1、20.4 正方形的判定一、选择题1下列命题正确的是（ ）A两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形B两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形D一组邻边相等的平行四边形是正方形2矩形四条内角平分线能围成一个（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形二、填空题3已知点 D，E，F 分别是ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，连结 DE，EF，要使四边形ADEF 是正方形，还需要添加条件_4如图 1 所示，直线 L 过正方形 ABCD 的顶点 B，点 A，C 到直线 L的距离分别是 1和 2，则正方形 ABCD 的边长是_图 1 图 2 图 35如图
2、2 所示，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在 BC 的延长线上，BE=BD 且 AB=2cm，则D ACFEBE 的度数是_，BE 的长度为_6如图 3 所示，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，BE=1，F为 AB上一点，AF=2，P 为 AC 上一动点，则当 PF+PE 取最小值时，PF+PE=_三、解答题7如图所示，在 Rt ABC 中，CF 为ACB 的平分线，FDAC 于 D，FEBC于点 E，试说明四边形 CDFE 是正方形四、思考题8已知如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 边上的点，且 AE=BF，请问：（1）AF 与 DE 相等吗
3、？为什么？（2）AF 与 DE 是否垂 直？说明你的理由参考答案一、1C 点拨：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形，故选 C2D 点拨：由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判定二、3ABC 是等腰直角三角形且BAC=90点拨：还可添加ABC 是等腰三角形且四边形 ADEF 是矩形或BAC=90且四边形 ADEF是菱形等条件4 点拨：观察图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得5正方形的边长为 = 215567.5；2 cm 点拨：因为 BD 是正方形 ABCD
4、 的对角线，所以DBC =45，AD=AB=2cm在 RtBAD 中，由勾股定理得 AD2+AB2=BD2，即 22+22=BD2，所以 BD=2 cm，所以 BE=BD=2 （cm） ，22又因为 BE=BD，所以E=EDB= （180-45）=67.516 点拨：如图所示，作 F 关于 AC 的对称点 G连结 EG 交 AC 于 P，17则 PF+PE=PG+PE=GE 为最短过 E 作 EHAD在 RtGHE 中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以 GE= = ，即 PF+PE=241717三、7解：因为FDC=FEC=BCD=90，所以四边形 CDFE 是矩形，因为 CF
5、平分ACB，FEBC，FDAC，所以 FE=FD，所以矩形 CDFE 是正方形点拨：本题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，还可以先说明其为菱形，再求其一个内角为 90四、8解：（1）相等理由：在ADE 与BAF 中，AD=AB，DAE=ABF=90，AE=BF，所以ADE BAF（SAS ） ，所以 DE=AF（2）AF 与 DE 垂直理由：如图，设 DE 与 AF 相交于点 O因为ADEBAF，所以AED=BFA又因为BFA+EAF=90，所以AEO+EAO=90，所以EOA=90，所以 DEAF20.4 正方形的判定 B 卷一、七彩题1 （一题多解题）如图所示，P，Q，R，S 分别
6、是正方形 ABCD 各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为 5，求大正方形 ABCD 的边长二、知识交叉题2 （科内交叉题）如图所示，在ABC 中，点 O 是边 AC 上的一个动点，过点 O 作直线MNBC，设 MN 与BCA 的平分线 CE 相交于点 E，与BCA 的外角平分线 CF相交于点 F（1）EO 与 FO 的长度相等吗？说明理由；（2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？说明理由；（3）若要使四边形 AECF 成为正方形，则ACB 的度数应为多大？三、实际应用题3今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的 4 部分，
7、若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案（在给出的三张正方形图纸上，如图，分别画图 ，并简述画图步骤） 四、经典中考题4 （莆田）如图所示，大正方形网格是由 16 个边长为 1的小正方形组成，则图中阴影部分的面积是_ 五、探究学习1 （规律探究题）如图所示，正方形 ABCD 的对角线相交于 O 点，点 O是正方形ABCO 的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于 1，那么正方形 ABCO 绕顶点 O 转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？说明理由2 （条件开放题）如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F（1）求证：DE=DF；（
8、2）只添加一个条件，使四边形 EDFA 是正方形（不另外添加辅助线，无需证明） 3如图所示，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以对角线 AC 为边作第二个正方形ACEF，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去（1）记正方形 ABCD 的边长为 a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a 3，a 4，a n，请求出 a2，a 3，a 4的值（2）根据以上规律写出 an的表达式参考答案一、1解法一：如图所示，设 AQ，SC 与 DP，BR 分别相交于点 E，H，F，G因为1+2=90，3+2=90，所以1=3在DAE 与CDF 中，1=3，AED=DFC=90
9、，AD=CD，所以DAECDF（AAS ） ，所以 AE=DF同理可得 BH=CG=DF=AE又因为 SFAE，AS=SD，所以 EF=DF，同理可得 AE=EH=BH=HG=CG=FG=DF=EF又因为 S 正方形 EFGH=5，所以 EF= 所以 AE= ，DE=2 55在 RtAED 中，由勾股 定理，得 AE2+DE2=AD2，即（ ） 2+（2 ） 2=AD2，5所以 AD=5即大正方形 ABCD 的边长为 5解法二：如图，延长 FS，过点 A 作 AMFS 于点 M把DFS 绕 S 点逆时针旋转 180到AMS 的位置，易得四边形 AEFM 是正方形用同样的方法又得到三个小正方形，
10、所以 S 正方形 ABCD=5S 正方形 EFGH=55=25所以 AD=5即大正方形 ABCD 的边长为 5 点拨：解法一用一般的逻辑推理，而解法二从旋转角度去考虑，简单易懂旋转不改变图形状和大小这一性质用许多推理与计算中有较大的 用处二、2解：（1）EO 与 FO 的长度相等理由：因为 EC 平分ACB，所以OCE=BCE又因为 EFBC，所以OEC=BCE，所以OCE=OEC，所以 OE=OC同理可得 OF=OC，所以 OE=OF （2）当点 O 是 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形，理由如下：因为 OE=OF，OA= OC，所以四边形 AECF 是平行四边形又因为 EC 平分A
11、CB，FC 平分ACD，所以ACE= ACB，ACF= ACD，1212所以ACE+ACF= （ACB+ACD）= 180=90，所以 AECF 是矩形12（3）当 O 点是 AC 的中点，ACB=90时，四边形 AECF 是正方形，由（1） ， （2）可知四边形 AECF 是正方形又因为 EFBC，所以EOC+ACB=180，所以ACB=90点拨：本题综合了角平分线的定义，平行四边形、矩形、正方形的判定等知识点在问题中，三问是层层递进的，对于理解和掌握矩形、正方形的判别是大有好处的三、3解：方案一：连结两条对角线，将正方形分为四个等腰直角三角形，如图（1）所示方案二：连结正方形两组对边的中点
12、，将正方形分为四个小正方形，如图（2）所示方案三：连结 AC，BD 交于点 O，过点 O 作 EG 交 AB 于 E，交 CD 于 G，过点 O作 FHEG，交 AD 于 H，交 BC 于 F如图（3）所示 点拨：若利用旋转变换本题不难解释，以四份中的一份为基本图形绕点 O 依次旋转 90，180，270前后图形共同组成的正方形四、410五、探究学习1解：规律：重叠部分的面积总等于 14理由：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 OB=OC，OBE=OCF=45，BOC=EOF=90所以BOC-BOF=EOF-BOF，即BOE=COF所以BOECOF，所以 SBOE =SCOF ，所以两正方形
13、重叠部分的面积=S BOC = S 正方形 ABCD= 14所以当正方形 ABCD绕 O 点旋转时，两正方形重叠部分的面积不变，总是 14点拨：先利用旋转变换，当 OA，OC分别经过点 B，C 时，重叠部分为BOC，由此猜想重叠部分面积为 ，然后再进行说明142 （1）证明：因为 AB=AC，所以B=C因为BED=CFD=90，BD=CD，所以BDECDF，所以 DE=DF（2）解：A=90，四边形 AFDE 是平行四边形点拨：（2）的方法很多，如B=45 ，或 BC= AB，或 DEDF，或 F 为 AC 中点，2或 DFAB 等3解：（1）因为四边形 ABCD 是正 方形，所以 AB=BC=1，B=90，所以在 RtABC 中，AC= = ，221ABC同理，AE=2，EH=2 ，即 a2= ，a 3=2，a 4=2 （2）a n=（ ） n-1（n 为正整数）
