题，最后对 n 的取值应采用“进 1 法” ，而不应采用“舍尾法” 。例 3 已知函数 caxf2)(满足4f（1）1，1f（2）5，试求 f（3）的取值范
14、围。分析由4f （1）1，1f （2）5，可求出 a、c 的可行域，然后将 f（3）表示成关于 a、c 的目标函数，即就是求该目标函数的最大值与最小值。解由4f（1）1，得4ac1，由1f（2）5，得1 4ac5。作出它们的可行域如图 16 阴影部分所示（含边界） 。目标函数 f（3）=9ac，它表示斜率为 9，在 c 轴的截距为f（3）的直线。由 .14,a解得 A（0，1） 。由 5,c解得 B（3，7 ） 。由图可知，当动直线过点 A 时，f （3）取最小值为1；当动直线过点 B 时，f （3）取最大值为 20。故 f（3）的取值范围为1，20。点悟：常有如下“解法”：由4f（1）1，得
15、4 ac1，于是 1ca 4。 由1f（2）5，得1 4ac5。 +，得 03a9，故 0a3。4+，得 33c21，故 1c7。于是，f（3）=9ac，当 a=3、c=1 时取最大值为 26，当 a=0、c=7 时取最小值为7。故 f（3）的取值范围为7，26。试分析以上的解答，是正确的还是错误的？为什么？【命题趋势分析】对于 Ax+By+C0 或 Ax+By+C（0 B0 表示直线 Ax+By+C=0 的上方区域 表示直线 Ax+By+C=0 的下方区域Ax+By+C（0 A0 表示直线 Ax+C=0 的右侧区域 表示直线 Ax+C=0 的左侧区域Ax+C0 表示直线 Ax+C=0 的左侧
16、区域 表示直线 Ax+C=0 的右侧区域【同步达纲练习】1下列命题正确的是（ ）A线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量 x 或 y 的值B线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值C线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解2设 E 为平面上以 A（4，1 ） ，B（-1，-6 ） ，C （-3 ，2）为顶点的三角形区域（包括边界） ，则 z=4x-3y 的最大值与最小值分别为（ ）A14，-18 B-14 ，-18C18，14 D18，-143不等式|x| y2|x| 所表示的平面区域（均含
17、边界）为图 17 中的（ ）4若不等式 ax+（2a-1）y+10 表示直线 ax+（2a-1）y+1=0 的下方区域，则实数 a 的取值范围为_。5某工厂可以制造三种产品，每单位产品分别获利润 10 元，6 元，4 元，每件产品生产需要消耗原材料 1 个单位，劳动力消耗分别为 10 个，4 个，5 个，设备消耗工时分别是 2小时，2 小时，6 小时，现有原料 100 个单位，劳动力 600 个，设备可利用工时为 300 小时，试建立使总利润达到最大的生产利润模型。6家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有
18、 8000 个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有 1300 个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是 15 元和 20 元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润？7某厂能够生产甲、乙两种产品，已知生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如表所示，但是国家每天分配给该厂的煤和电力有限制，每天供煤至多 56 吨，供电至多 45 千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日值最大？用煤（吨） 用电（千瓦） 产值（万元）甲种产品 7 2 8乙种产品 3 5 118在约束条件：2x+5y10，2x3y6，2x+y10 下，求 2yxz的最小值。
19、参考答案【同步达纲练习】1D （点拨：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，是线性规划问题，满足线性约束条件的解叫可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域，使目标函数取得最大值或最小值的可行解便是最优解）2A （点拨：当动直线 z=4x3y 通过点 B 时，z 取最大值，通过点 C 时，z 取最小值）3A （点拨：可取特殊点法进行判断排除）41a（点拨：因直线 ax+（2a1）y+1=0 恒过定点（2，1） ，而显然点（2，0）在点（2，1）的下方，故它应满足不等式，将点（2，0）代入不等式，即得2a+10。 ）5设 x、y、z 分别是三种产品的计划制造产品，则约束条件为.,03
20、62,4Nzyx、 、，求 =10x+6y+4z 的最大值。6生产 200 把椅子、900 张书桌可获得最大利润 21000 元（点拨：设每星期生产 x 把椅子、y 张书桌，那么利润 P=15x+20y，而 x、y 必须满足约束条件： .0,13284yx在直角坐标系内作出它的表示的区域，它围成一个封闭的四边形，其四个顶点分别为（0，0） ，（650，0） ， （200，900） ， （0，1000） ，而直线 P=15x+20y，当 P 变化时，它是一组斜率为43的平行直线，当纵截距最大时，利润亦最大，在上述区域内平行移动的直线，易见当直线过点（200，900）时，P 值最大。 ）7每天生产
21、甲种产品 5 吨，乙种产品 7 吨，日产值到达最大值 117 万元（点拨：设每天生产甲种产品 x 吨，乙种产品 y 号，则 7x+3y56，2x+5y45，x、y0，目标函数z=8x+11y，作出线性约束条件所表示的平面区域，即可求得当 x=5，y=7 时，z 取最大值117 万元）8线性约束条件 2x+5y10，2x3y6，2x+y10 所表示的区域恰好围成一个三角形区域（含边界） ，其三个顶点为（5，0） ， （3，4） ， （0，2） ，而 2yx表示原点到点（x，y）距离 d 的平方，故问题等价于原点到可行域内的点的距离 d 的平方的最小值，由图形不难得出当 d 为原点到直线 2x+5y=10 的距离时，所求值最小，故最小值为29152|。
