1、第三章 3.1 3.1.4 一、选择题1如图所示的空间直角坐标系中，正方体 ABCDA 1B1C1D1 棱长为 1，B 1E1 A1B1，14则 等于( )BE1 A(0，1)14B( ，0,1)14C(0， ，1)14D( ，0，1)14答案 C解析 B(1,1,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)E 1(1，1) ， (0， ，1)故选 C.34 BE1 142若 a(2x,1,3)，b(1，2y,9)且 ab，则( )Ax1，y1 Bx ，y12 12Cx ，y Dx ，y 16 32 16 32答案 C解析 若 ab，则 .2x1 1 2y 39x ，y .16 323若
2、a(1，2)，b(2，1,2)，且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ，则 等于( )89A2 B2C2 或 D2 或255 255答案 C解析 由已知得 ，89 ab|a|b| 2 45 2 98 3(6 )，解 2 或 .5 22554已知向量 (2，2,3)，向量 (x,1y, 4z)，且平行四边形 OACB 对角线的中OA OB 点坐标为(0 ， )，则( x，y，z)( )32 12A(2，4，1) B(2，4,1)C(2,4，1) D(2 ，4， 1)答案 A解析 由已知 (2x，1y,34z)2(0， )，OC OA OB 32 12Error!，x2，y 4，z1.故选 A.5与向
3、量 a(1，3,2)平行的一个向量的坐标为( )A(1,3,2) B(1，3,2)C(1,3，2) D(1 ，3， 2)答案 C解析 (1,3，2)a，与 a 共线6若ABC 中，C90， A(1,2，3k)，B(2,1,0) ，C(4,0，2k) ，则 k 的值为( )A. B10 10C2 D5 10答案 D解析 (6,1,2k )， ( 3,2，k)CB CA 则 ( 6) (3)22k(k)CB CA 2k 2200，k .10二、填空题7已知点 A(1，2,11) ，B(4,2,3)，C (6，1,4)，则ABC 的形状是_答案 直角三角形解析 (5,1，7)， (2，3,1)，AC
4、 BC 0.AC BC ，ABC 为直角三角形AC BC 8已知 a(2，3,0)，b(k,0,3)，120 ，则 k_.答案 39解析 2k 13 k2 9 ( 12)16k 213k 2139k 239，k .k0，k .39 39三、解答题9(1)已知向量 a(2,4,5) ，b(3 ，x，y )，若 a b，求 x，y 的值(2)已知：a(2,4，x )，b(2，y,2)，若|a|6，且 a b，求 xy 的值解析 (1)a b， ，得 x6，y .23 4x 5y 152(2)a b 且|a|6，Error! Error!或Error!x y1 或 xy3.一、选择题1已知 A(1，
5、 1,3)，B(0,2,0)，C (1,0,1)，若点 D 在 z 轴上，且 ，则| |等AD BC AD 于( )A. B.2 3C. D.5 6答案 B解析 点 D 在 z 轴上，可设 D 点坐标为(0,0，m)，则 ( 1,1，m3) ， ( 1，2,1)，AD BC 由 ，得 m 40，AD BC AD BC m4， (1,1,1) AD | | .AD 12 12 12 32已知 A(3,4,5)，B(0,2,1) ，O(0,0,0)，若 ，则 C 的坐标是( )OC 25AB A( ， ， ) B( ， ， )65 45 85 65 45 85C( ， ， ) D( ， )65 4
6、5 85 6545 85答案 A解析 设 C(a，b，c )， (3，2，4) ，AB (3，2，4)( a，b，c)，25(a，b，c) .故选 A.( 65， 45， 85)3若两点的坐标是 A(3cos，3sin，1)，B(2cos，2sin ，1)，则| |的取值范围是( )AB A0,5 B1,5C(1,5) D1,25答案 B解析 | |AB 3cos 2cos2 3sin 2sin2 1,513 12cos 4已知 O 为坐标原点， (1,2,3)， (2,1,2)， (1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上OA OB OP 运动，则当 取得最小值时，点 Q 的坐标为( )QA
7、QB A. B.(12，34，13) (12，32，34)C. D.(43，43，83) (43，43，73)答案 C解析 设 Q(x，y，z )，因 Q 在 上，故有 ，可得 x，y ，z2，OP OQ OP 则 Q(，2)， (1 ，2，32 )， (2 ，1，22 )，QA QB 所以 6 216106( )2 ，QA QB 43 23故当 时， 取最小值43 QA QB 二、填空题5已知点 A、B、C 的坐标分别为(0,1,0) 、(1,0，1)、(2,1,1)，点 P 的坐标为(x,0，z) ，若 ， ，则 P 点的坐标为_PA AB PA AC 答案 (1,0,2)解析 (x, 1
8、，z )，PA ( 1，1，1)， (2,0,1)，AB AC Error!Error!，P(1,0,2)6若 A(1， 1,3) ，B(2，2)，C(3，3,9)三点共线，则_.答案 0解析 由条件知 ，AB AC 由于 (1,1，23)， (2，2,6) ，AB AC 所以 ，所以 0，0， 12 12 2 36于是 0.7已知向量 a(2,3，1)，b(2，m,1)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 m 的取值范围为_答案 (，3)(3， )53解析 由已知 ab2(2)3m13m5，因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 ab0，所以 3m50，即 m .53若 a 与 b 的夹角为
9、 ，则存在 0，使 ab(0)，即(2,3，1)(2，m, 1)，所以Error!所以 m3，故 m 的取值范围是(，3)( 3， )53三、解答题8已知空间三点 A(0,2,3)，B(2,1,6) ，C (1，1,5)(1)求以 ， 为边的平行四边形的面积；AB AC (2)若|a| ，且 a 分别与 ， 垂直，求向量 a 的坐标3 AB AC 解析 (1)由题意可得( 2，1,3)， (1，3,2) ，AB AC cos ， ，AB AC AB AC |AB |AC | 2 3 61414 714 12sin ， ，AB AC 32以 ， 为边的平行四边形的面积AB AC S2 | | |
10、sin ， 12AB AC AB AC 14 7 .32 3(2)设 a(x，y，z )，由题意得Error!解得Error!或Error!a(1,1,1)或 a(1，1 ，1)9如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 BC，CC 1 上的点，CFAB 2CE ，AB ADAA1124.(1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值；(2)证明 AF平面 A1ED.解析 (1)如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点设 AB1，依题意得 D(0,2,0)，F(1,2,1)，A 1(0,0,4)，E(1，0)32所以 (0 ，1)， (0,2，4) EF 12 A1D 于是 cos ， EF A1D .EF A1D |EF |A1D | 35所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 .35(2)证明：知 (1,2,1) ， ( 1， ，4)， ( 1，0)，AF EA1 32 ED 12于是 0， 0.AF EA1 AF ED 因此，AFEA 1，AFED.又 EA1ED E，所以 AF平面 A1ED.
